第2章 一元二次方程 整体评价-【精彩练习】2023-2024学年八年级下册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

本章整体评价 课标要点1　 一元二次方程的有关概念　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】　下列方程中是一元二次方程的是(　D　) A．3x－2＝y B．ax2－x＋3＝0 C．－x＋3＝0 D．5x－x2＝0 【变式】　若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，则m的值等于 __1__． 课标要点2　 一元二次方程的解法 【例2】　用适当的方法解下列方程： (1)9(x－1)2＝5.　　　(2)(x－3)2＋x2＝9. (3)x2＝6x＋1. (4)x2－x－7＝0. 解：(1)直接开平方，得3(x－1)＝±， 解得x1＝，x2＝. (2)移项，得(x－3)2＋x2－9＝0， 将方程左边分解因式，得 (x－3)(x－3＋x＋3)＝0， ∴x－3＝0或2x＝0，∴x1＝3，x2＝0. (3)移项，得x2－6x＝1， 配方，得x2－6x＋9＝10， 即(x－3)2＝10， 开平方，得x－3＝±， ∴x1＝3＋，x2＝3－. (4)b2－4ac＝(－1)2－4×(－7)＝29， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝. 【变式1】　某节数学课上，甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于x的方程x(x－1)＝3(x－1)，下列解法完全正确的个数为(　C　) 甲 乙 丙 两边同时除以(x－1)， 得x＝3. 整理得x2－4x＝－3， 配方得x2－4x＋2＝－1， ∴(x－2)2＝－1， ∴x－2＝±1， ∴x1＝1，x2＝3. 移项得x(x－1)－3(x－1)＝0， ∴(x－3)(x－1)＝0， ∴x－3＝0或x－1＝0， ∴x1＝1，x2＝3. A．3　　　B．2　　　C．1　　　D．0 【变式2】　已知代数式3－x与－x2＋3x的值互为相反数，则x的值是(　A　) A．－1或3 B．1或－3 C．1或3 D．－1或－3 【变式3】　将方程3x2－6x－8＝0配方为a(x－h)2＝k，其结果是 __3(x－1)2＝11__． 课标要点3 一元二次方程根的判别式 【例3】　已知关于x的方程x2－(m－2)x＋m2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)若该方程有两个相等的实数根，求m的值，并求此时方程的根． (3)若该方程没有实数根，求m的最小整数值． 解：(1)∵关于x的方程x2－(m－2)x＋m2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， ∴Δ＝(m－2)2－4·m2＝－4m＋4＞0， ∴m＜1. (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴Δ＝(m－2)2－4·m2＝－4m＋4＝0， ∴m＝1， ∴x2＋x＋1＝0， ∴x1＝x2＝－2. (3)∵方程没有实数根， ∴Δ＜0， ∴Δ＝(m－2)2－4·m2＝－4m＋4＜0， ∴m＞1， ∴m的最小整数值为2. 【变式】　已知关于x的一元二次方程x2＋bx－1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是(　A　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关 课标要点4 一元二次方程根与系数的关系 【例4】　已知关于x的一元二次方程2x2－3x－2m2＝0. (1)若m＝1，求此方程的根． (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α－3β＝5，求m的值． 解：(1)当m＝1时，原方程为2x2－3x－2＝0， 整理得(2x＋1)(x－2)＝0， 解得x1＝2，x2＝－. (2)∵方程的两个实数根分别为α，β， 由根与系数的关系可知α＋β＝，αβ＝－m2. ∵α－3β＝5. 联立得解得 ∴αβ＝－m2＝－， ∴m＝±. 【变式】　设a，b是方程x2＋2x－2 022＝0的两个不相等的实数根，则a2＋4a＋2b的值为__2__018__． 课标要点5　 一元二次方程的应用 【例5】　要在一块长16 m、宽12 m的长方形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积为荒地面积的一半，图1、图2分别是小明和小亮的设计方案． (1)你认为小明的结果正确吗？为什么？ (2)你能帮小亮求出图中x的值吗(精确到0.1 m)? (3)你还有其他设计方案吗？与同伴交流． 解：(1)小明的结果不正确． 理由：设小路的宽为y m，根据题意，得(16－2y)(12－2y)＝×16×12， 即y2－14y＋24＝0，解得y1＝2，y2＝12， 因为荒地的宽为12 m，若小路的宽为12 m，则不符合实际情况，故y＝12不合题意，舍去，所以y＝2，即小路的宽为2 m. (2)小亮的设计方案：在长方形荒地四角上留下相同的扇形空地，4个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积． 根据题意，得πx2＝×12×16， x2＝，x≈±5.5. 因为x＞0， 所以x≈－5.5不合题意，舍去， 所以x≈5.5， 所以小亮的设计方案中x的值约为5.5. (3)(答案不唯一)还有其他方案，如图所示， 根据题意，得(16－z)(12－z)＝×12×16，即16×12－28z＋z2＝6×16， 化简，得z2－28z＋96＝0， (z－24)(z－4)＝0， 所以z1＝4，z2＝24(不合题意，舍去). 【变式1】　某公司今年10月份与12月份完成商品销量分别为6万件和7.26万件，该公司这两个月销量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是(　C　) A．6(x＋1)＝7.26 B．6(1＋2x)＝7.26　 C．6(x＋1)2＝7.26 D．6＋6(x＋1)2＝7.26 【变式2】　某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100 kg，且销售单价每增加0.5元，每天的销售量会减少2 kg.为使该商场每天的销售额为1 800元，销售单价应定为多少？设销售单价定为x元/kg，依题意可列方程为(　C　) A．(20＋x)(100－2x)＝1 800 B．(20＋x)＝1 800 C．x＝1 800 D．x[100－2(x－20)]＝1 800 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列方程中是一元二次方程的是(　C　) A．2x＋1＝0 B．x＋y＝5 C．x2＋3x＋2＝0 D．x＋＝2 2．已知关于x的一元二次方程x2＋3x－2m＝0的一个根是x＝1，则m的值为(　D　) A．1 B．0 C．－1 D．2 3．一元二次方程x2＝4x的解为(　A　) A．x1＝0，x2＝4 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝－4 4．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18 m，11 m的长方形菜园(如图)，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植树木，且种植面积为96 m2.设小道的宽为x m，根据题意可列方程为(　A　) A．(18－2x)(11－x)＝96 B．2x2＝96 C．(18－x)(11－2x)＝96 D．(18－2x)(11－2x)＝96 5．若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(　D　) A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1 【解析】 ∵x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根， ∴x1＋x2＝2m，x1·x2＝m2－m－1. ∵x1＋x2＝1－x1x2， ∴2m＝1－(m2－m－1)，即m2＋m－2＝0， 解得m1＝－2，m2＝1. ∵方程x2－2mx＋m2－m－1＝0有实数根， ∴b2－4ac＝(－2m)2－4(m2－m－1)＝4m＋4≥0， 解得m≥－1， ∴m＝1. 6．方程(2x＋1)2＝49的根是 __x1＝3，x2＝－4__． 7．将一元二次方程x2＋4x－2＝0化成(x＋a)2＝b的形式，其中a，b是常数，则a＋b＝__8__． 8．已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为__1__． 【解析】 设x＋1＝t，方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根分别是x3，x4，∴at2＋bt＋1＝0， 由题意可知t1＝1，t2＝2，∴t1＋t2＝3， ∴x3＋x4＋2＝3，∴x3＋x4＝1. 9．用适当的方法解下列方程： (1)(2x＋3)2－25＝0. (2)x(x－3)＝x. (3)(x＋1)(x＋8)＝－2. (4)6x2－x－12＝0. 解：(1)x1＝－4，x2＝1　(2)x1＝0，x2＝4 (3)x1＝，x2＝ (4)x1＝，x2＝－ 10．阅读下列材料： 对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的两个根分别为x1＝1，x2＝. 证明：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.将c＝－a－b代入ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0， ∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0， ∴x1＝1，x2＝. (1)请利用上述结论，快速求解下列方程． ①5x2－4x－1＝0，x1＝__1__，x2＝__－__． ②5x2＋4x－9＝0，x1＝__1__，x2＝__－__． (2)请写出两个一元二次方程，使它们都有一个根是1. 解：(2)答案不唯一. 如：3x2－2x－1＝0和－2x2－3x＋5＝0. 11．已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实根． (1)求实数k的取值范围． (2)该方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1－1)(x2－1)＝－1，求k的值． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实根， ∴Δ＝32－4(k－2)≥0， 解得k≤. (2)∵方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2. ∵(x1－1)(x2－1)＝－1， ∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝－1， ∴k－2＋3＋1＝－1， 解得k＝－3，符合题意． 故所求k的值为－3. 12．“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2020年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2022年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1 750元，则销售单价应降低多少元？ 解：(1)设该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率为x，根据题意得 100(1＋x)2＝196， 解得x1＝0.4＝40%，x2＝－2.4(不合题意，舍去). 答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率为40%. (2)设销售单价应降低y元，则每天可售出(200＋50y)千克， 根据题意，得(20－12－y)(200＋50y)＝1 750， 整理得，y2－4y＋3＝0， 解得y1＝1，y2＝3， ∵要减少库存， ∴y1＝1不合题意，舍去， ∴y＝3. 答：售价应降低3元． 学科网（北京）股份有限公司 $$