2.1.1 倾斜角与斜率(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 （见学生用书P38） [学习目标]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，培养数学抽象的核心素养.2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，培养逻辑推理的核心素养.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，提升数学运算的核心素养（重点）. 要点一　直线的倾斜角 1.倾斜角的定义 （1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴　正向　与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. （2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.直线的倾斜角α的取值范围为　0°≤α＜180°　. 思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的. 要点二　直线的斜率 1.直线的斜率：把一条直线的倾斜角α的　正切值　叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝　tan α　. 2.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 （范围） α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率 （范围） k＝0 k＞0 不存在 k＜0 3.过两点的直线的斜率公式：过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝　　. 思考：你能说出直线的倾斜角与斜率的区别与联系吗？ 提示：①直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系.它们都反映了直线相对于x轴的倾斜程度，本质上是一致的.但倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便.②倾斜角α可正、可零，但不可为负，而斜率k不仅可正、可零，还可以为负.③当α＝90°时，直线斜率不存在，当α≠90°时，可以建立倾斜角α和斜率k之间的函数关系，即k＝tan α（α≠90°）. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率.（　　） （2）若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.（　　） （3）任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.（　　） （4）经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线.（　　） （5）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（　　） （6）若一条直线的斜率为tan 200°，则该直线的倾斜角为20°.（　　） 解析　（1）错误.倾斜角为90°的直线不存在斜率. （2）错误.若直线的倾斜角为α，则0°≤α＜180°. （3）错误.当倾斜角为90°时，直线对应的斜率不存在. （4）错误.当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，无法用该公式求斜率. （5）错误.倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负. （6）正确.因为tan 200°＝tan（180°＋20°）＝tan 20°，所以倾斜角为20°. 答案　（1）×　（2）×　（3）×　（4）×　（5）×　（6）√ 探究一　直线的倾斜角 误区防错 直线倾斜角的注意点 （1）求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. （2）注意倾斜角的范围. 【例题1】（1）已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α满足的条件是（　　） A.0°≤α＜90° B.90°≤α＜180° C.90°＜α＜180° D.0°＜α＜180° （2）（多选）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（　　） A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 解析　（1）因为α是直线的倾斜角，所以0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α满足的条件是90°＜α＜180°.故选C项. （2）根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知，当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选AB项. 答案　（1）C　（2）AB 【变式1】 （1）已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　. （2）如图，已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1与l2向上的方向所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为　　　　. 解析　（1）有两种情况：①如图a，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°；②如图b，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.故直线l的倾斜角为60°或120°. （2）设直线l2的倾斜角为α2，因为l1与l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 答案　（1）60°或120°　（2）135° 探究二　直线的斜率 误区防错 求直线的斜率的注意点 （1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的. （2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关. （3）若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则k＝. 【例题2】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率. （1）A（2，3），B（4，5）； （2）C（－2，3），D（2，－1）； （3）A（a，b），B（b，c），其中b≠c. 解析　（1）存在.直线AB的斜率kAB＝＝1. （2）存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1. （3）当a＝b时，A，B两点的横坐标相等，直线AB⊥x轴，斜率不存在；当a≠b时，斜率存在，由斜率公式知k＝. 【变式2】（1）若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率为　　　　. （2）已知过点P（－2，m），Q（m，4）的直线的方向向量为（1，1），则m的值为　　　　. （3）经过两点A（1，m），B（m－1，3）的直线的倾斜角是钝角，则实数m的取值范围是　　　　. 解析　（1）由题意和斜率的概念可得，直线的斜率为tan 135°＝－1. （2）由斜率公式得k＝＝1，解得m＝1. （3）直线的倾斜角是钝角，则直线的斜率kAB＝＜0，解得m＜2或m＞3，故实数m的取值范围是（－∞，2）∪（3，＋∞）. 答案　（1）－1　（2）1　（3）（－∞，2）∪（3，＋∞） 探究三　倾斜角和斜率的应用 规律总结 （1）三点共线问题：实际就是任意两点确定的直线斜率相等，或者都不存在.解决这类问题需要利用条件建立斜率相等的关系. （2）已知一条线段AB及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围可按如下步骤：①连接PA，PB；②由k＝（x1≠x2）求出kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围. 【例题3】已知A（－2，－4），B（2，0），C（3，1）三点，判断这三点是否在同一条直线上，并说明理由. 解析　由题意可得经过A，B两点的直线的斜率kAB＝＝1，经过A，C两点的直线的斜率kAC＝＝1，所以kAB＝kAC.又因为A是公共点，所以A，B，C三点在同一条直线上. 【变式3】已知A（3，3），B（－4，2），C（0，－2）. （1）求直线AB和AC的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角； （2）当点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 解析　（1）由题意和斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝.由kAB＞0及kAC＞0可知，直线AB与AC的倾斜角均为锐角. （2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 1.已知直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（　　） A. B. C.－ D.－ 答案　C 解析　由题意可得斜率k＝＝－.故选C项. 2.已知直线经过点A（－2，0），B（－5，3），则该直线的倾斜角为（　　） A.150° B.135° C.75° D.45° 答案　B 解析　因为直线经过点A（－2，0），B（－5，3），所以其斜率k＝＝－1.设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ＝－1，所以θ＝135°.故选B项. 3.已知过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的倾斜角为135°，则y＝（　　） A.－1 B.－2 C.－3 D.－5 答案　D 解析　由直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，得＝－1，解得y＝－5.故选D项. 4.若A（2，3），B（3，2），C三点共线，则实数m的值为　　　　. 解析　设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式得kAB＝＝－1，kBC＝＝－（m－2）.因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kBC，即－1＝－（m－2），解得m＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$