1.4.1.2 空间中直线、平面的垂直(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二课时　空间中直线、平面的垂直 （见学生用书P26） [学习目标]1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，培养数学抽象的核心素养.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系，提升逻辑推理和直观想象的核心素养（重难点）.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理，强化逻辑推理和直观想象的核心素养. 要点　直线、平面垂直的向量表示 1.线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔　u1⊥u2　⇔　u1·u2＝0　. 2.直线和平面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔　u∥n　⇔∃λ∈R，使得　u＝λn　. 3.平面和平面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔　n1⊥n2　⇔　n1·n2＝0　. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）方向向量垂直的两直线互相垂直.（　　） （2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直.（　　） （3）若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.（　　） （4）若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于直线l在平面α内的投影，则l与m垂直.（　　） 解析　（1）正确.由线线垂直的向量表示可知正确. （2）错误.若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内. （3）正确.若两平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直，所以这两个平面的法向量所成的角一定是90°. （4）错误.若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，但也不能得出l⊥m的结论. 答案　（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 探究一　证明线线垂直 规律总结 用向量证明空间两条直线相互垂直的主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直，即证明他们的方向向量的数量积为0，证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量. 【例题1】如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EF⊥BC. 　　　 题图　　　　　　　答图 证明：由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 易得B（0，0，0），A（0，－1，），D（，－1，0），C（0，2，0）， 从而E（0，，），F（，，0）， 所以＝（，0，－），＝（0，2，0）， 因此·＝0. 从而⊥，所以EF⊥BC. 【变式1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点，用向量法证明：EF⊥DA1. 证明：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则可得D（0，0，0），A1（2，0，2），E（2，2，1），F（1，1，2）， 所以＝（2，0，2），＝（－1，－1，1）， 所以·＝2×（－1）＋0×（－1）＋2×1＝0， 所以⊥，即EF⊥DA1. 探究二　直线和平面垂直 规律总结 用向量证明线面垂直的方法与步骤 （1）①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量的数量积. （2）①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行. 【例题2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A（1，0，0），E，A1（1，0，1），D1（0，0，1），F， 所以＝，＝（－1，0，0），＝. 设平面A1D1F的法向量为n＝（x，y，z）， 则即解得 令z＝1，则n＝（0，2，1）.又＝，所以n＝2. 所以n∥，即AE⊥平面A1D1F. 【变式2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD. 　　　 题图　　　　　　答图 证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图， 设DC＝PD＝1，则P（0，0，1），A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），E，所以＝（1，1，－1），＝（0，，），＝（1，，－）. 方法一　因为·＝（1，1，－1）·＝0＋－＝0，所以⊥，即PB⊥DE， 因为PB⊥EF，且EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD，所以PB⊥平面EFD. 方法二　设F（x，y，z），则＝（x，y，z－1），＝（x，y－，z－）. 因为⊥，所以x＋－＝0，即x＋y－z＝0. ① 又因为∥，所以可设＝λ（0≤λ≤1）， 所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ. ② 由①②可知，x＝，y＝，z＝， 所以＝（，－，）. 设n2＝（x2，y2，z2）为平面EFD的法向量， 则有即 所以取z2＝1，则n2＝（－1，－1，1）. 所以∥n2，所以PB⊥平面EFD. 探究三　平面和平面垂直 解题技巧 空间向量证明面面垂直常用的两个方法 （1）利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直. （2）直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直. 【例题3】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，E为BB1的中点.求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 　　　　　 题图　　　　　　　　答图 证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（0，0，1）， 则＝（0，0，2），＝（－2，2，0），＝（－2，2，2），＝（－2，0，1）. 设平面AA1C1C的法向量为n1＝（x1，y1，z1）， 则⇒ 令x1＝1，得y1＝1，所以n1＝（1，1，0）. 设平面AEC1的法向量为n2＝（x2，y2，z2）， 则⇒ 令z2＝2，得x2＝1，y2＝－1， 所以n2＝（1，－1，2）. 因为n1·n2＝1×1＋1×（－1）＋0×2＝0， 所以n1⊥n2，所以平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【变式3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE. 解析　如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），P（0，1，a），A1（1，0，1），B1（1，1，1），E，C1（0，1，1），则＝（0，1，0），＝（－1，1，a－1），＝，＝（0，1，1）. 设平面A1B1P的法向量为n1＝（x1，y1，z1）， 则所以 令z1＝1，得x1＝a－1，所以n1＝（a－1，0，1）. 设平面C1DE的法向量为n2＝（x2，y2，z2）， 则所以 令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1， 所以n2＝（－2，1，－1）. 因为平面A1B1P⊥平面C1DE， 所以n1·n2＝0，即－2（a－1）－1＝0， 解得a＝. 所以当P为C1C的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE. 1.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝（1，2，－2），b＝（－2，3，2），则（　　） A. l1∥l2 B. l1⊥l2 C. l1，l2相交但不垂直 D.不能确定 答案　B 解析　因为a·b＝1×（－2）＋2×3＋（－2）×2＝－2＋6－4＝0，所以a⊥b，所以l1⊥l2.故选B项. 2.已知平面α的法向量为a＝（1，2，－2），平面β的法向量为b＝（－2，－4，k），若α⊥β，则k＝（　　） A.4 B.－4 C.5 D.－5 答案　D 解析　因为α⊥β，所以a⊥b，所以a·b＝－2－8－2k＝0，所以k＝－5.故选D项. 3.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝（1，－3，z），向量v＝（3，－2，1）与平面α平行，则z＝　　　　. 解析　由题意得u⊥v，所以u·v＝3＋6＋z＝0，所以z＝－9. 答案　－9 4.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系. （1）直线l1，l2的方向向量分别是a＝（1，－3，－1），b＝（8，2，2）； （2）平面α，β的法向量分别是u＝（1，3，0），v＝（－3，－9，0）； （3）直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝（1，－4，－3），u＝（2，0，3）. 解析　（1）因为a·b＝1×8＋（－3）×2＋（－1）×2＝0，所以l1⊥l2. （2）因为v＝（－3，－9，0）＝－3（1，3，0）＝－3u，所以α∥β. （3）因为a·u＝－7≠0，所以l不与α平行，也不在α内.又a，u不共线，所以l与α不垂直.故l与α斜交. 学科网（北京）股份有限公司 $$