高一数学下学期期末模拟卷（人教A版必修第一册+第二册）-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷 考试范围：人教A版必修一、必修二；考试时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，，则(    ) A. B. C. D. 2.的共轭复数(    ) A. B. C. D. 3.命题“，”的否定是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 5.已知是第二象限角，，则(    ) A. B. C. D. 6.三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为(    ) A. B. C. D. 7.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 8.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在鳖臑中，面，，，，则下列选项中，不正确的是(    ) A. 平面平面 B. 二面角的余弦值为 C. 与平面所成角为 D. 三棱锥外接球的表面积为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知平面向量，，则 A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 10.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，每组数据取中间值为代表，则下列说法正确的是(    ) A. 此样本数据的中位数估计值为 B. 此样本数据的众数估计值为 C. 此样本数据的均值估计值为 D. 若将样本数据中每个数扩大倍，则数据的方差也扩大倍 11.已知函数的部分图象，则(    ) A. B. C. 点是图象的一个对称中心 D. 的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的最小值为          ． 13.计算           ． 14.已知，，，则在方向上的投影向量是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知，． 求 若的面积为，求． 16.本小题分 如图，四棱锥中，为正方形，为中点，平面平面，， 证明：平面；证明：； 求三棱锥的体积． 17.本小题分 在某次铁人三项比赛中，某户外运动俱乐部要从三名擅长游泳的选手，，，三名擅长骑自行车的选手，，，两名擅长跑马拉松的选手，中各选一名组成参赛队．假设在两名跑马拉松的选手中的状态更好，已确定入选，擅长游泳的三名选手与擅长骑自行车的三名选手入选的可能性相等．求下列事件的概率． “被选中”； “，不全被选中”． 18. 本小题分 已知函数． 判断的奇偶性并证明； 当时，判断的单调性并证明； 在的条件下，若实数满足，求的取值范围． 19.本小题分 某校对年高一上学期期中数学考试成绩单位：分进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： 估计该校高一期中数学考试成绩的平均分； 估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数； 为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷 考试范围：人教A版必修一、必修二；考试时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 1、 单选题 1.已知集合，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础题． 先求出，然后再求即可． 【解答】 解：，，， ， 则， 故选D． 2.的共轭复数(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】 解：复数的共轭复数是 故答案选：． 3.命题“，”的否定是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了命题的否定，属于基础题． 破解含有量词的命题的否定需两步骤：一是把全称量词改为存在量词，或把存在量词改为全称量词二是对结论进行否定． 【解答】解：把全称量词改为存在量词，并否定结论， 则原命题的否定为“，”， 故选A． 4.函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数零点存在性定理，属于基础题． 由题意所以函数为定义在上的连续减函数，再根据函数的零点的判定定理即可得到结果． 【解答】 解：函数的定义域为，且函数在上单调递减 在上单调递减， 所以函数为定义在上的连续减函数． 又当时，，当时，，两函数值异号， 所以函数的零点所在区间是， 故选B． 5.已知是第二象限角，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数关系的运用，属于基础题． 先由是第二象限角，得，再由同角三角函数基本关系求解，即可得出结果． 【解答】 解：因为是第二象限角，所以， 又，所以，因此， 即，所以． 故选：． 6.三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了棱锥与外接球的位置关系．属于较难题 计算棱锥的高，判断外接球球心位置，利用勾股定理求出外接球的半径，代入体积公式计算． 【解答】解：，，． ， 在底面的射影为的中心， 设的中点为，则，， ， 设三棱锥的外接球球心为， ，在延长线上， 设，则， ，解得， 外接球的半径． 外接球的体积． 故选：． 7.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查概率的运算，考查事件的并的概率计算公式，属于基础题． 依题意根据  计算可得． 【解答】 解：  ，  ，   ． 故选： 8.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在鳖臑中，面，，，，则下列选项中，不正确的是(    ) A. 平面平面 B. 二面角的余弦值为 C. 与平面所成角为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查球的表面积、线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定、直线与平面所成角、二面角，属于中档题． 对于，证明平面，利用面面垂直的判定定理可得面平面； 对于，由平面得，，可得就是二面角的平面角，解三角形即可； 对于，平面易得与平面所成角为； 对于，取的中点为，则，可得外接球的半径为，即得表面积． 【解答】 解：对于，平面，平面，平面，所以，， 可得，， 则有，． 平面，平面，， 又，平面， 平面，又平面， 平面平面，故A正确； 对于，平面，平面，平面， ，， 就是二面角的平面角， 又，，， ，， 在直角三角形中， ，故B正确； 对于，平面，与平面所成角为， 在直角三角形中，，，所以，所以， 故C正确； 对于，取的中点为，则， 所以三棱锥外接球的半径为，其表面积，故D错误． 故选D． 二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知平面向量，，则 A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查平面向量的坐标运算、向量平行、垂直和夹角，属于基础题． 利用向量相关知识对选项逐个判断即可． 【解答】 解：对于、当时，，则，故A正确； 对于、若，则，则，故B错误； 对于、若，则，则，故C正确； 对于、若与的夹角为钝角，则，解得， 又由选项B可知，，故，故D正确． 10.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，每组数据取中间值为代表，则下列说法正确的是(    ) A. 此样本数据的中位数估计值为 B. 此样本数据的众数估计值为 C. 此样本数据的均值估计值为 D. 若将样本数据中每个数扩大倍，则数据的方差也扩大倍 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查频率分布直方图及中位数，平均数，众数和方差的计算， 先估计中位数的大小，然后计算可判断；利用众数为最高矩形的中点可判断；利用平均数的公式计算判断；利用方差的计算公式判断即可． 【解答】 解：对于，由频率分布直方图， 得样本数据在前组的频率为， 样本数据在前组的频率为， 所以中位数在第组，设中位数为，则， 解得，所以A错误 对于，众数为最高矩形的中点， 所以由图知此样本数据的众数估计值为，所以B正确 对于，此样本数据的均值估计值为 ， 所以C正确 对于，由方差的计算公式知，若将样本数据中每个数扩大倍， 则数据的方差变为原来的倍，所以D错误． 故选BC． 11.已知函数的部分图象，则(    ) A. B. C. 点是图象的一个对称中心 D. 的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查由图象求解正弦型函数的解析式，考查三角函数的对称性、奇偶性，以及图象变换规律，属于中档题． 根据图象可得，进而求解判断；利用特殊点的坐标代值求解判断；得到解析式，求得即可判断；根据平移规律求得平移后的解析式，利用余弦型函数的奇偶性判断即可． 【解答】 解：由图象可得，，故A正确； 由， 可得，， 即，， 又，，故B错误； ， 则点是图象的一个对称中心，故C正确； 的图象向左平移个单位后，得到的函数解析式为 ， 易知函数为偶数，故D正确． 2、 填空题 12.的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 化简，利用基本不等式求最小值即可． 【解答】 解： ， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：． 13.计算           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数式和对数式的化简求值，属于基础题． 应用指对数运算性质化简求值即可． 【解答】 解：． 故答案为． 14.已知，，，则在方向上的投影向量是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查投影向量的计算，考查向量模的坐标表示，属于基础题． 利用向量模的坐标表示和投影向量的计算可得答案． 【解答】 解：根据可知， 在上的投影向量为， 所以在上的投影向量为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，． 求 若的面积为，求． 【答案】解：因为，所以由余弦定理得， 而，因此． 又因为，所以，即，解得， 而，因此． 由知：，，因此． 因为的面积为，所以，即，解得． 又因为由正弦定理得，，所以， 即， 即，解得舍去．  【解析】本题考查了利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解三角形，三角形面积公式与两角和与差的正弦公式，属于中档题． 利用余弦定理解三角形得，再利用题目条件，计算得结论； 利用三角形面积公式得，再利用正弦定理解三角形，结合的结论得，再利用两角和的正弦公式，计算得结论． 16. 如图，四棱锥中，为正方形，为中点，平面平面，， 证明：平面；证明：； 求三棱锥的体积． 【答案】证明：连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以点为的中点， 又为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 证明：因为四边形为正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以 解：取中点，连接， 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由，， 得，， 记点到平面的距离为，因为为的中点，所以， 所以  【解析】本题主要考查线面平行的判定定理，考查面面垂直的性质定理，考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥的体积，属于中档题． 连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理即可证明； 根据面面垂直的性质定理可得平面，从而可证； 根据面面垂直的性质定理可得平面，根据等体积法结合棱锥体积公式即可求解． 17在某次铁人三项比赛中，某户外运动俱乐部要从三名擅长游泳的选手，，，三名擅长骑自行车的选手，，，两名擅长跑马拉松的选手，中各选一名组成参赛队．假设在两名跑马拉松的选手中的状态更好，已确定入选，擅长游泳的三名选手与擅长骑自行车的三名选手入选的可能性相等．求下列事件的概率． “被选中”； “，不全被选中”． 【答案】解：从擅长游泳与骑自行车的名选手中千选出名与选手组成的参赛队， 所有的可能结果有种，分别为： ，，，，，，，，， 每一种结果都是等可能的，被选中的结果有种， 分别为，，， 被选中的概率为． 设事件表示“，不全被选中”， 则， ，不全被选中的概率．  【解析】本题考查古典概型、对立事件的概率计算公式质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 从擅长游泳与骑自行车的名选手中千选出名与选手组成的参赛队，利用列举法能求出被选中的概率． 设事件表示“，不全被选中”，则，利用对立事件概率计算公式能求出，不全被选中的概率． 18.已知函数． 判断的奇偶性并证明； 当时，判断的单调性并证明； 在的条件下，若实数满足，求的取值范围． 【答案】证明：为奇函数，证明如下： 函数的定义域关于原点对称， ， 故为奇函数； 时，单调递增，证明如下： 设，， 则， ， 所以， 所以在上单调递增； 解：在的条件下，当时，由，可得， 解得， 故的取值范围是．  【解析】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用函数单调性求解不等式，属于中档题． 检验与的关系即可判断； 先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断， 结合函数的单调性即可求解． 19.本小题分 某校对年高一上学期期中数学考试成绩单位：分进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： 估计该校高一期中数学考试成绩的平均分； 估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数； 为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【答案】解：由， 可得， 数学成绩在：频率，频率， 频率，频率， 频率，频率， 样本均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为  分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩  分． 由知样本数据中数学考试成绩在  分以下所占比例为， 在  分以下所占比例为， 因此，分位数一定位于内，由， 可以估计样本数据的第  百分位数约为分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分． 由题意分数段的人数为人， 分数段的人数为人， 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生， 则需在内抽取人，分别记为，，分数段内抽人，分别记为，，， 设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件， 则样本空间共包含个样本点， 而的对立事件，包含个样本点， ，， 抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率为．  【解析】本题考查平均分、百分位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 由频率分布直方图列方程，能求出，由此能求出样本均值，从而估计样本数据中数学成绩均值，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩． 由样本数据中数学考试成绩在  分以下所占比例为，在  分以下所占比例为，由此能估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数． 由题意分数段的人数为人，分数段的人数为人，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，需在内抽取人，分别记为，，分数段内抽人，分别记为，，，设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，利用列举法能求出结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$