微素养·专题突破5 菱形中的典型问题-【精彩练习】2023-2024学年八年级下册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

　五　菱形中的典型问题 类型　　1　菱形中的将军饮马 【例1】 如图，已知▱ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，E为AB的中点，点F是AC上一动点，求EF＋BF的最小值． 解：在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB. ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴点B，D关于AC对称． 连结ED，则ED就是所求的EF＋BF取最小值的线段， ∵E为AB的中点，∠DAB＝60°， ∴DE⊥AB，∴ED＝＝＝3， ∴EF＋BF的最小值为3. 类型　　2　菱形中的对称问题 【例2】 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在边AB，BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝2，则FG的长为____． 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAB＝∠CAD＝60°， ∴△ABC，△ACD是等边三角形． ∵EG⊥AC， ∴∠AEG＝∠AGE＝30°. ∵∠B＝∠EGF＝60°， ∴∠AGF＝90°，∴FG⊥BC， ∴2•S△ABC＝BC•FG，∴2××(2)2＝2•FG，∴FG＝. 【例3】 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝45°，点E在BC边上，点C′与点C关于直线DE对称，连结DC′，若DC′与菱形的一边垂直，则线段CE的长为__或2－2__． 【解析】 如图1，当DC′⊥CD时， ∴∠CDC′＝90°. ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB＝2，∠A＝∠C＝45°. ∵点C′与点C关于直线DE对称， ∴∠CDE＝∠C′DE＝45°. ∵∠C＝45°，∴∠C＝∠CDE＝45°， ∴∠DEC＝90°，DE＝CE，∴DC＝CE＝2，∴CE＝. 如图2，当DC′⊥AD时，设DC′与BC交于点F，连结BD. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝45°. ∵DF⊥AD，∴DF⊥BC，∴∠CFD＝90°. ∵∠C＝45°，∴∠DCF＝∠CDF＝45°， ∴DF＝CF，∴DC＝CF＝2，∴CF＝，∴BF＝2－. ∵点C′与点C关于直线DE对称， ∴∠CDE＝∠C′DE＝22.5°，∴∠DEB＝67.5°. ∵CD＝CB，∠C＝45°，∴∠DBC＝67.5°＝∠DEB，∴DE＝DB. ∵DF⊥BC，∴BF＝EF＝2－， ∴CE＝BC－BF－EF＝2－2(2－)＝2－2. 综上所述，CE＝或2－2. 类型　　3　菱形中的半角问题 【例4】 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交射线CB、射线DC于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连结EF. (1)如图1，当点E是线段CB的中点时，则AE＝__3__． (2)在∠EAF转动的过程中，△AEF的形状是否会发生改变？如果不会发生改变，请判断形状，并结合图2说明理由． (3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求AF的长． 解：(1)如图1，连结AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6. ∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形． ∵E是线段CB的中点，∴BE＝BC＝3，AE⊥BC， ∴AE＝＝＝3.故答案为3. (2)△AEF的形状不会发生改变，△AEF是等边三角形，理由如下： 如图1，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°，∠ACF＝∠BCD＝60°， ∴∠ABE＝∠ACF， 由(1)得△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°. ∵∠EAF＝60°，∴∠BAC＝∠EAF， ∴∠BAC－∠CAE＝∠EAF－∠CAE，即∠BAE＝∠CAF. 在△BAE和△CAF中， ∴△BAE≌△CAF(ASA)，∴AE＝AF. 又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形． (3)过点A作AH⊥BC于点H，如图2， ∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°， ∴∠AEB＝∠ABC－∠EAB＝45°. ∵AH⊥BC，∴△AHE是等腰直角三角形， ∴AH＝EH，AE＝AH. 在Rt△ABH中，∠ABC＝60°， ∴∠BAH＝90°－60°＝30°， ∴BH＝AB＝3，AH＝＝3， ∴AE＝AH＝3. 由(2)得△AEF是等边三角形，∴AF＝AE＝3. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图，在边长是5的菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE＝2，点F是AC上一动点，则EF＋BF的最小值是(　C　) A．2 B．3 C．4 D．5 第1题图 　　第2题图 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC，CD于E，F两点，则CE＋CF的值为(　C　) A．5 B．6 C．4 D．3 3．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连结DF，且∠CDF＝18°，则∠DAF＝__54°__． 第3题图 　　第4题图 4．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6.折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F.当点M与点B重合时，EF的长为__3__． 5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝4，E是BC的中点，点F在CD边上，点C关于EF的对称点为C′，连结EC′，FC′，在点F从C运动到点D的过程中，AC′长度的最大值与最小值的差为__4－2＋2__． 【解析】 如图1，当F与C重合时，C′与C重合， AC′＝AC最大，连结BD. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×120°＝60°. 在Rt△AOB中，∠BAO＝30°， ∴OB＝2，∴AO＝＝2，∴AC′＝AC＝4； 如图2，因为点C与点C′关于EF对称，所以在点F从C运动到点D的过程中，点C′在以E为圆心、EC为半径的圆上运动． ∵AE，C′E的长度为定值，∴当点C′在AE上时，AC′最小． 过点A作AG⊥BC，交CB的延长线于点G， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°，AB＝4， ∴∠ABG＝60°，BG＝2，AG＝2， ∴GE＝2＋2＝4， ∴AE＝＝＝2， 则AC′＝AE－C′E＝2－2， ∴4－(2－2)＝4－2＋2， 即AC′长度的最大值与最小值的差为4－2＋2. 6．在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，F分别是边BC，CD边上的点，连结AE，EF，AF. (1)如图1，若E，F分别是边BC，CD边上的中点，则△AEF是__等边__三角形． (2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形． (3)如图3，若∠AEF＝60°，(2)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 解：(1)如图1，连结AC， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠B＝∠D. ∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝AD＝CD，∴∠CAD＝60°， ∴∠BAD＝120°. ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∠EAC＝30°， 同理，∠CAF＝30°，∴∠EAF＝60°. ∵E，F分别是边BC，CD边上的中点，BC＝DC， ∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF. 又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形． 故答案为等边． (2)如图2. ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC. ∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形， ∴∠2＝60°，∠1＋∠4＝60°，AC＝AB，∴∠ACF＝60°. ∵∠EAF＝60°，即∠3＋∠4＝60°，∴∠1＝∠3， 在△AEB和△AFC中， ∴△AEB≌△AFC，∴AE＝AF. ∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形． (3)成立， 连结AC，作EG∥AB交AC于点G，如图3，则∠GEC＝∠B＝60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠B＝60°，∠ACB＝∠ACD， ∴△ABC是等边三角形，∠BCF＝120°， ∴∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠GEC＝60°， ∴△GEC是等边三角形，∴EG＝EC，∠EGC＝60°， ∴∠EGA＝120°. ∵∠AEF＝60°＝∠GEC，∴∠1＝∠2. 在△AEG和△FEC中， ∴△AEG≌△FEC(ASA)，∴AE＝EF. ∵∠AEF＝60°，∴△AEF为等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$