微素养·专题突破2 用适当的方法解一元二次方程-【精彩练习】2023-2024学年八年级下册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

　二　用适当的方法解一元二次方程 【例1】　用适当的方法解方程： (1)2x2＋1＝3x. (2)(x－3)2＝(3x－1)2. 解：(1)2x2＋1＝3x， 2x2－3x＋1＝0， (2x－1)(x－1)＝0， 则2x－1＝0，x－1＝0， 解得x1＝，x2＝1. (2)移项，得(x－3)2－(3x－1)2＝0， 因式分解，得(x－3－3x＋1)(x－3＋3x－1)＝0， 即(－2x－2)(4x－4)＝0， 故－2x－2＝0或4x－4＝0， 解得x1＝－1，x2＝1. 【变式】　用适当的方法解一元二次方程： (1)x2－2x－8＝0. (2)3x(x－2)＝2(2－x). 解：(1)x2－2x－8＝0， (x－4)(x＋2)＝0， x－4＝0或x＋2＝0， 所以x1＝4，x2＝－2. (2)3x(x－2)＝2(2－x)， 3x(x－2)＋2(x－2)＝0， (x－2)(3x＋2)＝0， x－2＝0或3x＋2＝0， 所以x1＝2，x2＝－. 【例2】　已知方程x2＋bx－c＝0的根是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋b(2x＋3)－c＝0，那么它的根是__x1＝－1，x2＝－3__． 【变式】　解方程：(x－2)2－3(x－2)＋2＝0. 解：令x－2＝y，则原方程可化为y2－3y＋2＝0. 在方程y2－3y＋2＝0中，a＝1，b＝－3，c＝2， ∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1>0， ∴y＝＝， ∴y1＝2，y2＝1. 当y＝2时，x－2＝2，∴x＝4； 当y＝1时，x－2＝1，∴x＝3. 故x1＝4，x2＝3. 【例3】　已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0. (1)若方程没有实数根，求实数m的取值范围． (2)若方程有两实数根，分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值． 解：(1)∵方程没有实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×m＜0， 解得m＞4， ∴实数m的取值范围是m＞4. (2)∵x1，x2是x2－4x＋m＝0的两个根， ∴x－4x1＋m＝0 ①，x－4x2＋m＝0 ②， ∴①－②得，x－x－4x1＋4x2＝0， 即(x1－x2)(x1＋x2－4)＝0， 当x1＝x2时，Δ＝0，即16－4m＝0，所以m＝4. 当x1≠x2时，x1＋x2＝4. 又∵5x1＋2x2＝2， ∴x1＝－2. ∵x1是方程的根，把x1＝－2代入原方程得4＋8＋m＝0， ∴m＝－12， ∴实数m的值是－12. 综上，m的值是4或－12. 【变式】　已知关于x的方程x2－4x＋m－1＝0没有实数根，则m的取值范围是__m＞5__． 1．下列一元二次方程适合用配方法求解的是(　B　) A．x2－16＝0　　　　B．x2－6x＝10 C．(x－3)(x－5)＝0 D．x2＋x＝0 2．小明在解方程x2－4x＝2时出现了错误，其解答过程如下： ∵a＝1，b＝－4，c＝－2，(第一步) ∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝24，(第二步) ∴x＝，(第三步) ∴x1＝－2＋，x2＝－2－.(第四步) 小明的解答过程中开始出错的步骤是(　C　) A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 3．一元二次方程x2＋x－6＝0的根是(　B　) A．x＝－3 B．x1＝2，x2＝－3 C．x＝2 D．x1＝－2，x2＝3 4．欧几里得的《原本》记载了形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正根是(　B　) A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 【解析】 设AD＝x，根据勾股定理，得＝b2＋，整理得x2＋ax＝b2，则该方程的一个正根是AD的长． 5．若关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0(a≠0)有一根为x＝2 022，则一元二次方程a(x－1)2＋b(x－1)＝1必有一根为__2__023__． 6．若(a＋b)2－3 (a＋b)＋2＝0，求a＋b的值． 解：设a＋b＝t， 则原方程可化为t2－3t＋2＝0， 解得t1＝1，t2＝2， 即a＋b的值为1或2. 7．选择适当的方法解下列方程： (1)x2－2x＝0.　　(2)(x＋4)2＝5(x＋4). (3)(x＋1)2＝4x.　(4)2x2－8x－1＝0. 解：(1)x1＝0，x2＝2　(2)x1＝－4，x2＝1 (3)x1＝x2＝1　(4)x1＝2＋ ，x2＝2－ 8．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：－1必是该方程的一个根． 证明：根据题意，得a＋c＝b，即a－b＋c＝0. 当x＝－1时，ax2＋bx＋c＝a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝a－b＋c＝0， 所以－1必是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根． 9．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0. (1)求出方程的根． (2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 解：(1)根据题意，得m≠1. ∵a＝m－1，b＝－2m，c＝m＋1， b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4， ∴x1＝＝，x2＝＝1. (2)由(1)知，x1＝＝1＋，x2＝1. ∵方程的两个根都为正整数， ∴是正整数， ∴m－1＝1或m－1＝2， 解得m＝2或3. ∴当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数． 学科网（北京）股份有限公司 $$