精品解析：山东省青岛市四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2024年山东省青岛市高一四校期中联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 存在函数满足：对任意 都有（ ） A. B. C. D. 3. 已知是奇函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. -2 4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是增函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ） A. B. C. D. 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为_________． 14. 设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1）； （2） ． 16. 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 17. 已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. （1）若 ，求出实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数是偶函数. （1）求的值; （2）设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 19. 离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若 ，记 为 除以的余数，为除以的余数；设 ，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为 ． （1）若 ，求； （2）对，记为除以 的余数（当能被 整除时， ）．证明： ，其中 ； （3）已知 ．对，令．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年山东省青岛市高一四校期中联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交并补的混合运算求解即得. 【详解】由，得，而全集， 所以. 故选：B 2. 存在函数满足：对任意 都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，故A错误； 对于B：令，解得或，所以的值不唯一，故B错误； 对于C：令，解得或，所以的值不唯一，故C错误； 对于D：， 令，则， 所以，故D正确； 故选：D 3. 已知是奇函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，即可求解参数的值. 【详解】因为函数是奇函数，所以满足， 即，化简为，得，， 此时，函数的定义域为，成立. 故选：A 4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】由题意得，，， 易知，， 故，则，可得，故B正确. 故选：B 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以 ，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断. 【详解】由题意可得：的定义域为， 因为， 所以为奇函数，排除B，D. 当时，则，可得， 所以 ，排除A. 故选：C. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 8. 定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，取特殊值，判断出A选项的真假；B选项，设表示不超过的最大整数，可得与的关系，可得，判断出B选项的真假；C选项，取特殊值，利用偶函数定义验证，判断出C的真假；D中，取特殊值，判断出函数不是增函数，判断出D的真假. 【详解】A选项，取，则，，显然，所以A不正确； B选项，设表示不超过的最大整数，所以， 所以，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； C选项，，因为， 所以，所以不是偶函数，故C错误； D选项，所以，所以不是增函数，故D错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以，，， 所以B正确，C,D错误； 若，则，A错误. 故选：B. 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 11. 已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C，利用换元法结合的奇偶性即可判断；对于D，先推得的一个周期为6，再依次求得，从而利用的周期性即可判断. 【详解】对于A，因为， 令 ，则，故，则 ，故A正确； 对于B，因为的定义域为，关于原点对称， 令，则，又不恒为0，故， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，因为为偶函数，所以， 令，则，故， 令，则，故， 又为奇函数，故， 所以，即，故C正确； 对于D，由选项C可知， 所以，故的一个周期为6， 因为，所以， 对于， 令，得，则， 令，得，则， 令，得， 令 ，得， 令，得， 所以， 又， 所以由的周期性可得： ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得的奇偶性，再结合题设条件推得为周期函数，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由，根据奇偶性、单调性定义及复合函数单调性判断性质，再由性质得即可求范围. 【详解】由题设，定义域为， ，即为偶函数， 在上，令，且， 则， 由，故，即函数在上递增， 而在定义域上递增，故在上递增， 所以，可得， 故，可得. 故答案为： 14. 设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当 时，， 即， 若 时，，此时 成立； 若 时，或， 若方程有一根为，则，即且 ； 若方程有一根为，则，解得：且 ； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当 时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当 时，只有一个零点； 当 时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时， 且 ． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1）； （2） ． 【答案】（1）3 （2）10 【解析】 【分析】根据指对幂的运算规则计算. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 原式； 综上，（1）原式=3；（2）原式=10. 16. 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为 ． 【解析】 【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为 ． 17. 已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. （1）若 ，求出实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据 得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出 . 【小问1详解】 因为 ，故， 又的两根分别为， 故， 故； 【小问2详解】 因为，故， 又的两根分别为， 故，解得 ， 故实数的取值范围是. 18. 已知函数是偶函数. （1）求的值; （2）设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质即可求解的值； （2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为是偶函数， 所以， 即， ， ， ， ， ， ， ， 所以，即. 【小问2详解】 ， 因为对任意的 ，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围为 . 19. 离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若 ，记 为 除以的余数，为除以的余数；设 ，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为 ． （1）若 ，求； （2）对，记为除以 的余数（当能被 整除时， ）．证明： ，其中 ； （3）已知 ．对，令．证明：． 【答案】（1）1 （2）证明如下： 法1：当 时，此时 ，此时 ， ， 故 ， 此时 . 当 时，因相异，故 ， 而 ，故 互质. 记 ， 则 ，使得 ， 故，故 ， 设 ，则 ， 因为 除以的余数两两相异， 且 除以的余数两两相异， 故 ，故， 故，而 其中 ， 故 即 . 法2：记 ， ， ， 其中，，k是整数，则 ， 可知． 因为1，a，，…，两两不同， 所以存在 ，使得， 即可以被p整除，于是 可以被p整除，即 ． 若 ，则 ， ，因此 ， ． 记 ， ， ，其中l是整数， 则， 即 ． （3）证明如下： 法1：当 时，由（2）可得，若 ，则也成立. 因为 ，所以. 另一方面， . 由于 ，所以. 法2：由题设和（2）的法2的证明知： ， ． 故 ． 由（2）法2的证明知 ，所以 ． 【解析】 【分析】（1）第一问直接根据新定义来即可. （2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证. （3）根据新定义进行转换即可得证. 【小问1详解】 若 ，又注意到 ， 所以 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $