专题07 点、线、面的位置关系期末复习题型【三大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年高一数学下册期末重点复习攻略（人教B版）

专题07 点、线、面的位置关系期末复习题型期末复习题型【三大题型+过关检测卷】 目录 【题型一 平面中的基本事实和推论】 1 【题型二 空间中的平行关系的判定与性质】 5 【题型三 空间中的垂直关系的判定和性质】 8 【期末题型】 【题型一 平面中的基本事实和推论】 一、单选题 1．如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 2．在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．已知，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（    ） A．若，且，则 B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则 C．若直线，直线，则a与b为异面直线 D．若A，B是两个不同的点，且，则直线 二、多选题 5．以下四个命题正确的是（    ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 6．下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 7．一个平面截正方体所得的截面图形可以是（    ） A．等边三角形 B．正方形 C．梯形 D．正五边形 三、解答题 8．如图，四边形和四边形都是梯形， ，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 9．已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 10．如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 11．如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 12．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 13．如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. (1)求证：、、、四点共面； (2)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 14．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【题型二 空间中的平行关系的判定与性质】 一、单选题 1．直线l与平面成角为，点P为平面外的一点，过点P与平面成角为，且与直线l所成角为的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．4条 2．设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 5．已知是两条不同的直线，是平面，若 ，则的关系可能为（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 6．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是（    ） A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C． D．EF与AB异面 7．已知空间两条异面直线所成的角等于60°，过点与所成的角均为的直线有且只有一条，则的值可以等于（    ） A．30° B．45° C．75° D．90° 8．设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，则下列命题一定是真命题的是（    ） A．在内存在直线与直线异面 B．在内存在直线与直线相交 C．存在过直线的平面与相交 D．存在过直线的平面与平行 9．(多选)下列命题正确的是（    ） A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 B．垂直于同一直线的两平面平行 C．平行于同一直线的两平面平行 D．平行于同一平面的两平面平行 三、解答题 10．如图，是四棱锥的高，，，为线段上一点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求四面体的体积． 11．在如图所示的五面体中，三个面，，都是平行四边形．求证：平面平面ABC．    12．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：. 13．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【题型三 空间中的垂直关系的判定和性质】 一、单选题 1．空间中垂直于同一个平面的两条直线（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 2．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积不是定值 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，有且仅有一个点P，使得平面 3．设是平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 4．平面，互相平行的一个充分条件是（    ） A．，都垂直于同一平面 B．某一直线与，所成角相等 C．，都平行于同一直线 D．，都垂直于同一直线 5．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 二、多选题 6．下列命题中其中正确命题的为（    ） A．平行于同一直线的两个平面平行； B．平行于同一平面的两个平面平行； C．垂直于同一直线的两直线平行； D．垂直于同一平面的两直线平行． 7．如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点A，B，D作截面交于点E，则（    ） A． B．平面平面 C．平面 D．点到截面的距离为 三、填空题 8．如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 四、解答题 9．如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证： (1)平面； (2) 10．如图，空间四边形的每条边和，的长都等于，点，分别是，的中点.求证：，. 11．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 12．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，是等边三角形，，点是棱的中点．    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求证：平面平面． 13．如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，，且，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 14．如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2． (1)若点在棱上，平面，求证：； (2)求点到平面的距离． 【过关检测卷】 一、单选题 1．如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 2．下列说法错误的是（   ） A．经过同一直线上的3个点的平面有无数个 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线 D．若直线不平行于平面，且，则内不存在与平行的直线 3．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则点为正方形内一点，当平面时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．已知m，n，l是三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 二、多选题 7．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且∥平面，则下列说法正确的有（    ） A．记的中点为，上存在一点，使得面∥面 B．动点轨迹的长度为 C．三棱锥体积的最小值为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 8．如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（    ） A．不存在，使得平面 B．当平面平面时， C．线段长的最小值为 D．当时， 三、填空题 9．如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是 （只需写出一个正确的条件） 10．如图，在直三棱柱中，为棱的中点．，，．，使得平面平面，则 = ． 四、解答题 11．如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 12．如图，在正方体中，为的中点．    (1)求证：‖平面； (2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 13．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，. (1)求证：； (2)求点C到平面ABH的距离； (3)在线段PB上是否存在点N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 14．如图，在直角梯形中，，，，，，分别是，上的点，且，现将四边形沿向上折起成直二面角，设. (1)若，在边上是否存在点，满足，使得平面？若存在，求出；若不存在，说明理由. (2)当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. 15．如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 点、线、面的位置关系期末复习题型期末复习题型【三大题型+过关检测卷】 目录 【题型一 平面中的基本事实和推论】 1 【题型二 空间中的平行关系的判定与性质】 11 【题型三 空间中的垂直关系的判定和性质】 21 【期末题型】 【题型一 平面中的基本事实和推论】 一、单选题 1．如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【答案】D 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 2．在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为的正六边形，计算其面积即可得. 【详解】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点， 过点作的平行线交于点，易知点都在截面内， 且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形， 所求面积. 故选：D. 3．如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线，取的中点，结合，即可求解. 【详解】如图所示，因为点到点的距离相等， 可得动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线， 又因为，直线与平面所成角为， 取的中点，可得，则线段的最小值为. 故选：A.    4．已知，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（    ） A．若，且，则 B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则 C．若直线，直线，则a与b为异面直线 D．若A，B是两个不同的点，且，则直线 【答案】C 【分析】根据题意结合平面的性质以及相关基本事实逐项分析判断. 【详解】对于A，因为且，则A是平面和平面的公共点， 又因为，由基本事实3可得，故A正确； 对于B，由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面， 又因为，且A，，，则，故B正确； 对于C，由于平面和平面位置不确定， 则直线与直线位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误； 对于D，由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内， 那么这条直线在这个平面内，故D正确． 故选：C． 二、多选题 5．以下四个命题正确的是（    ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 【答案】AC 【分析】根据平面的性质判断A，根据空间中线线、面面的位置关系判断B，根据点、线、面的位置关系判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2； 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面最多能把空间分成部分，故A正确； 对于B：因为直线平面，直线平面，由与相交一定可以得到与相交， 但是由与相交，则与可以相交、平行或异面，故B错误； 对于C：因为，直线平面，则且， 又直线平面，所以， 又，所以，故C正确； 对于D：若空间中三个平面两两相交，则他们的交线可以互相垂直， 如图正方体中：平面平面， 平面平面，平面平面， 由正方体的性质可知、、两两互相垂直，故D错误. 故选：AC . 6．下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 【答案】AB 【分析】根据基本事实以及推论即可逐项判断. 【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确； 对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误； 对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确； 故选：AB 7．一个平面截正方体所得的截面图形可以是（    ） A．等边三角形 B．正方形 C．梯形 D．正五边形 【答案】ABC 【分析】结合截面图形的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，截面是正三角形，如图甲所示，故A正确； 对于B，截面可能是正方形，如图乙所示，故B正确； 对于C，截面可能为梯形，如图丙所示，故C正确； 对于D，截面有可能是五边形，如图丁所示，但截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形，故D错误； 故选：ABC. 三、解答题 8．如图，四边形和四边形都是梯形， ，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 9．已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 10．如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【答案】证明见解析 【分析】先设与有一公共点，再根据基本事实3证明该公共点在直线上即可 【详解】四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， P为平面与的公共点， ∵平面平面， ∴根据基本事实3可得， ∴直线BG，EF，共点. 11．如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 【详解】如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 12．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 【答案】证明见解析； 【分析】证明即可证明结论. 【详解】证明：因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， 所以， 所以， 所以四点E，F，G，H共面. 13．如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. (1)求证：、、、四点共面； (2)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证、、、四点共面，只需证明，利用中位线定理及平行的传递性即可证明； （2）令，由正弦定理求得，分别求出所以圆柱的侧面积，圆柱的底面积，正三棱柱的侧面积，正三棱柱的底面积，根据剩余几何体的表面积即可求解. 【详解】（1）由于，分别为，中点，所以， 又，所以， 所以、、、四点共面； （2）令，则，解得， 所以圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为， 正三棱柱的侧面积为， 正三棱柱的底面积为， 所以剩余几何体的表面积. 14．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【答案】(1) (2) (3)平面 (4)平面 【分析】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可. 【详解】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. 【题型二 空间中的平行关系的判定与性质】 一、单选题 1．直线l与平面成角为，点P为平面外的一点，过点P与平面成角为，且与直线l所成角为的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．4条 【答案】C 【分析】过与平面成角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成角），然后考虑这些母线中与直线成角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得． 【详解】如图所示，设直线与平面相交于，直线在平面的射影为直线. 且直线与平面所成角为， 即. 设圆锥的顶点为点，圆锥的轴平面， 即圆锥的任意一条母线与平面所成角都等于. 当过点的母线为直线时， 直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，即, 当过点的母线沿逆时针旋转到直线时， 直线与直线所成角为，即， 所以过点的直线从沿逆时针旋转到直线时， 与直线所成角的范围为， 故存在一条过点的直线与直线所成角为， 同理可得，过点的直线从沿顺时针旋转到直线时， 也存在一条过点的直线与直线所成角为， 所以过点的直线与平面所成角为，与直线所成角为的直线有2条. 故选：C. 2．设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断. 【详解】若，，则由平面平行的性质定理：得； 但当，时，可能有，也可能有相交， 如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面， 另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得出平面，由直线与平面平行的性质定理可知，当平面时，有，从而可得出正确选项. 【详解】由于几何体是三棱台，则，又平面，平面，所以，平面， 当平面，平面平面时，由直线与平面平行的性质定理可知，选项C符合要求. 故选：C. 4．如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据正方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 由题知，所以动点的轨迹长度为. 故选：B. 二、多选题 5．已知是两条不同的直线，是平面，若 ，则的关系可能为（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 【答案】ABD 【分析】根据平行、垂直、相交和异面的性质即可求解. 【详解】如图，在正方体中， 若是平面，为，为， 此时与平行，故A正确； 在正方体中， 若是平面，为，为， 此时，故B正确； 若 ，不可能与垂直和相交，故C错误； 在正方体中， 若是平面，为，为， 此时与异面，故D正确. 故选：ABD. 6．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是（    ） A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C． D．EF与AB异面 【答案】ABC 【分析】还原几何体，再判断线与线的位置关系. 【详解】展开图还原为几何体后，如图， 由图可知与是异面直线，与相交，，与相交， 所以A,B,C正确，D错误. 故选：ABC 7．已知空间两条异面直线所成的角等于60°，过点与所成的角均为的直线有且只有一条，则的值可以等于（    ） A．30° B．45° C．75° D．90° 【答案】AD 【分析】过点作，求得直线与所成角的范围为或，结合选项，即可求解. 【详解】过点作， 从两对角的角平分线开始，直线与所成角的范围为或， 而均为的直线有且仅有一条，根据对称性，可得或. 故选：AD. 8．设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，则下列命题一定是真命题的是（    ） A．在内存在直线与直线异面 B．在内存在直线与直线相交 C．存在过直线的平面与相交 D．存在过直线的平面与平行 【答案】AC 【分析】利用线面位置关系逐一判断各个选项即得. 【详解】对于A，无论直线与平行，还是相交，在内都存在直线与直线异面，A正确； 对于B，当直线与平行时，平面内不存在直线与直线相交，B错误； 对于C，无论直线与平行，还是相交，都存在过直线的平面与相交，C正确； 对于D，若直线与相交，则不存在过直线的平面与平行，D错误. 故选：AC 9．(多选)下列命题正确的是（    ） A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 B．垂直于同一直线的两平面平行 C．平行于同一直线的两平面平行 D．平行于同一平面的两平面平行 【答案】ABD 【详解】A，B是两个平面平行的两个判定定理，正确；C错误，D正确． 【考查意图】 面面平行的判定． 三、解答题 10．如图，是四棱锥的高，，，为线段上一点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求四面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）过点作交于点，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接，． 因为为中点，为的中点， 所以为的中位线，于是，． 因为为线段上一点，，所以． 又因为，所以，而，所以四边形为平行四边形，于是． 又因为平面平面，所以平面． （2）因为是四棱锥的高，为的中点， 所以到平面的距离为． 过点作交于点，就是梯形的高． 因为，所以点为的中点，因为，所以． 由可得的高等于梯形的高，所以的高为， 所以． 所以四面体的体积为． 11．在如图所示的五面体中，三个面，，都是平行四边形．求证：平面平面ABC．    【答案】证明见解析 【分析】只要证明平面内两相交直线都平行于另一平面即可. 【详解】证明  因为四边形是平行四边形，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC． 同理，平面ABC．又， 平面，平面 所以平面平面ABC． 12．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1），通过证明，得证平面； （2）证明平面，由线面平行的性质定理证明. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为是平行四边形，故为中点， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）因为，平面，平面，所以平面. 又因为平面平面，平面， 所以. 13．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 【题型三 空间中的垂直关系的判定和性质】 一、单选题 1．空间中垂直于同一个平面的两条直线（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】C 【分析】应用线面垂直的性质得出. 【详解】垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 故选：C. 2．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积不是定值 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，有且仅有一个点P，使得平面 【答案】D 【分析】判断当时，点在线段上，分别计算点为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当时，点在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当时，利用线面垂直的判定定理即可判断选项C；当时，取的中点，的中点，则点在线的上，证明当点在点处时，平面，利用过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D. 【详解】不影响题意，将题目所给正三棱柱的点和交换位置并旋转图形如下图所示： 对于A，当时，，即，所以， 故点在线段上，此时的周长为， 当点为的中点时，的周长为， 当点在点处时，的周长为， 故周长不为定值，故选项A错误； 对于B，当时，，即，所以， 故点在线段上， 又，面，面，则面， 所以直线上的点到平面的距离相等， 又的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故选项B错误； C：当时，取线段，的中点分别为，，连结， 由，即，所以，则在线段上， 当在处时，，，又，则平面， 又平面，所以，即， 同理，当在处，，故C错误； 对于D，当时，取的中点，的中点， 因为，即，所以， 则点在线的上， 当点在点处时，取的中点，连结，， 因为平面，又平面，所以， 在正方形中，， 又，，平面， 故平面，又平面，所以， 在正方体形中，， 又，，平面，所以平面， 因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点，使得平面，故选项D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题B选项的解决关键是，利用等体积法，结合线面平行的判定定理即可得解. 3．设是平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；判断可能在内，即可判断B；根据线面垂直的性质可判断C；判断直线可能的位置关系，即可判断D. 【详解】对于A，，，，，但不能保证为相交直线， 故推不出，A错误； 对于B，，，则，又，可能在内，不能推出，B错误； 对于C，，，则，又，则，C正确； 对于D，，，则可能相交、平行或异面，D错误； 故选：C 4．平面，互相平行的一个充分条件是（    ） A．，都垂直于同一平面 B．某一直线与，所成角相等 C．，都平行于同一直线 D．，都垂直于同一直线 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定定理及线面垂直的性质逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，都垂直于同一平面，则平面，相交或平行，故A错误； 对于B，若某一直线与，所成角相等，则平面，相交或平行，故B错误； 对于C，若，都平行于同一直线，则则平面，相交或平行，故C错误； 对于D，，都垂直于同一直线，则平面，互相平行，故D正确. 故选：D. 5．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】对于A，依题意有平面，平面，所以平面平面，A选项正确； 对于B，平面，平面，则有， 是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，则有， ，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，平面，平面，，又于， ，平面，所以平面， 平面，则，又于， 平面，，所以平面，C选项正确； 对于D，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，即D选项错误. 故选：D. 二、多选题 6．下列命题中其中正确命题的为（    ） A．平行于同一直线的两个平面平行； B．平行于同一平面的两个平面平行； C．垂直于同一直线的两直线平行； D．垂直于同一平面的两直线平行． 【答案】BD 【分析】利用平面与平面的位置关系对A进行判断，利用面面平行的判定和面面平行的性质对B进行判断，利用空间中直线与直线的位置关系对C进行判断，利用线面垂直的性质对D进行判断，从而得结论 【详解】对于A，因为平行于同一直线的两个平面平行可能平行，也可能相交，所以A不正确； 对于B，设，，取直线且， 因为，所以在内存在，且 又因为，所以在内存在，且， 因此，又因为，，所以，同理可得， 而，，因此，所以B正确； 对于C，因为垂直于同一直线的两直线可能平行、相交或异面，所以C不正确； 对于D，由线面垂直的性质知：垂直于同一平面的两直线平行，所以D正确． 故选：BD 7．如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点A，B，D作截面交于点E，则（    ） A． B．平面平面 C．平面 D．点到截面的距离为 【答案】ABD 【分析】由棱柱的性质得到平面，再由线面平行的性质判断A；由判断C；首先证明平面，得到，即可证明平面，从而判断B；设与交于点，则平面，利用等面积法求出，即可判断D. 【详解】如图， 在直三棱柱中，， 平面，平面， 则有平面，平面，平面平面， 可得，故A正确； ∵是的中点，，，∴， 又，∴，∴， 则，∴， ∵，，，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴平面平面，故B正确； 因为，平面，所以与平面不平行，故C错误； 设与交于点，则平面， 又因为为的中点，所以点到截面的距离等于点到截面的距离. 在中，，由等面积法可得， 所以点到截面的距离为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 8．如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】如图，根据面面垂直的性质可得平面，确定球心的位置，利用勾股定理求出外接球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】在中，，为的中点， 则，. 又平面 平面，平面 平面 平面，， 所以平面，又， 取的中点，连接，则， 过作，则平面， 所以三棱锥的外接球球心必位于上，如图， 设球心为，半径为，则， 有，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题 9．如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证： (1)平面； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形得到线线平行，进而证得线面平行； （2）由线面垂直得到，再由勾股定理的逆定理证得，进而证得平面，从而得证. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 分别为中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 取线段的中点，连接，则，， 又，，∴四边形为正方形， 设，则， ，， ，； 又，平面，平面， 平面， . 10．如图，空间四边形的每条边和，的长都等于，点，分别是，的中点.求证：，. 【答案】证明见解析 【分析】连接，然后利用等腰三角形的性质可证得，则由线面垂直的判定可证得平面，从而可证得，同理可证得. 【详解】证明：如图，连接， 因为，为的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证. 11．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取，的中点，，连接ME，，，，即可得到，再证明，从而得到，即可证明平面，再证明平面，即可得证； （2）连接，即可得到是等边三角形，则，再由，即可证明平面，从而得证. 【详解】（1）分别取，的中点，，连接ME，，，，如图所示． 因为M是AB的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 因为G是棱上的一点，，H是棱AB上的一点，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面，所以平面．           因为N是的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 又G是棱上的一点，，所以G是的中点，又F是的中点， 所以，所以，又平面，平面，所以平面，           又，平面，所以平面平面； （2）连接，因为底面是菱形，，所以是等边三角形， 又E是CD的中点，所以，           因为直四棱柱，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 又，平面，所以平面，           又平面，所以平面平面．           12．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，是等边三角形，，点是棱的中点．    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）取的中点，利用等腰、等边三角形性质，结合线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定推理即得. 【详解】（1）由，平面，平面，得平面， 又平面平面，平面，所以． （2）取的中点，连接，在中，，点是的中点，则，    由是等边三角形，点是的中点，得，又， 平面，则平面，又平面，于是， 又，，平面，则平面， 又平面，因此，由是等边三角形，点是棱的中点， 得，而，平面，则平面，又平面， 所以平面平面. 13．如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，，且，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）连接，由面面垂直的性质得到平面，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】（1） 、分别是、的中点，， 又平面，平面， 平面. （2）连接，由是等边三角形，则， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，且，所以， 则， 三棱锥的体积. 14．如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2． (1)若点在棱上，平面，求证：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）取的中点，连接，即可得到，再由面面垂直的性质得到平面，再由设点到平面的距离为，则，利用等体积法计算可得. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面，所以平面 平面， 平面，所以. （2）取的中点，连接，依题意，所以且， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 连接、，则，所以， 又，，，， 所以 ， 又平面，平面，所以， 所以， 则， 则， 所以， 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为. 【过关检测卷】 一、单选题 1．如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【分析】根据题意，结合面面平行的性质，证得和，进而得到答案. 【详解】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 2．下列说法错误的是（   ） A．经过同一直线上的3个点的平面有无数个 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线 D．若直线不平行于平面，且，则内不存在与平行的直线 【答案】C 【分析】由空间直线和平面的关系依次判断各选项即可得出结果. 【详解】经过一条直线的平面有无数个，A不符合题意； 设三条直线为，交于点，交于，相交直线确定一个平面， 则故由两点确定的直线在平面内， 所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，可知B不符合题意； 若a，b是两条直线，是两个平面，且， 则a，b也可能平行，故C符合题意； 直线与平面相交，且交平面于一点， 平面上任何通过点的直线都与直线同面， 平面上其它不通过点的直线则与之异面， 则内不存在与平行的直线，可知D不符合题意. 故选：C 3．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则点为正方形内一点，当平面时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取的中点，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理可得平面，所以点在线段上，当点为的交点时，可得答案. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 则，所以， 易知四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，因为平面，故平面， 又点为正方形内一点，平面平面， 所以点在线段上， 又,当即点即为的中点，也即点为的交点时， 此时最短， 因为的中点分别是， 所以，，所以. 故选：C. 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】由空间中的线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可. 【详解】若，，则或，所以A错；，，，，或，所以B错； 若，，，则，所以C错；若，，，则与两面的交线平行，即，故D对. 故选：D. 5．设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可； 【详解】A：若，，则或相交，故A错误； B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确； C：若，，则或，故C错误； D：若，，则或或，故D错误； 故选：B. 6．已知m，n，l是三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】C 【分析】根据题意，由直线与直线的位置关系分析A；由直线与平面平行的性质分析B；由直线与平面垂直的性质分析C；由平面与平面垂直的性质分析D，综合可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，若，，则与可能平行、相交或异面，A错误； 对于B，若，，则或，B错误； 对于C，若，，由线面垂直的定义，必有，C正确； 对于D，若，，则与平面可能平行，也可能相交或者在内，D错误． 故选：C． 二、多选题 7．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且∥平面，则下列说法正确的有（    ） A．记的中点为，上存在一点，使得面∥面 B．动点轨迹的长度为 C．三棱锥体积的最小值为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，取中点，的中点，通过证明平面平面，从而判断A；对于B，结合A选项分析可得点轨迹为线段，从而判断B；由此可得与点重合时，三棱锥体积的最小，求体积判断C；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可判断. 【详解】对于A，取中点，的中点，连接，则， 正方体中易知，从而， 又平面，而平面，所以平面， 又正方体中与平行且相等，从而与平行且相等， 则是平行四边形，所以，同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 所以当点与点重合，即点为的中点时，有平面平面，故A正确； 对于B，平面平面，所以当时，平面， 即线段为点的轨迹，，故B不正确； 对于C，点到平面即平面的距离为， 而于三角形的面积而言，底边是固定的，而线段为点的轨迹， 当且仅当点与点重合时，此时点到的距离最短，且为， 综上所述，三棱锥体积的最小值为，故C正确； 对D，如图， 当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时, 所以在底面的射影为底面外心，, 所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为， 如图，设外接球球心为O，半径为，由， ， 可得外接球半径，外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 8．如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（    ） A．不存在，使得平面 B．当平面平面时， C．线段长的最小值为 D．当时， 【答案】BCD 【分析】利用举反例可判断A，利用面面平行的性质及向量的线性运算及数量积运算可判断BC选项，通过画正方体的截面判断D选项的正确性，从而确定正确答案. 【详解】当时，与重合，与重合， 易证平面，即存在，使得平面，故A错误； 若平面 平面，因为平面平面，平面平面， 所以 ，设，因为为的中点， 所以为的中点，所以，延长到，使得， 同理可得 ，又 ，所以 ，又为的中点， 所以，所以，所以，故B正确； 由题意知，且， 故 （当且仅当时等号成立），当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 当时，易得为正六边形（如图六边形），其边长为， 故的面积为 .， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是 （只需写出一个正确的条件） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质vcb 可得出结论. 【详解】满足的条件可以是. 在直四棱柱中，连接，如图： 由平面，平面，得， 若，，、平面，则平面， 而平面，所以. 故答案为： 10．如图，在直三棱柱中，为棱的中点．，，．，使得平面平面，则 = ． 【答案】/0.5 【分析】设中点为，连接，．先证明平面，进而可得平面，可证平面平面 【详解】当点为中点时，即，平面平面C. 证明：设中点为，连接，． 因为，分别为，中点，所以，且， 又因为为中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为，又为中点，所以， 又三棱柱是直棱柱，所以平面平面平面平面， 所以平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面 故答案为： 四、解答题 11．如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合平行四边形性质，利用线面平行、面面平行的判定推理即得. （2）证明的延长线与的延长线交点重合，再利用面面平行的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，而平面，平面平面，则平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）延长与的延长线分别交于点， 由，，得，由，G是棱的中点，得， 因此点重合，记为，显然平面平面，平面平面， 由（1）知，平面平面，所以. 12．如图，在正方体中，为的中点．    (1)求证：‖平面； (2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为的中点 【分析】（1）连接交于，连接，则由三角形的中位线定理得‖，再由线面平行的判定理可证得结论； （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，连接，，可证得‖平面，由（1）知‖平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：如图，连接交于，连接．   正方体，底面为正方形，， 为的中点，又为的中点， 是的中位线，‖， 又平面，平面， ‖平面． （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，理由如下： 连接，，   为的中点，为的中点，‖，， 四边形为平行四边形，‖， 又平面，平面， ‖平面． 由（1）知‖平面， 又，，平面， 平面‖平面． 13．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，. (1)求证：； (2)求点C到平面ABH的距离； (3)在线段PB上是否存在点N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）证明平面即能证出 （2）利用三棱锥等体积即能求C到平面ABH的距离. （3）取的中点，则能得平面平面，即得出，利用相似即能得出比值. 【详解】（1）因为底面，平面，所以. 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. （2）设点到平面的距离为. 因为底面，，为的中点， 所以点到平面的距离为. 又因为在中，，，． 则， . 又因为底面，平面，所以 ， 又因为，，为的中点， 所以， 又因为由（1）知平面，平面，所以， 则. 所以，则， 则的面积为， 所以，解得. （3）线段上当点满足，使平面. 证明：取CH的中点K，连接MK，NK． 因为为的中点， 所以由为的中位线，可得. 又因为平面，平面ABC，所以平面； 由，可得，则， 又因为平面ABC，平面ABC，所以平面． 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面MNK，所以平面ABC． 14．如图，在直角梯形中，，，，，，分别是，上的点，且，现将四边形沿向上折起成直二面角，设. (1)若，在边上是否存在点，满足，使得平面？若存在，求出；若不存在，说明理由. (2)当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. 【答案】(1)存在点，满足使得平面.理由见详解 (2) 【分析】（1）如图，当时，由题意可得且，进而，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质可得平面，利用三棱锥的体积公式可得三棱锥，由二次函数的性质求出的最大值，此时，根据余弦定理和三角形面积公式求出，结合等体积法计算即可求解. 【详解】（1）存在，使得平面，此时. 证明如下： 当时，过作，与交于，连接， 则，又，得，因为， 所以且，所以四边形为平行四边形， 得，又平面，平面， 所以平面. （2）由题意知， 又平面平面，平面平面 ，平面， 所以平面. 由，得， 所以三棱锥的体积为， 当时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为3. 此时， 由平面，平面，得， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 设点到平面的距离为，由， 得，解得， 即点到平面的距离为. 15．如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，证明见解析 【分析】（1）依题意可得、，从而得到平面，即可得证； （2）当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，首先求出，过点在平面内作交于点，连接，交于点，即可得到，从而证明平面，则，结合（1）即可得证. 【详解】（1） 连接、，因为正方体， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （2）当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，证明如下： 因为三棱锥的体积是， 所以， 即， 解得，所以，即， 过点在平面内作交于点， 连接，交于点， 因为，所以， 当时， 所以，所以， 又，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 由（1）可知，，平面， 所以平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$