5.3 正方形(2)——性质定理-【精彩练习】2023-2024学年八年级下册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

5.3　正方形(2)——性质定理 　　　 　　　　　　　　　　　　　 1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是(　D　) A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分 C．中心对称图形 D．有4条对称轴 2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有(　C　) A．4个　　 B．6个 C．8个　　 D．10个 第2题图 　 第3题图 　第4题图 3．如图，正方形ABCD的边长为2 cm，则图中涂色部分的面积为(　B　) A．1 cm2 B．2 cm2 C．4 cm2 D．8 cm2 4．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF.若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为(　C　) A．20° B．25° C．35° D．40° 5．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，E，F分别是AB，BC的中点，若沿左下图中的虚线剪开，拼成如右下图所示的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是(　B　) A．2　 　B．4　　C．8　 　D．10 6．如图，AC是边长为的正方形ABCD的对角线，点E是AC上一点，连结BE，若∠EBC＝22.5°，则CE的长为__2－__． 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝AB＝2，∠EAB＝∠ACB＝45°. ∵∠EBC＝22.5°，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°， ∴AE＝AB＝，∴CE＝AC－AE＝2－. 第6题图 　　　　第7题图 7．如图，E是正方形ABCD外的一点，连结DE，AE，CE.若∠ADE＝157.5°，DC＝CE＝1，则AE的长为____． 【解析】 连结AC，如图． 则∠ACD＝45°， ∵∠ADE＝157.5°， ∴∠CDE＝67.5°， ∵CD＝CE＝1， ∴∠CDE＝67.5°＝∠CED， ∴∠DCE＝45°，∴∠ACE＝90°. ∵AD＝DC＝CE＝1，∴AC＝， 则AE＝＝＝. 8．如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的一点，F是边AB延长线上的一点，且EC⊥FC. (1)求证：EC＝FC. (2)求∠CFE的度数． 解：(1)证明：在正方形ABCD中，CD＝CB，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝90°. ∵EC⊥FC，∴∠ECF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF. 在△DCE和△BCF中， ∴△DCE≌△BCF(ASA)，∴EC＝FC. (2)∵CE＝CF，∠ECF＝90°， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°. 9．如图1，将长为2a＋3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2)，得到大小两个正方形． (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长． (2)当a＝3时，该小正方形的面积是多少？ 解：(1)∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a，较长的直角边＝2a＋3， ∴小正方形的边长＝2a＋3－a＝a＋3. (2)小正方形的面积＝(a＋3)2，当a＝3时，面积＝(3＋3)2＝36. 10．如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，连结AF，BC，设∠CBE＝x°，∠AFP＝y°，则y与x的关系为(　D　) A．y＝x B．y＝2x C．y＝180－x D．y＝90－x 第10题图 　第11题图 　第12题图 11．如图所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连结EF，给出下列四个结论： ①AP＝EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC， 其中正确结论的序号是__①③④__． 12．如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结DE，则∠BED＝__135°__． 13．如图，已知正方形ABCD，边长AB＝6，P为对角线BD上任一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交BC于点Q. (1)求证：AP＝PQ. (2)若DP＝，求四边形ABQP的面积． 解：(1)证明：过点P作MN∥CD交AD于点M，交BC于点N，如图． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝45°. ∵MN∥CD，∠ADC＝90°， ∴四边形MNCD为矩形， ∴∠NMD＝90°，∠MPD＝45°，AD＝CD＝MN， ∴MD＝MP，∴AM＝PN. ∵AP⊥PQ，∴∠APQ＝90°， ∴∠APM＋∠QPN＝90°. ∵∠QPN＋∠PQN＝90°， ∴∠APM＝∠PQN， 在△AMP和△PNQ中， ∴△AMP≌△PNQ(AAS)，∴AP＝PQ. (2)在等腰直角三角形DMP中，DP＝， 根据勾股定理得MD＝MP＝1，∴AM＝5， ∴四边形ABQP的面积＝S矩形ABNM－2S△AMP＝6×5－2×＝25. 14．已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AB，CD于E，F两点． (1)如图1，求证：BE＝DF. (2)如图2，过点O作直线EF的垂线分别交AD，BC于G，H两点．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个四边形，使写出的四个四边形的面积都相等且都等于正方形面积的. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O， ∴AB∥CD，OB＝OD， ∴∠EBO＝∠FDO，∠OEB＝∠OFD， 在△OBE和△ODF中， ∴△OBE≌△ODF(AAS)，∴BE＝DF. (2)四边形OEBH，四边形OFCH，四边形OFDG，四边形OGAE.理由如下： ∵GH⊥EF，∴∠EOG＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD，∴∠AOD＝90°， ∴∠AOE＝90°－∠AOG＝∠DOG. ∵∠OAE＝∠ODG， 在△OAE和△ODG中， ∴△OAE≌△ODG(ASA)， ∴四边形OGAE的面积＝△AOD的面积＝正方形ABCD面积的. 同理四边形OEBH的面积＝四边形OFCH的面积＝四边形OFDG的面积＝正方形ABCD面积的. 学科网（北京）股份有限公司 $$