专题06 空间几何体结构及计算期末复习题型【四大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年高一数学下册期末重点复习攻略（人教B版）

专题06 空间几何体结构及计算期末复习题型【四大题型+过关检测卷】 目录 【题型一 空间几何体的结构】 1 【题型二 表面积和体积的相关计算】 4 【题型三 和截面有关的计算】 7 【题型四 几何题的“内切”和“外切”球的问题】 8 【期末题型】 【题型一 空间几何体的结构】 一、单选题 1．下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 2．下列多面体中，属于五面体的是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥 3．有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列说法错误的是（    ） A．棱台侧棱的延长线必相交于一点 B．正四棱锥的侧面可以是等边三角形 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．矩形旋转一周一定能形成一个圆柱 5．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（　　）    A．   B．   C．   D．   二、多选题 6．下列有关平行六面体的命题正确的是（   ） A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B．平行六面体的八个顶点在同一球面上 C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面 7．下面说法正确的是（    ） A．多面体至少有四个面 B．棱柱所有的面都是平行四边形 C．棱台的侧面都是梯形 D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台 8．下列说法中，错误的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥． 9．以下说法不正确的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 三、填空题 10．几个特殊的棱柱 （1）直棱柱： 的棱柱叫做直棱柱（如图①③）； （2）斜棱柱： 的棱柱叫做斜棱柱（如图②④）； （3）正棱柱：底面是正多边形的 叫做正棱柱（如图③）； （4）平行六面体：底面是 的四棱柱也叫做平行六面体（如图④）． 11．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）. 12．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号） 13．如图，多面体的顶点数是 、棱数是 、面数是 ． 14．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 【题型二 表面积和体积的相关计算】 一、单选题 1．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（    ） A． B． C． D． 2．若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，.若存在一球与圆台上、下底面及所有母线均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．一个直角三角形的两条直角边长分别为2和4，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，形成一个统一的整体，气势恢宏，底面直径为，高为30m，则该建筑的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知在四边形中，，且，则将四边形绕直线旋转一周后所形成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 9．已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 10．平面四边形中，，则四边形绕所在的直线旋转一周所围成几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 11．过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，，，平面，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积是定值 B．存在一点，使得 C．动点的轨迹长度为 D．五面体的外接球半径为 三、填空题 13．某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知，则制成的简易笔筒的体积为 ． 14．若一个球的表面积为，则该球的体积为 .（结果中保留） 四、解答题 15．在直三棱柱中，，，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求直三棱柱的表面积． 【题型三 和截面有关的计算】 一、单选题 1．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 2．已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．已知一个正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为过其外接球球心作平行于底面的截面，则截得的棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．长方体是平行六面体 C．用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形 D．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 二、多选题 5．某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 三、填空题 6．已知圆锥的轴截面面积为，则该圆锥的外接球半径的最小值为 . 7．如图，已知四面体的各条棱长均等于分别是棱的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，当截面面积最大时，四棱锥的体积为 ． 8．如图，已知棱长均为4的正四棱锥P-ABCD中，M和N分别为棱AB、PC的中点，过M和N可以作平面使得，则平面截正四棱锥P-ABCD所得的截面面积为 . 9．高为1的圆锥，侧面积为，则过其顶点的截面面积最大值为 ． 10．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为 ．    【题型四 几何题的“内切”和“外切”球的问题】 一、单选题 1．已知球O为四棱锥的外接球，为球的直径，且，，则当面积最大时，三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（　　） A． B． C．1 D．2 3．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆台的上、下底面半径分别为，，半径为的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（    ） A．5 B． C．10 D． 5．在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 6．已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，，且三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 8．已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B．直线共面 C．过四点的球的表面积是 D．过三点的平面截正方体所得截面的周长是 三、填空题 10．如图，等腰直角三角形中，，，是边上一动点（不包括端点）.将沿折起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球体积的取值范围是 . 11．已知正四面体的棱长为1，正四面体的外接球体积为，其内切球体积为，则 . 12．已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则 . 13．如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 14．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为 ． 15．已知三棱锥中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为 ． 16．我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形，如图1，在一个棱长为2r的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖（如图2），我国南北朝时期数学家祖暅基于“势幂既同则积不容异”这一观点和对牟合方盖性质的研究，推导出了球体体积公式．设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，则平面截牟合方盖所得截面的形状为 （填“正方形”或“圆形”），设半径为r的球体体积为，图2所示牟合方盖体积为，则 ． 【过关检测卷】 一、单选题 1．在复平面，复数z对应的点坐标为，则（    ） A．i B．-i C． D． 2．i为虚数单位，若，则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．复数在复平面内分别对应点，，将点绕原点按顺时针方向旋转得到点，则（ ） A． B． C． D． 4．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在复数范围内方程的两个根分别为，，则（    ） A．1 B． C． D． 6．已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 二、多选题 7．若复数满足（是虚数单位），则下列说法错误的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C．的共轭复数为 D．在复平面内对应点在第一象限 8．已知复数，满足，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的向量为 D．的最小值为 9．下列说法不正确的是（    ） A．复数z满足 B．若，则或 C．，，，则，中至少一个为0 D．的虚部为 10．已知是复数，且为纯虚数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为 11．已知方程的两个复数根分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ． 四、解答题 13．已知是虚数单位，复数，m为实数． (1)当实数m满足什么条件时，为纯虚数 (2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 14．已知复数(为虚数单位). (1)求; (2)若，其中，求的值; (3)若，且是纯虚数，求. 15．已知复数，，其中． (1)求的值； (2)求的最大值并说明取得最大值时的取值集合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间几何体结构及计算期末复习题型【四大题型+过关检测卷】 目录 【题型一 空间几何体的结构】 1 【题型二 表面积和体积的相关计算】 8 【题型三 和截面有关的计算】 18 【题型四 几何题的“内切”和“外切”球的问题】 26 【期末题型】 【题型一 空间几何体的结构】 一、单选题 1．下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：D. 2．下列多面体中，属于五面体的是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥 【答案】B 【分析】根据多面体的概念判断． 【详解】三棱锥只有4个面，三棱柱有五个面，四棱柱有六个面，五棱锥有六个面． 故选：B． 3．有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的概念，即可对逐个选项的正误作出判断． 【详解】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， ①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示； 棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误； 棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误； 正确命题有1个. 故选：B. 4．下列说法错误的是（    ） A．棱台侧棱的延长线必相交于一点 B．正四棱锥的侧面可以是等边三角形 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．矩形旋转一周一定能形成一个圆柱 【答案】D 【分析】根据几何体的定义及特征，逐一对各选项检验判断即可． 【详解】对于A，根据棱台的定义，其侧棱的延长线必交于一点，故A说法正确； 对于B，根据棱锥的定义，当正四棱锥的高为底面正方形对角线的一半时，正四棱锥的侧面可以是等边三角形，故B说法正确； 对于C，根据棱柱的定义，棱柱的侧面都是平行四边形，故C说法正确； 对于D，矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误. 故选：D. 5．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意，结合旋转体的定义，即可求解. 【详解】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥， 根据旋转体的定义，可得B项，符合题意. 故选：B. 二、多选题 6．下列有关平行六面体的命题正确的是（   ） A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B．平行六面体的八个顶点在同一球面上 C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面 【答案】AD 【分析】由平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱, 可判断选项A；由圆内接四边形对角互补，可判断选项B；只有平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，可判断选项C；根据平行六面体定义， 可判断选项D. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱,所以平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形,故A正确； 若平行六面体的8个顶点在同一球面上，则平行四边形四个顶点在一个圆周上， 而圆的内接四边形对角互补，而平行四边形对角不一定互补，故B错误； 平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，故C错误； 根据平行六面体定义可知，平行六面体中任意两个相对的面都可以当作它的底面，故D正确. 故选：AD. 7．下面说法正确的是（    ） A．多面体至少有四个面 B．棱柱所有的面都是平行四边形 C．棱台的侧面都是梯形 D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台 【答案】AC 【分析】根据棱柱、棱台、圆台的结构特征，逐项判断. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于，多面体至少有四个面，比如四面体，正确； 对于，棱柱的上底面和下底面不一定是平行四边形，比如三棱柱，错误； 对于，棱台的侧面都是梯形，正确； 对于，以等腰梯形的对称轴所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台， 而以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是一个旋转组合体， 错误． 故选：． 8．下列说法中，错误的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥． 【答案】ABC 【分析】对于A，根据棱锥的定义分析判断，对于B，根据棱台的定义分析判断，对于C，根据正三棱锥的定义分析判断，对于D，根据正六棱锥的定义分析判断. 【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥， 而有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误， 对于B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，而有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误， 对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心，所以C错误， 对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确， 故选：ABC 9．以下说法不正确的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 【答案】ACD 【分析】根据棱柱、棱锥的结构特征判断各项正误即可. 【详解】对于A：长方体不仅需要各侧面为矩形，上下底面也要为矩形，故A错误； 对于B：有两个相邻侧面是矩形说明侧棱垂直于底面，是直棱柱，故B正确； 对于C：正棱锥不仅要求底面是正多边形，还需要侧面为全等三角形，故C错误； 对于D：正四棱柱是上下底面为正方边形的长方体，底面需要是正方形，而底面四边相等可能是菱形，故D错误. 故选：ACD 三、填空题 10．几个特殊的棱柱 （1）直棱柱： 的棱柱叫做直棱柱（如图①③）； （2）斜棱柱： 的棱柱叫做斜棱柱（如图②④）； （3）正棱柱：底面是正多边形的 叫做正棱柱（如图③）； （4）平行六面体：底面是 的四棱柱也叫做平行六面体（如图④）． 【答案】 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面 直棱柱 平行四边形 【分析】根据棱柱的概念直接填空即可. 【详解】（1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱； （2）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱； （3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱正棱柱： （4）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. 故答案为：（1）侧棱垂直于底面（2）侧棱不垂直于底面（3）直棱柱（4）平行四边形 11．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）. 【答案】①② 【分析】根据题意，结合圆柱的定义和球的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①，根据圆柱的结构特征，可得圆柱的底面是圆面，所以①正确； 对于②，根据圆柱的结构特征，可得经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，所以②正确； 对于③，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，所以③不正确； 对于④，当这两点是球的直径的两端点时，可以作无数个以球心为圆心的圆，所以④不正确. 故答案为：①② 12．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号） 【答案】（1）（2）（4） 【分析】由题意，逐项判别，可得答案. 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 13．如图，多面体的顶点数是 、棱数是 、面数是 ． 【答案】 7 12 7 【分析】根据多面体中顶点、棱、面的定义即可得解. 【详解】解:顶点共有7个，棱共有12条，一共有7个面. 故答案为：7,12,7 14．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 【答案】 前 程 【分析】将展开图还原为四棱台即可得到答案. 【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”. 故答案为：前；程. 【题型二 表面积和体积的相关计算】 一、单选题 1．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式可求解. 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示：   为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高，正四棱台上、下底面积为 和 ， 所以体积 . 故选：A. 2．若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出球的半径，分别求出球与圆柱的体积，计算体积比即可． 【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积， 所以球与圆柱体积的比值为． 故选：B. 3．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积. 【详解】因为底面半径，所以底面周长， 又圆锥母线长，所以圆锥侧面积． 故选：A． 4．已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，.若存在一球与圆台上、下底面及所有母线均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求解，，再根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征，求解圆台的高，然后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】如图，设圆台上下底面的圆心为， 已知圆台上、下底面圆心分别为，，且，， 则. 存在一球与圆台上、下底面及所有母线均相切, 圆台内切球的球心一定在的中点处，设内切球半径为，球与母线切于点， 所以，所以， 所以与全等， 所以，同理，所以， 过A作，垂足为，则， 又，所以，所以， 所以该圆台的体积为. 故选：C. 5．一个直角三角形的两条直角边长分别为2和4，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】直角三角形绕着两条直角边旋转可分别得到两个不同的圆锥，分别求出两个圆锥的体积即可. 【详解】如图，在直角三角形中，， 绕着旋转之后形成一个底面半径为的圆锥，设体积为， 绕着旋转之后形成一个底面半径为的圆锥，设体积为，    则，， 所以两个圆锥的体积之比为. 故选：B. 6．佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，形成一个统一的整体，气势恢宏，底面直径为，高为30m，则该建筑的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得圆锥的母线长，进而直接根据圆锥侧面积公式求解即可. 【详解】如图，由题底面直径，高， 所以底面半径r＝OC＝4，母线长． 所以圆锥的侧面积为：． 故选：C． 7．已知在四边形中，，且，则将四边形绕直线旋转一周后所形成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到旋转体为圆台，结合圆台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，将四边形绕直线旋转一周后所形成的几何体为圆台， 其中圆台的上下底面半径为，高为， 所以该圆台的体积为. 故选：C. 8．如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 9．已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据侧面展开图为半圆可求底面半径，再求出圆柱的底面半径和高的关系后可求何时侧面最大，从而可求此时圆柱的体积. 【详解】设圆锥底面半径为，则，故， 故圆锥的高为，设圆柱底面半径为，则，故， 其中，故圆柱的侧面积为， 而，当且仅当时等号成立， 故圆柱的侧面积取最大值时，，， 此时体积为， 故选：A. 10．平面四边形中，，则四边形绕所在的直线旋转一周所围成几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知四边形绕所在的直线旋转一周后得到的几何体是一个圆台和一个圆锥，其中圆锥的底面与圆台的一个下底面重合，然后利用可求得结果. 【详解】 四边形绕所在的直线旋转一周后得到的几何体是一个圆台和一个圆锥，其中圆锥的底面与圆台的一个下底面重合． 过C作于E， 因为在平面四边形中，， 所以， 所以表面积， 故选：A． 11．过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥、圆台的体积公式求得圆锥与圆台的体积关系． 【详解】设截面圆半径为r，圆锥的高为h，圆锥的体积为,则圆台下底面圆的半径为2r，圆台的高为h，圆台的体积为， 所以，， 可得. 故选：D. 二、多选题 12．如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，，，平面，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积是定值 B．存在一点，使得 C．动点的轨迹长度为 D．五面体的外接球半径为 【答案】ACD 【分析】根据等体积变换判断A,D，利用题意分析出点的轨迹判断B,C； 【详解】根据题意正方体的棱长为，，利用勾股定理可得， 如图所示， 在边上取点，在边上取点，在平面中，四边形为平行四边形，则 又平面,平面,所以平面； 同理,平面,平面,所以平面 因为平面,所以平面平面 点是正方体的表面上一个动点，平面， 则点的轨迹为四边形（不包含点） 对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，在中，，点的轨迹为四边形，且平面平面，则点到平面的距离为 ，所以A正确； 对于B，点的轨迹为四边形（不包含点）， 在正方体中，是平面内两条相交直线，所以与平面，在平面任意一条直线都已垂直，所以从点出发的直线在平面内才能使成立，点的轨迹为四边形（不包含点），则可知不存在点，使得，所以B错误； 对于C，点的轨迹为四边形，利用勾股定理计算动点的轨迹长度为，所以C正确； 对于D，五面体是四棱锥，四边形是等腰梯形，, ，设所在圆的圆心为,是的中点, 四棱锥的外接球球心为,连接，根据题意是直角三角形,是的中点，在线段上， 设，因为，可得，解得 所以四棱锥的外接球半径为. 故选：ACD. 【点睛】三棱锥体积求解方法：直接法；等体积变换法； 三、填空题 13．某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知，则制成的简易笔筒的体积为 ． 【答案】 【分析】设所得圆台的上底半径为 ，下底半径为 ，由圆台的结构特征求出、和圆台的高，再由圆台的体积公式计算可得． 【详解】根据题意，设所得圆台的上底半径为 ，下底半径为 ， 在图1的扇形中，，，圆心角为， 则有，解得， 同理，解得， 又， 则圆台的高， 故圆台的体积． 故答案为：． 14．若一个球的表面积为，则该球的体积为 .（结果中保留） 【答案】/ 【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，再求球的体积. 【详解】由球的表面积是, 有，得. 所以球的体积为. 故答案为： 四、解答题 15．在直三棱柱中，，，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求直三棱柱的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式和棱柱的体积公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，利用余弦定理求得，结合直棱柱的侧面积公式，即可求解. 【详解】（1）在中，因为，且， 可得， 又由直三棱柱中，，即直三棱柱的高为， 所以直三棱柱的体积. （2）在中，因为，且， 可得，可得， 则直三棱柱的侧面积， 所以直三棱柱的表面积. 【题型三 和截面有关的计算】 一、单选题 1．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中心，再求出三棱锥的高,利用勾股定理即可求解外接球半径. 【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为 ， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点， 如图，过球心作的垂线交于， 则， 又因为，所以， 又与相似，所以， 所以， 因为外接圆的半径为， 正三棱锥外接球的球心在上，设半径为， 所以，即， 解得. 故选：. 2．已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案. 【详解】如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径， 记内切球和外接球的半径分别为和， 则 所以其外接球与内切球的表面积之比为. 故选：A． 3．已知一个正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为过其外接球球心作平行于底面的截面，则截得的棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱锥的几何性质可求解长度，即可根据勾股定理可得球半径，进而根据相似可得，即可根据台体体积公式求解. 【详解】如图正三棱锥，设为的中心，外接球半径为,球心为, 则，， ， ，，， ， 棱台的上下底面的面积为， ，， 所以棱台的体积为， 故选：B．    4．下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．长方体是平行六面体 C．用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形 D．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 【答案】B 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A， 底面是正多边形，侧棱均相等的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于B，平行六面体是各个面都为平行四边形的棱柱，而长方体是各面为矩形的棱柱， 所以长方体是平行六面体，故B正确； 对于C，用一个平面去截圆柱，所得截面可能为椭圆，故C错误； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误. 故选：B. 二、多选题 5．某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 【答案】BCD 【分析】根据弧长公式、圆锥体积公式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】因为圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 对于A，因为圆锥的体积为，故A错误； 对于B，因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确； 对于C，设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为， 当时，面积有最大值，最大值为，故C正确； 对于D，圆锥的侧面积为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 6．已知圆锥的轴截面面积为，则该圆锥的外接球半径的最小值为 . 【答案】2 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，可得，，设，利用导数判断单调性求出最值. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则， 设圆锥的外接球的半径为，则无论球心在圆锥内还是圆锥外，都有，则， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，. 故答案为：2. 7．如图，已知四面体的各条棱长均等于分别是棱的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，当截面面积最大时，四棱锥的体积为 ． 【答案】 【分析】先通过作图并证明截面的形状是矩形，再引入变量，来求截面面积的最大值，从而找到特殊位置，进而求出体积. 【详解】 连接，由四面体的各条棱长均等于，可得这是一个正四面体， 由分别是棱的中点，可知 ， 平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 先假设分别是各棱中点， 则，所以， 同理可证：，，平面， 所以平面， 又因为直线截面，则截面平面， 即可知任意截面是矩形. 可设，则， 由和是等边三角形，则，， 所以， 此时，即为的中点， 由边长为，可知，， 所以四棱锥的体积为：， 故答案为：. 8．如图，已知棱长均为4的正四棱锥P-ABCD中，M和N分别为棱AB、PC的中点，过M和N可以作平面使得，则平面截正四棱锥P-ABCD所得的截面面积为 . 【答案】 【分析】取中点为，取中点为，易证明平面，再通过取四等分点，可证明截面就是五边形，最后通过证明四边形是矩形，再来计算截面的面积即可. 【详解】 取中点为，取中点为，连结四点可得四边形， 结合题意可知，所以， 同理：，所以，即四边形是平行四边形， 因为平面， 平面，所以平面， 设，可得，再在上取点，满足， 此时，所以，可得截面五边形， 由正四棱锥可知：平面，且平面，所以， 又因为，，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，所以，从而可得四边形是矩形， 由正四棱锥所有棱长均为4，可知，， 所以四边形的面积为， 再由，，可知： 又因为，所以三角形的面积为， 所以截面五边形的面积为 故答案为：. 9．高为1的圆锥，侧面积为，则过其顶点的截面面积最大值为 ． 【答案】2 【分析】先由圆锥的性质求出底面圆的半径，再结合余弦定理和三角形面积公式求出最值即可. 【详解】设底面半径为，则母线长为， 因为侧面积为， 所以，解得， 当截面为中轴面时顶角最大，截面的顶角设为， 则， 所以最大面积为，此时，顶角为. 故答案为：2. 10．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为 ．    【答案】/ 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，， ， 则其周长为.    故答案为：. 【题型四 几何题的“内切”和“外切”球的问题】 一、单选题 1．已知球O为四棱锥的外接球，为球的直径，且，，则当面积最大时，三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，证得平面，求出面积最大时的，进而求出锥体体积的最大值. 【详解】依题意，，则，而， 平面，于是面，又面， 则，而平面，因此平面， 显然，当且仅当时取等号， 即当时，的面积， 显然，即，当且仅当时取等号， 于是当时，的面积最大，三棱锥体积最大，最大体积为. 故选：A 2．已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法1：设正方体棱长为，利用截面圆的半径、到平面的距离、球的半径构成的直角三角形可得答案；解法2：设正方体棱长为，利用的面积相等解得可得答案． 【详解】解法1：设正方体棱长为，则球的半径为， ∵平面截此球所得的截面的面积为，∴截面圆的半径为， 由题意，球心与的距离为， 设到平面的距离为， 是边长为的等边三角形，， 由得，可得， ，∴，∴，即正方体棱长为； 解法2：设正方体棱长为，内切球与正方体各面的切点， 恰好为等边三角形各边的中点，截面圆为等边三角形的内切圆， 又因为平面截此球所得的截面的面积为， 所以截面圆的半径为，， 所以，整理得， 故截面圆的半径，解得， 即正方体棱长为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：在方法1中关键点是根据勾股定理求出. 3．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，根据外接球的球心总在圆锥的高所在的直线上，借助勾股定理建立等量关系即可求出外接球的半径. 【详解】设圆锥底面圆半径为，依题意，，解得， 圆锥的高，显然圆锥的外接球的球心在线段上， 设球的半径为．连接，则由， 得，解得，即， 所以该圆锥的外接球的表面积． 故选：C 4．如图，圆台的上、下底面半径分别为，，半径为的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用圆台的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，圆台的母线长，而，因此， 所以. 故选：A 5．在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的结构特征求出外接球半径，即可得答案. 【详解】由题意知在正方体中，， 故正方体的体对角线长， 该正方体外接球的直径即为正方体的体对角线长，则外接球半径为， 故该正方体外接球的表面积为， 故选：B 6．已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，，且三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的外接圆半径，结合三棱锥体积的最大时，S到平面的距离最大，确定S的位置，从而在中，列式求解，求出外接球半径，即可求得答案. 【详解】设三棱锥的外接球球心为O， 在中，，，则, 而，故， 设的外接圆半径为，其外心为，则， 故为定值； 故三棱锥体积的最大时，S到平面的距离最大， 设此时S到平面的距离为h，则，即得； 此时三点共线，且， 由于平面，平面，故，设外接球半径为R， 则在中，，则， 解得，故外接球的表面积为， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据三棱锥体积的最大值，确定S的位置，从而求出外接球的半径. 7．如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，找到二面角的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积. 【详解】如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点， 因为，， 所以，⊥，则⊥， 由于⊥，故即为二面角的平面角， 则， 过点作⊥于点， 因为⊥，⊥，，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 则⊥平面，， 取的中点，则外接球球心在平面的投影为，即⊥平面， 连接，，则，过点作，交直线于点， 则，   ， ， 由余弦定理得 ， 设，则，故， 由勾股定理得，， 故，解得， 故外接球半径为，外接球表面积为. 故选：C 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 8．已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合棱台的体积公式求出棱台的高，棱台上下底面的外接圆半径，再借助正棱台的结构特征求出其外接球半径即可. 【详解】令给定的正三棱台为正三棱台，， 令正的中心分别为，而， 则，解得， 的外接圆半径，的外接圆半径， 显然正三棱台的外接球球心在直线，设外接球半径为，则， 因此，解得， 所以该正三棱台的外接球表面积为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 二、多选题 9．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B．直线共面 C．过四点的球的表面积是 D．过三点的平面截正方体所得截面的周长是 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接、、、、，即可证明平面，从而判断A、B；求出外接球的半径，即可判断C，在上取一点，使得，在上取一点，使得，连接、、、、，即可说明五边形为过三点的平面截正方体所得截面，再计算周长即可判断D. 【详解】对于A：取的中点，连接、、、、， 所以且，且， 又且，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B：因为，，平面，平面， 所以与异面，故B错误； 对于C：连接，取的中点，连接，则为外接圆的圆心，又，， 所以，， 所以， 则， 设过四点的球的球心为，则平面，又点在平面的投影为， 设过四点的球的半径为，因为， 所以，解得，， 所以外接球的表面积，故C正确； 对于D：在上取一点，使得，在上取一点，使得， 连接、、、、， 再取、的中点、，连接，、，所以，， 又且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，同理可知， 所以五边形为过三点的平面截正方体所得截面， 又，，， ，， 所以过三点的平面截正方体所得截面的周长是： ，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 10．如图，等腰直角三角形中，，，是边上一动点（不包括端点）.将沿折起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球体积的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据两平面互相垂直判断外接球球心的位置，再由已知条件计算出球半径表达式，即可求出体积取值范围. 【详解】因为是直角三角形，所以其外接圆的圆心在的斜边上，即是该圆的直径， 又因为平面平面，所以平面必过球心，外接球半径即为外接圆的半径， 设球的半径为，球的体积为， 在中，根据正弦定理得，， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是通过两平面垂直关系以及三棱锥的底面为直角三角形判断出球心的位置，判断球心在平面上，得出球心为外接圆的圆心，再求出的取值范围即可解决问题. 11．已知正四面体的棱长为1，正四面体的外接球体积为，其内切球体积为，则 . 【答案】27 【分析】根据正四面体棱长分别求出外接球和内切球半径，即可得出两球体积比值. 【详解】如下图所示： 设点在底面内的投影为，易知正四面体的外接球和内切球球心重合，设为， 又正四面体的棱长为1，内切球的半径为，外接球的半径为， 易知； 则由等体积法可得， 即， 由勾股定理可得； 解得； 则. 故答案为：27. 12．已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则 . 【答案】1 【分析】把四面体补形为长方体，根据外接球直径为长方体的体对角线，即可求解. 【详解】 因为平面，所以可以将四面体补形为长方体， 因为球的体积为，设球的半径为，所以，所以， ，解得. 故答案为：1. 13．如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 【答案】/ 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解. 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接， 则为正四面体内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以，解得， 所以正四面体内切球的体积， 由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径， 故最大球体积为； 中等球内切于高的正四面体中，中等球半径， 故中等球的体积为； 最小求内切于高的正四面体中，最小球半径， 故最小求的体积为； 所以九个球的体积和， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出大球、中球以及小球的半径，由此结合体积公式即可顺利得解. 14．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为 ． 【答案】 【分析】利用圆柱的高和圆柱外接球半径，求出圆柱底面圆半径，由圆柱表面积公式求解即可. 【详解】根据题意得，球半径，圆柱底面圆半径， 该圆柱的表面积. 故答案为：． 15．已知三棱锥中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为 ． 【答案】 【分析】可以将三棱锥放置在长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线，由此可得外接球的半径；利用等体积法，将三棱锥的体积分成四个小三棱锥的体积和，根据可求得内切球的半径，可得答案． 【详解】将三棱锥放置于长、宽、高分别是的长方体中（如图所示）， 则，解得， 而三棱锥外接球即为该长方体的外接球， 所以三棱锥外接球半径； 三棱锥的体积， 而三棱锥的表面积， 在中，由余弦定理得，， 所以，故； 设三棱锥内切球的半径为r， 则，所以． 故答案为：． 16．我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形，如图1，在一个棱长为2r的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖（如图2），我国南北朝时期数学家祖暅基于“势幂既同则积不容异”这一观点和对牟合方盖性质的研究，推导出了球体体积公式．设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，则平面截牟合方盖所得截面的形状为 （填“正方形”或“圆形”），设半径为r的球体体积为，图2所示牟合方盖体积为，则 ． 【答案】 正方形； / 【分析】由牟盒方盖的定义以及祖暅原理求出“牟合方盖”体积即可得解. 【详解】牟盒方盖是由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的，那么只要用水平面去截它们，所得的截面均为正方形， 根据祖暅原理，图2中正方体与“牟合方盖”的八分之一之间空隙的截面面积与图3中正四棱锥中阴影部分的面积相等，所以正方体与牟合方盖的八分之一之间空隙的体积与正四棱锥体的体积相等，而正四棱锥体的体积， 则图1中的八分之一牟合方盖的体积等于正方体的体积减去正四棱锥的体积 所以个牟合方盖的体积， 则整个牟合方盖的体积为， 又半径为的球体体积为， 所以， 故答案为：正方形；. 【过关检测卷】 一、单选题 1．在复平面，复数z对应的点坐标为，则（    ） A．i B．-i C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再由复数除法法则即可求解. 【详解】z对应的点坐标为，所以， 所以 故选：B. 2．i为虚数单位，若，则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的运算及复数的几何意义得解. 【详解】因为， 所以在复平面内z对应的点位于第三象限， 故选：C 3．复数在复平面内分别对应点，，将点绕原点按顺时针方向旋转得到点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意写出点的坐标，由旋转得出点的坐标即可得解． 【详解】由题得点，将点绕原点顺时针旋转得到点， 所以， 故选：C． 4．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由已知运算和复数的运算化简即可. 【详解】由题意可得， 即， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限， 故选：B. 5．在复数范围内方程的两个根分别为，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两复数根，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解. 【详解】根据题意可得， ，即， 当，时，， ， 当，时，， ， 综上，. 故选：D. 6．已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】假设，根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状. 【详解】因为 ，所以可设， 所以 ， 所以 ， 当时，取最大值， 即当，即时，取最大值， 此时， 所以对应的点， 所以，， ， 所以，根据各边关系易知各边对应角为锐角， 所以该图形为等腰三角形. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于能够根据的模长将为，从而可利用三角函数的知识确定的最大值，根据复数几何意义可确定对应的点的坐标，进而可求得三角形的各个边长. 二、多选题 7．若复数满足（是虚数单位），则下列说法错误的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C．的共轭复数为 D．在复平面内对应点在第一象限 【答案】AC 【分析】先求出复数，利用复数虚部的定义判断A，利用复数模的性质判断B，利用共轭复数的定义判断C，利用复数在复平面内对应点的特征判断D即可. 【详解】若，则， 对于A，的虚部应为，故A错误， 对于B，的模为，故B正确， 对于C，的共轭复数应为，故C错误， 对于D，在复平面内对应点为，显然在第一象限，故D正确. 故选：AC 8．已知复数，满足，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的向量为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】结合复数运算解方程可求，判断A，根据共轭复数定义及复数乘法求判断B，根据复数的几何意义判断C，根据复数的模的几何意义判断D. 【详解】因为， 所以，A 正确； 所以，所以，B错误； 所以复平面内对应的向量为，C正确； 设复数在复平面上的对应点为， 因为，所以点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆， 又复数在复平面上对应点的坐标为， 的几何意义为点的距离， 所以的最小值为，D正确， 故选：ACD. 9．下列说法不正确的是（    ） A．复数z满足 B．若，则或 C．，，，则，中至少一个为0 D．的虚部为 【答案】ABD 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：设，，根据复数结合复数相等分析求解；对于D：根据除法结合虚部的概念分析求解. 【详解】对于A：例如，则，不满足．故A错误； 对于B：例如，则，符合题意， 但且，故B错误； 对于C：设， 则， 所以，则或． 所以，中至少一个为0．故C正确； 对于D：因为． 所以的虚部为．故D错误． 故选：ABD． 10．已知是复数，且为纯虚数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】先设，，代入化简，根据为纯虚数得出；再根据向量模的计算方法可判断选项A，根据共轭复数和复数乘法运算可判断选项B；根据复数的几何意义可判断选项C和D. 【详解】设，. 则. 因为为纯虚数， 所以，即. 所以，，故选项A正确，选项B正确. 因为复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点均不在实轴上，故选项C错误； 因为的几何意义为表示点到点， 所以最大值为，故选项D正确. 故选：ABD. 11．已知方程的两个复数根分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解方程求出，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可各个选项. 【详解】方程可转化为，解得或， 不妨设，， 对于A，显然，故A正确； 对于B，，故B 错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ． 【答案】 【分析】根据复数运算法则求的代数形式，再求其虚部即可. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为， 故答案为：. 四、解答题 13．已知是虚数单位，复数，m为实数． (1)当实数m满足什么条件时，为纯虚数 (2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；（2）利用复数的几何意义，根据对应的点位于实轴负半轴进行求解即可. 【详解】（1）根据纯虚数的定义，，解得； （2）利用复数的几何意义，复数坐标为，根据对应的点位于实轴负半轴，，解得，则 14．已知复数(为虚数单位). (1)求; (2)若，其中，求的值; (3)若，且是纯虚数，求. 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）代入，结合复数模的定义计算即得. （2）利用复数的除法运算，化成给定形式即可得解. （3）设出复数的代数形式，利用复数模、复数乘法运算，结合纯虚数的意义求解即得. 【详解】（1）依题意，，所以. （2） ， 所以 （3）设，则，即， ， 由是纯虚数，则有， 由，解得或， 所以或. 15．已知复数，，其中． (1)求的值； (2)求的最大值并说明取得最大值时的取值集合． 【答案】(1)3 (2)； 【分析】（1）根据共轭复数概念以及复数乘法规则运算即可. （2）根据复数的模长和复数的乘法运算结合降幂公式即可求解. 【详解】（1）由题； ， 所以. （2）由题得 ， 又，所以当即时，取得最大值为， 故最大值为，此时的取值构成的集合为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$