专项评价(8) 几何中的几个重点问题-【精彩练习】2023-2024学年八年级下册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

专项评价(八)　几何中的几个重点问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型1　对称性的应用 1．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC，DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE，EH，DH，FH.下列结论中正确的有(　D　) ①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则S△EDH＝13S△CFH. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】 ①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD， ∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°， ∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF＝FC. ∵EG＝EF－GF，DF＝CD－FC， ∴EG＝DF，故①正确； ②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD， 在△EHF和△DHC中， ∴△EHF≌△DHC(SAS)，∴∠HEF＝∠HDC， ∴∠AEH＋∠ADH＝∠AEF＋∠HEF＋∠ADF－∠HDC＝∠AEF＋∠ADF＝180°， 故②正确； ③由②知，△EHF≌△DHC，故③正确； ④∵＝，∴AE＝2BE. ∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝GH，∠FHG＝90°. ∵∠EGH＝∠FHG＋∠HFG＝90°＋∠HFG＝∠HFD， 在△EGH和△DFH中， ∴△EGH≌△DFH(SAS)， ∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG＋∠DHG＝∠DHF＋∠DHG＝∠FHG＝90°， ∴△EHD为等腰直角三角形， 过点H作HM垂直于CD于点M，如图所示． 设HM＝x，则CF＝2x， ∴DF＝2FC＝4x， ∴DM＝5x，DH＝x，CD＝6x， 则S△CFH＝HM·CF＝x·2x＝x2， S△EDH＝DH2＝×(x)2＝13x2， ∴则S△EDH＝13S△CFH，故④正确． 其中结论正确的有①②③④，共4个． 2．如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一个动点，连结AG，过点G作GE⊥CD，GF⊥BC，点E，F分别为垂足． (1)求证：GE＋GF＝AB. (2)写出GE，GF，AG三条线段满足的等量关系，并求当AB＝5，AG＝时，BG的长． 解：(1)证明：∵在正方形ABCD中，BD是对角线，∴AB＝BC，∠C＝90°，∠DBC＝45°.又GE⊥CD，GF⊥BC，∴四边形GECF是矩形，∴GE＝FC.易证△BFG是等腰直角三角形，∴BF＝GF，∴GE＋GF＝FC＋BF＝BC＝AB. (2)连结CG，EF(图略).在△ABG与△CBG中， ∵∴△ABG≌△CBG， ∴AG＝CG.∵GE2＋GF2＝EF2，而在矩形GECF中，CG＝EF，∴GE2＋GF2＝CG2＝AG2.当AB＝5时，设GE＝x，则由(1)可知GE＋GF＝5，即GF＝5－x.又∵AG＝，∴GE2＋GF2＝AG2＝13，∴x2＋(5－x)2＝13，化简得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.当GE＝2时，BG＝3；当GE＝3时，BG＝2. 类型2　折叠问题 3．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2.将△ABC沿AC所在直线翻折到同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为____． 4．右图是一张矩形纸片ABCD，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处．若AD＝6，且5(BF－DF)＝3AB，则矩形ABCD的面积为__15__． 【解析】 由题意得，△DEF≌△DEC，∴DF＝CD. 又∵四边形ABCD是矩形，AB＝CD，∠A＝90°，∴DF＝AB.又∵5(BF－DF)＝3AB，∴5(BF－AB)＝3AB， ∴BF＝AB，∴BD＝BF＋DF＝AB＋AB＝AB. 在△ABD中，∠A＝90°，∴AB2＋AD2＝BD2， ∴62＋AB2＝，∴AB＝，∴S矩形ABCD＝AB·AD＝6×＝15. 5．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则GE＝__2.8__，EF＝__3.5__. 6．右图是一张矩形纸片ABCD，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝__29__，矩形ABCD的面积＝__420__． 类型3　构造直角三角形计算长度 7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长为(　D　) A．2－2 B．－1 C．2－ D．－1 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝CD＝DA＝1，∴∠BCD＝90°，∴BD＝＝. ∵AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACD， ∴∠BCE＝67.5°，∠DCE＝22.5°. ∵∠BEC＝∠EDC＋∠DCE＝45°＋22.5°＝67.5°， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE. ∵BC＝1，∴BE＝1， ∴DE＝BD－BE＝－1. 第7题图 　　　　第8题图 8．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F在正方形ABCD内．若四边形AECF恰好是菱形，连结FB，DE，且AF2－FB2＝3，则菱形AECF的边长为(　D　) A． B． C．2 D． 9．如图，已知正方形ABCD的边长为3 cm，点E在边CD上，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q.若PQ＝AE，则AP等于(　D　) A．1.2 cm B．2 cm C．1.2 cm或2 cm D．1 cm或2 cm 【解析】 过点P作PN⊥BC，分别交AE，BC于点F，N(图略)，∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝DC＝PN， 在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3 cm， ∴DE＝ cm， ∴AE＝＝＝2(cm). ∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝(cm)， 在Rt△ADE和Rt△PNQ中， ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)， ∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°. ∵PN∥DC，∴∠PFA＝∠DEA＝60°， ∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF， 在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，∴AP＝2 cm. 由对称性得到AP′＝DP＝AD－AP＝3－2＝1(cm)， 综上，AP等于1 cm或2 cm. 类型4　最值问题 10．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为__2__；若点P，Q分别为线段BC，CD的中点，则PK＋QK的最小值为__4__． 类型5　中点相关问题 11．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为(　A　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 延长AC，BE交于点M，如图． ∵AE平分∠CAB，AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠AEM＝90°，∠CAE＝∠BAE， ∴AB＝AM＝10，BE＝EM. ∵AC＝6， ∴CM＝AM－AC＝10－6＝4. ∵F是BC的中点，BE＝EM， ∴EF为△BCM的中位线， ∴EF＝CM＝2. 第11题图 　　　　第12题图 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，D为AC延长线上一点，且已知AD＝8，E为BC上一点，BE＝2，若M为线段AB的中点，N为DE的中点，则线段MN的长为 ____． 【解析】 连结BD，取BD的中点F，连结MF，NF，MF与BC相交于G，过点N作NH⊥MF于H，如图， ∵N，F分别是DE，BD的中点， ∴NF∥BE，NF＝BE＝×2＝1. ∵M，F分别是AB，BD的中点， ∴MF∥AD，MF＝AD＝×8＝4. ∵∠ACB＝120°，∴∠DCB＝60°. ∵MF∥AD，∴∠BGF＝∠DCB＝60°. ∵NF∥BE，∴∠NFG＝∠BGF＝60°. ∵NH⊥MF，∴∠NHF＝90°，∴∠FNH＝30°， ∴HF＝NF＝，∴MH＝MF－HF＝4－＝. 在Rt△FHN中，NH＝＝＝. 在Rt△MHN中，MN＝＝＝. 13．如图，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD绕点C顺时针旋转α到正方形A′B′CD′，其中0°＜α＜90°，AD与A′B′相交于点E. (1)如图1，求证：A′E＝AE. (2)如图2，当E是AD的中点时， ①求∠A′DD′的大小． ②求DD′的长． 解：(1)证明：连结CE，如答图1. ∵将正方形ABCD绕点C顺时针旋转α到正方形A′B′CD′，∴CB′＝CD＝A′B′＝AD，∠B′＝∠D＝90°.∵CE＝CE，∴Rt△CEB′≌Rt△CED(HL)，∴B′E＝DE，∴A′B′－B′E＝AD－DE，即AE＝A′E. (2)①如答图2，连结B′D，∵E为AD的中点， ∴DE＝A′E＝B′E，∴∠A′DB′＝90°.∵CD＝CD′＝CB′， ∴∠CB′D＝∠CDB′，∠CDD′＝∠CD′D， ∴∠CB′D＋∠CDB′＋∠CDD′＋∠CD′D＝360°－90°＝270°， ∴∠B′DD′＝135°， ∴∠A′DD′＝360°－∠A′DB′－∠B′DD′＝360°－90°－135°＝135°. ②作D′H⊥A′D，交A′D的延长线于H，如答图3. ∵∠H＝∠A′DB′＝90°，∠D′A′H＝∠A′B′D，A′D′＝A′B′，∴△A′D′H≌△B′A′D(AAS)，∴A′D＝D′H.∵∠A′DD′＝135°，∴∠D′DH＝45°，∴DH＝D′H.设D′H＝x，则A′H＝2x，由勾股定理得，A′D′＝x＝1，∴x＝，∴DD′＝D′H＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$