专题 二次函数的实际应用综合训练40题提分练（专项训练）数学浙教版九年级上册

九年级上册数学《第1章 二次函数》 专题 二次函数的实际应用综合训练 一、 选择题（10题） 1．（2024•红塔区二模）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式h＝﹣5t2+15t，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（　　） A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒 2．（2024•滨海新区二模）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h．（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．有下列结论： ①小球从飞出到落地用时为4s； ②小球飞行的最大高度为20m； ③小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024•榆社县模拟）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（　　） A．4m B．5m C． D． 4．（2023•石家庄模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s． 其中正确的是（　　） A．①④ B．①② C．②③ D．②③④ 5．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（　　） A．21元 B．22元 C．23元 D．24元 6．（2022秋•和平区期末）某农场要建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（　　）米． A．4 B．5 C．6 D．8 7．（2024•广东模拟）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12时，则拱顶离水面的高度为（　　）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 8．（2024•雁塔区校级四模）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8m，公司想在大门两侧距地面5m处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（　　） A． B． C． D．4m 9．（2024•和顺县一模）如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线AGMD可近似看作一条抛物线，四边形ABCD为矩形且支架AB，CD，GH，MN均垂直于地面BC．已知BC＝6米，AB＝2米，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为（1，3），则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 10．（2024•立山区模拟）如图，小明站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为0.5m，高为0.5m的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为n米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则n的值可以是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题（10题） 11．（2023•襄阳模拟）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为10m，当这块矩形场地的面积最大时，平行于墙的一边长为 　 　m． 12．（2024•喀什地区二模）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再上升1.5m，则水面的宽度为 　 　m． 13．（2023•遵化市二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为　 　米． 14．（2023•沈阳模拟）某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为 　 　元． 15．（2024•滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 　 　米． 16．（2023春•东莞市校级月考）如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 　 m2． 17．（2024•宝应县二模）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 　 　米． 18．（2024•白山二模）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC长为 　 　． 19．（2023•朝阳区二模）如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长AB＝3m，BC＝4m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m，在该抛物线与AD之间的区域内装有一扇矩形窗户FGHK，点G、H在边AD上，点F、K在该抛物线上．按如图所示建立平面直角坐标系．若GH＝2m，则矩形窗户的宽FG的长为 　 　m． 20．（2024•绿园区校级开学）某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱AD和BC高均为0.75米，门宽AB为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面AB的最大高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板AM上，木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离AN为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为 　 　米． 3、 解答题（20题） 21．（2024•罗湖区校级模拟）深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ （2）设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ 22．（2022秋•龙岩期末）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m．（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由． （2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值． 23．（2024•通海县模拟）在美丽的泉州，流行一种簪花，色彩绚丽美观，展现了人们的朴素美与对生活的热爱，簪花文化的传播，也带动了簪花的销售．某商店购进一批成本为每件30元的簪花，销售时单价不低于成本价，且不高于50元，据市场调查分析发现，该簪花每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，且当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件． （1）求出y与x之间的函数关系式． （2）当销售单价定为多少时，才能使销售该种簪花每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 24．（2024•东台市一模）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝56米，AB＝32米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？ 25．（2024•咸阳模拟）《三辅黄图》提到：“灞桥在长安东，跨水作桥，汉人送客至此桥，折柳赠别．”如图①是灞桥旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线形，它距离地面的高度y（m）与到树干的水平距离x（m）之间满足关系式y＝﹣x2+bx+c，已知这枝垂柳的始端A到地面的距离OA＝5m，末端B恰好接触地面，且到树干底部的水平距离OB＝5m．（注：树干近似看作直线） （1）求该抛物线的函数表达式． （2）踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走了多少米时，头顶刚好碰到这枝垂柳？ 26．（2023秋•驻马店期末）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 27．（2024•淮滨县校级模拟）小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度y（m）与距离浇水装置的水平距离x（m）之间的函数图象，如图所示，已知点A（0，1），抛物线顶点坐标为点B（2，3）． （1）求水流所形成的抛物线的表达式． （2）小华通过观察发现距离喷水装置5m处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因． （3）通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案． 28．（2024•宛城区校级三模）如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点M为顶点，其高为9米，宽OE为18米，以点O为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系．矩形ABCD是安装的一个“光带”，且点A，D在抛物线上，点B，C在OE上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求所需的三根“光带”AB，AD，DC的长度之和的最大值，并写出此时OB的长． 29．（2024•永城市校级一模）某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以ED的中点O为原点建立平面直角坐标系（甲位于x轴的点E处，乙位于x轴的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点，B点，且AB的水平距离为4m，绳子甩到最高点C处时，他们握绳的手到地面的距离AE与BD均为1.2m，最高点到地面的垂直距离为2m． （1）求出该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.8m的小亮，站在ED之间，且与点E的距离为tm，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出t的取值范围； （3）经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于0.4m才能安全跳绳，小亮与其他4位同学一起跳绳，如果这4位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？ 30．（2024•枣阳市模拟）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； （2）该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价； （3）若该农产品的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 31．（2024•荆州模拟）某公司电商平台，在元旦期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应数据． x 40 70 90 y 240 120 40 W 4800 6000 2800 （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润； （3）后来，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是5400元，求m的值． 32．（2023秋•磁县期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， （1）AP＝　 　，BP＝　 　，BQ＝　 　； （2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？ （3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 33．（2024•光山县三模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16cm，入口最高处OC为12.8米． （1）求抛物线解析式； （2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式； （3）双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？ 34．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm． （1）底面的长AB＝　 　cm，宽BC＝　 　cm（用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积． （3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由． 35．（2024•陈仓区二模）【问题背景】 文化墙是展示一个企业的历史，包括特色的一种重要手段，有一定的宣传、造势作用．如图，是某企业一面外轮廓为抛物线型OCA的文化墙，该文化墙的最高点C到地面的距离，文化墙在地面上左右两端的距离OA＝8m，现要在墙面上规划出菱形DBEC区域，用于展示企业的发展历史，墙面剩余部分用于企业文化宣传． 【模型建立】 现以墙边左端点O为原点，水平地面OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系． 【任务解答】 （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）已知展示企业发展历史区域（即菱形DBEC）的涂料价格是30元/m2，则购买该区域的涂料需要花费多少钱？ 36．（2024•谷城县一模）某地大力推广成本为10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． （1）每日销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式．求y与x之间的函数关系式； （2）若每天销售利润率不低于40%，且不高于100%，求每日销售的最大利润； （3）该地科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少m元（0＜m≤8），已知每日最大利润为2592元，求m的值． 37．（2024•襄州区模拟）张经理到老王的果园里一次性采购一种水果x吨（10≤x≤40），他俩商定，张经理的采购价y元/吨与采购量x吨之间的关系如下表： x 10 15 20 25 30 35 40 y 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 老王发现，他俩商定的y与x之间满足一次函数关系．已知水果的平均成本是1000元/吨，老王在这次买卖中获得的利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x的函数解析式； （2）若老王在这次买卖中获得的利润为87500元，求张经理采购的水果的数量； （3）张经理的采购量为多少时，老王获得的利润最大？最大利润是多少？ 38．（2024•大庆模拟）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ （3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围． 39．（2024•高坪区三模）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小敏按照政策投资销售本市生产的一种品牌服装．已知这种品牌服装的成本价为每件100元，出厂价为每件130元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系：y＝﹣2x+600． （1）小敏在开始销售的第1月将服装销售单价定为160元，这个月她销售该服装可获利多少元？ （2）设小敏服装销售获得的月利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）物价部门规定，这种品牌服装的销售单价不得高于220元，如果小敏想要每月获得的利润不低于15000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？ 40．（2024•红花岗区三模）综合与实践 如图①，某公园计划在喷水池的四周安装一圈可移动的喷头向中央喷水，喷出的水流呈抛物线型．若以喷水池中心为原点，水平方向为x轴，中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水流高度y（单位：m）与水流到喷水池中心的距离x（单位：m）之间的函数图象如图②所示．当水流距中心线的距离为4m时，水流最大高度为6m，此时水流刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高． （1）求抛物线的解析式； （2）为了使喷出的水形成错落有致的景观，现决定将喷水头向中心线沿直线移动，水流抛物线形状不变，使水流最高点不超过中心线．若喷水头的位置用（n，0）表示（n＞0）． ①求n的取值范围； ②若水流刚好喷到中心线上，且距水面高4m处，直接写出n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册数学《第1章 二次函数》 专题 二次函数的实际应用综合训练 一、 选择题（10题） 1．（2024•红塔区二模）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式h＝﹣5t2+15t，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（　　） A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒 【分析】令h＝0，求出t的值即可． 【解答】解：∵h＝﹣5t2+15t， ∴当h＝0时，即：0＝﹣5t2+15t， 解得：t＝0或t＝3， ∴球弹起后又回到地面所经过的时间t是3秒． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，是解题的关键． 2．（2024•滨海新区二模）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h．（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．有下列结论： ①小球从飞出到落地用时为4s； ②小球飞行的最大高度为20m； ③小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据函数表达式，可以求出h＝0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t﹣5t2＝15的意义为h＝15时所用的时间，据此解答． 【解答】解：令h＝0，则20t﹣5t2＝0， 解得t1＝0，t2＝4， ∴小球从飞出到落地用时为4s， 故①正确； h＝20t﹣5t2＝﹣5（t2﹣4t）＝﹣5（t﹣2）2+20， ∵﹣5＜0， ∴h的最大高度为20m， 故②正确； 令h＝15，则20t﹣5t2＝15， 解得t1＝1，t2＝3， ∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s， 故③错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键． 3．（2024•榆社县模拟）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（　　） A．4m B．5m C． D． 【分析】根据题意可得A（0，2），B（2，6），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6．将A（0，2）代入，求出a的值，即可解答． 【解答】解：∵OA＝2m，BD＝6m，OD＝2m， ∴A（0，2），B（2，6）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6． 将A（0，2）代入，得4a+6＝2， 解得a＝﹣1． ∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+6． 令y＝0，则﹣（x﹣2）2+6＝0． 解得，（不合题意，舍去）． ∴OC的长为． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 4．（2023•石家庄模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s． 其中正确的是（　　） A．①④ B．①② C．②③ D．②③④ 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确； ④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40， 把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a， ∴函数解析式为h（t﹣3）2+40， 把h＝30代入解析式得，30（t﹣3）2+40， 解得：t＝4.5或t＝1.5， ∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型． 5．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（　　） A．21元 B．22元 C．23元 D．24元 【分析】根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答． 【解答】解：设定价为x元，每天的销售利润为y． 根据题意得：y＝（x﹣15）[8+2（25﹣x）]＝﹣2x2+88x﹣870， ∴y＝﹣2x2+88x﹣870＝﹣2（x﹣22）2+98， ∵a＝﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＝22时，y最大值＝98． 故选：B． 【点评】此题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质． 6．（2022秋•和平区期末）某农场要建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（　　）米． A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为28+2﹣3x＝30﹣3x，表示出总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75即可求得面积的最值． 【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米， 则平行于墙的材料长为28+2﹣3x＝30﹣3x， 则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75， ∴当x＝5时，能建成的饲养室面积最大为75平方米， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大． 7．（2024•广东模拟）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12时，则拱顶离水面的高度为（　　）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 【分析】依据题意，设抛物线的解析式为y＝ax2，又由题意，抛物线过点（5，﹣5），从而求出a，可得抛物线的解析式为yx2，再由一个孔的水面宽度为12时，可令x＝6，求出y即可得解． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2， 又由题意，抛物线过点（5，﹣5）， ∴﹣5＝25a． ∴a． ∴抛物线的解析式为yx2． 当一个孔的水面宽度为12时，令x＝6， ∴y62＝﹣7.2． 故拱顶离水面的高度为7.2米． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 8．（2024•雁塔区校级四模）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8m，公司想在大门两侧距地面5m处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（　　） A． B． C． D．4m 【分析】建立坐标系，抛物线的顶点坐标为（0，8），设抛物线解析式为y＝ax2+8，又知抛物线过（4，0），可求出a．把y＝5代入函数表达式即可解决问题． 【解答】解：以地面所在直线为x轴，过大门最高点垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： ∴抛物线的顶点坐标为（0，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+8， 又知抛物线过（4，0）， ∴0＝16a+8， 解得：a， ∴yx2+8， 把y＝5代入yx2+8， 解得：x＝±， 故两壁灯之间水平距离为2． 故选：A． 【点评】本题主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 9．（2024•和顺县一模）如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线AGMD可近似看作一条抛物线，四边形ABCD为矩形且支架AB，CD，GH，MN均垂直于地面BC．已知BC＝6米，AB＝2米，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为（1，3），则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意得，抛物线的对称轴是y轴，故可设抛物线为y＝ax2+h，再由D（3，2），M（1，3），可得方程组，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴是y轴， 故可设抛物线为y＝ax2+h． 又∵D（3，2），M（1，3）， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为yx2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据题意由待定系数法求解是关键． 10．（2024•立山区模拟）如图，小明站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为0.5m，高为0.5m的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为n米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则n的值可以是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】先把点A坐标代入y＝a（x﹣2）2+2求出a，令y＝0，解方程求出点B坐标，再根据弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，且两条抛物线形状相同，可以设弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y（x﹣h）2+1，再把点B坐标代入解析式求出h，然后令y＝0.5，解方程求出x，再根据框的底面直径求出框最左端距离原点的取值范围，从而得出结论． 【解答】解：∵点A（0，1）是抛物线y＝a（x﹣2）2+2的起点， ∴1＝a（0﹣2）2+2， 解得：a， ∴第一次着地前抛物线的解析式为y（x﹣2）2+2， 当y＝0时，（x﹣2）2+2＝0， 解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2（舍去）， ∴点B的坐标为（2+2，0）， ∵两条抛物线是形状相同的两条抛物线，且着地后抛物线的高度是着地前抛物线高度的一半， ∴设弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y（x﹣h）2+1， 将点B代入该解析式，得h1＝2（舍去），h2＝24， ∴弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y（x﹣24）2+1； ∵弹力球第一次着地后的抛物线的对称轴为直线x＝24， ∵点B的横坐标为22， ∴点B到第一次着地后的抛物线的对称轴的距离为24﹣22＝2， ∴点C的横坐标为24+2+2＝26， ∴点C（26，0）， ∴弹力球第二次着地点到点O的距离为（26）m； ∵圆柱形筐的高为0.5m， ∴当y＝0.5时，（x﹣24）2+1＝0.5， 解得．x1＝4+3．x2＝4（舍）， ∵筐的底面半径为0.5m，直径为1m， ∴当弹力球恰好落入框内，框的最左端到原点的距离n的取值范围为3+3n≤4+3 ∴n的值可以是8， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，解一元二次方程，平移，掌握二次函数的性质以及平移的性质是解题关键． 二、填空题（10题） 11．（2023•襄阳模拟）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为10m，当这块矩形场地的面积最大时，平行于墙的一边长为 　 　m． 【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析可求出答案． 【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m， ∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32， ∵﹣2＜0， ∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2， 此时与墙垂直的一边长为4m，与墙平行的一边长为8m，符合题意， 故答案为：8． 【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，掌握二次函数的性质是解题关键． 12．（2024•喀什地区二模）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再上升1.5m，则水面的宽度为 　 　m． 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决． 【解答】解：如图建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， 由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上， 则﹣2＝a×22， 解得a， ∴yx2， 当y＝﹣0.5时，x2＝﹣0.5， 解得x＝±1， 此时水面的宽度为2m， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系． 13．（2023•遵化市二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为　 　米． 【分析】以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝1.5时x的值的即可得出答案． 【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 方法一：∵AB＝DE＝1.5m， ∴点B与点D关于对称轴对称， ∴AE＝2×1.6＝3.2（m）； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5， 将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5， 解得a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣1.6）2+2.5， 当y＝1.5时，（x﹣1.6）2+2.5＝1.5， 解得x＝0（舍）或x＝3.2， 所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米， 故答案为：3.2． 【点评】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力． 14．（2023•沈阳模拟）某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为 　 　元． 【分析】根据利润＝数量×每件的利润建立W与x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【解答】解：设销售单价x元，商场每天获得的利润为W元，则 W＝（x﹣15）[21﹣3（x﹣20）]＝﹣3x2+126x﹣1215＝﹣3（x﹣21）2+108， 当x＝21时，w最大＝108， ∴当售价为21元时，每天获得的最大利润为108元． ∴该商场销售一件该种商品所获利润为6元， 故答案为：6． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大． 15．（2024•滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 　 　米． 【分析】依据题意，令y＝﹣1，则yx2＝﹣1，求出x后即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵令y＝﹣1，则yx2＝﹣1， ∴x2＝4． ∴x＝﹣2或x＝2（舍去）． ∴水池宽至少是2+0.2＝2.2（米）． 故答案为：2.2． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 16．（2023春•东莞市校级月考）如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 　 m2． 【分析】设篱笆的宽AB为x，长BC为（24﹣3x），列出面积S与x的函数关系式，求出最值． 【解答】解：设篱笆的宽AB为x米，长BC为（24﹣3x）米， ∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x²+24x＝﹣3（x﹣4）²+48， ∵墙长不限， 当x＝4时，24﹣3x＝12，S值最大，此时S＝48． 故答案为：48． 【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数的综合运用，考查学生根据图形信息列出二次函数，本题难度适中，经常在考卷中出现，解决问题的关键是弄清题意，根据公式列出面积与x的关系． 17．（2024•宝应县二模）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 　 　米． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的顶点坐标为（1，3），与x轴的一个交点为（3，0）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：a， ∴抛物线的解析式为：y（x﹣2）2+5， 当x＝0时，y（0﹣1）2+3． ∴水管的长度OA是m． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 18．（2024•白山二模）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC长为 　 　． 【分析】求出点A，C的坐标，即可求出杯口的口径AC长． 【解答】解：∵OD＝13， ∴点D的坐标为D（0，13）， 当y＝13时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点评】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键． 19．（2023•朝阳区二模）如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长AB＝3m，BC＝4m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m，在该抛物线与AD之间的区域内装有一扇矩形窗户FGHK，点G、H在边AD上，点F、K在该抛物线上．按如图所示建立平面直角坐标系．若GH＝2m，则矩形窗户的宽FG的长为 　 　m． 【分析】根据抛物线在坐标系的位置，可设抛物线的表达式为y＝ax2+c，依题意得点E（0，4），点D（2，3）在抛物线的图象上，抛物线解析式可求；根据GH＝2m可确定H（1，3），再把x＝1代入解析式求出相应的y值，然后再减去3，即可得到FG的长． 【解答】解：设抛物线表达式为y＝ax2+c， 由图象可知：E（0，4），点D（2，3）， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为yx2+4， ∵GH＝2， ∴H（1，3）， 当x＝1时，y12+4， ∴FG＝HK3（m）， ∴矩形窗户的宽FG的长为m， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． 20．（2024•绿园区校级开学）某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱AD和BC高均为0.75米，门宽AB为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面AB的最大高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板AM上，木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离AN为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为 　 　米． 【分析】先根据题意建立如图所示坐标系，然后利用待定系数法即可求出函数表达式，然后求出点M坐标，再求出直线OM的解析式，设工人能够刷到的最大高度点为E，过E作x轴的垂线交直线OM于点F，设点E的坐标为（m，﹣0.2（m﹣4.5）2+4.8），则F（m，0.4m），求出EF，再根据EF＝2.4，解出m的值，从而得出结论． 【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意知，抛物线顶点D的坐标为（4.5，4.8）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4.5）2+4.8， ∵AD＝0.75， ∴D（0，0.75） ∴将点D代入抛物线解析式得，0.75＝4.52a+4.8， 解得a＝﹣0.2， ∴抛物线对应的函数的表达式为y＝﹣0.2（x﹣4.5）2+4.8， 将x＝7.5代入y＝﹣0.2（x﹣4.5）2+4.8中，得y＝3， ∴点M坐标为（7.5，3）， ∴设直线OM的解析式为y＝kx（k≠0）， 将点M（7.5，3）代入y＝kx得，7.5k＝3， ∴k＝0.4， ∴直线OM的解析式为y＝0.4x， 设工人能够刷到的最大高度点为E，过E作x轴的垂线交直线OM于点F， ∵设点E的坐标为（m，﹣0.2（m﹣4.5）2+4.8），则F（m，0.4m）， ∴EF＝﹣0.2（m﹣4.5）2+4.8﹣0.4m＝﹣0.2m2+1.4m+0.75＝﹣0.2（m﹣3.5）2+3.2， ∵师傅能刷到的最大垂直高度是2.4m， ∴当EF＝2.4时，即﹣0.2（m﹣3.5）2+3.2＝2.4， 解得m1＝1.5，m2＝5.5， ∵5.5﹣1.5＝4（m）， ∴工人师傅刷不到的最大水平宽度为4m， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键． 3、 解答题（20题） 21．（2024•罗湖区校级模拟）深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ （2）设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）依据题意，设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元，再根据一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，得出3000﹣10（x﹣10）＝2600，进而可以得解； （2）依据题意，分别根据当0＜x≤10时、当10＜x≤50时和当50＜x≤60时分别求出最值即可得解． 【解答】解：（1）由题意，设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元． 3000﹣10（x﹣10）＝2600， 解得：x＝50． 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元． （2）由题意，①当0＜x≤10时，y＝（3000﹣2400）x＝600x， ∴当x＝10时，y最大＝600×10＝6000（元）； ②当10＜x≤50时， y＝[3000﹣10（x﹣10）﹣2400]x ＝﹣10x2+700x ＝﹣10（x﹣35）2+12250， ∴当x＝35时，y最大＝12250（元）． ③当50＜x≤60时，y＝（2600﹣2400）x＝200x， ∴当x＝60时，y最大＝200×60＝12000（元） 综上所述，当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值问题，解题时要能读懂题意并根据已知建立函数关系式是关键． 22．（2022秋•龙岩期末）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m．（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由． （2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值． 【分析】（1）设AB的长为xm，则BC的长为（60﹣3x）m，根据矩形的面积＝252列出方程，解方程取符合题意的值即可； （2）设AB的长为xm，菜园面积为ym2，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设AB的长为xm，则BC的长为（60﹣3x）m， 根据题意得：x（60﹣3x）＝252， 解得x＝6或x＝14， 当x＝6时，BC＝60﹣18＝42＞39，舍去； 当x＝14时，BC＝60﹣42＝18＜39，满足题意， ∴花园面积可能是252m2，此时边AB长为14m； （2）设AB的长为xm，菜园面积为ym2， 由题意得：y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300， ∵﹣3＜0， ∴当x＜10时，y随x的增大而增大， ∵x≤8， ∴当x＝8时，y最大，最大值为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和解析式． 23．（2024•通海县模拟）在美丽的泉州，流行一种簪花，色彩绚丽美观，展现了人们的朴素美与对生活的热爱，簪花文化的传播，也带动了簪花的销售．某商店购进一批成本为每件30元的簪花，销售时单价不低于成本价，且不高于50元，据市场调查分析发现，该簪花每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，且当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件． （1）求出y与x之间的函数关系式． （2）当销售单价定为多少时，才能使销售该种簪花每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据“当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件”列式求解，即可解题． （2）最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，可用x表达利润w，再利用二次函数的最值问题求解即可． 【解答】解：（1）∵该簪花每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系， ∴设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， ∵当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件， ∴， 解得， ∴设y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+160； （2）由题知：w＝（x﹣30）（﹣2x+160） ＝﹣2x2+220x﹣4800 ＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0， ∴x＜55时，w随x的增大而增大， 又30≤x≤50， ∴当x＝50时，w有最大值为﹣2×（﹣5）2+1250＝1200（元）， ∴当销售单价为50元时，该商店获得的利润最大，最大利润为1200元． 【点评】本题考查本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 24．（2024•东台市一模）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝56米，AB＝32米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？ 【分析】（1）根据题意列出方程（56﹣2x）（32﹣2x）＝880，解方程即可； （2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为w元，根据每个车位租金×租出去的车位＝总租金列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设道路的宽为x米，根据题意得， （56﹣2x）（32﹣2x）＝880， 解得：x1＝38（舍去），x2＝6， 答：道路的宽为6米； （2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为w元， 根据题意得：， ∵0， ∴当a＝50时，月租金收入最大为12500元， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大． 【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，找到等量关系列出解析式是解答本题的关键． 25．（2024•咸阳模拟）《三辅黄图》提到：“灞桥在长安东，跨水作桥，汉人送客至此桥，折柳赠别．”如图①是灞桥旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线形，它距离地面的高度y（m）与到树干的水平距离x（m）之间满足关系式y＝﹣x2+bx+c，已知这枝垂柳的始端A到地面的距离OA＝5m，末端B恰好接触地面，且到树干底部的水平距离OB＝5m．（注：树干近似看作直线） （1）求该抛物线的函数表达式． （2）踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走了多少米时，头顶刚好碰到这枝垂柳？ 【分析】（1）依据题意，得该抛物线经过点A（0，5）和点B（5，0），进而建立方程组计算可以得解； （2）依据题意，在 y＝﹣x2+4x+5 中，令y＝2，从而可得﹣x2+4x+5＝2，求出x后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，得该抛物线经过点A（0，5）和点B（5，0）， ∴． ∴． ∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+5． （2）由题意，在 y＝﹣x2+4x+5 中，令y＝2， ∴﹣x2+4x+5＝2． ∴x1＝2（ 不符合题意，舍去），x2＝2． ∴小明走了 时，头顶刚好碰到这枝垂柳． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键． 26．（2023秋•驻马店期末）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可； （2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可． 【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m， 结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0）， 设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 将点O （0，0）代入函数表达式， 解得：a， ∴二次函数的表达式为y（x﹣4）2+4， 即yx2+2x （0≤x≤8）； （2）工人不会碰到头，理由如下： ∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距O点距离为0.41.2＝1， ∴将＝1代入yx2+2x， 解得：y1.75 ∵1.75m＞1.68m， ∴此时工人不会碰到头． 【点评】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． 27．（2024•淮滨县校级模拟）小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度y（m）与距离浇水装置的水平距离x（m）之间的函数图象，如图所示，已知点A（0，1），抛物线顶点坐标为点B（2，3）． （1）求水流所形成的抛物线的表达式． （2）小华通过观察发现距离喷水装置5m处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因． （3）通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案． 【分析】（1）根据题意用待定系数法求解析式即可； （2）令y＝0，解一元二次方程，求出的x与5比较即可； （3）设此浇水装置需向上平移t m，则平移后的解析式为y（x﹣2）2+3+t，然后把（5，0）代入解析式求出t即可． 【解答】解：（1）设水流所形成的抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+3． 把点A（0，1）代入，得1＝4a+3， 解得 ， ∴水流所形成的抛物线的表达式为； （2）令y＝0，则， 解得x＝2（负值已舍去）， ∵， ∴此浇水装置不能浇到古树； （3）喷水装置移动之后水流的形状、大小保持不变， ∴设此浇水装置需向上平移t m，则平移后的解析式为y（x﹣2）2+3+t， 把x＝5，y＝0代入解析式得，（5﹣2）2+3+t＝0， 解得t， ∴此喷水装置需要向上移动的最小距离是m． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 28．（2024•宛城区校级三模）如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点M为顶点，其高为9米，宽OE为18米，以点O为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系．矩形ABCD是安装的一个“光带”，且点A，D在抛物线上，点B，C在OE上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求所需的三根“光带”AB，AD，DC的长度之和的最大值，并写出此时OB的长． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； 设点A的坐标为（m，m2+2m），用m的值表示出AB，AD，DC的长度，得到关于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）由题意知，顶点M（9，9），E（18，0）， 可设该抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣9）2+9， ∵抛物线过原点O（0，0）， ∴a（0﹣9）2+9＝0， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）设点A的坐标为 ，则OB＝m，， 根据抛物线的轴对称性质，可得OB＝CE＝m， 故BC＝AD＝18﹣2m， ∴ ， ∵0， ∴当 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米． 【点评】本题考查了二次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 29．（2024•永城市校级一模）某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以ED的中点O为原点建立平面直角坐标系（甲位于x轴的点E处，乙位于x轴的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点，B点，且AB的水平距离为4m，绳子甩到最高点C处时，他们握绳的手到地面的距离AE与BD均为1.2m，最高点到地面的垂直距离为2m． （1）求出该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.8m的小亮，站在ED之间，且与点E的距离为tm，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出t的取值范围； （3）经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于0.4m才能安全跳绳，小亮与其他4位同学一起跳绳，如果这4位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？ 【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝ax2+2，把点B（2，1.2）代入y＝ax2+2中，求出a的值即可求出抛物线的解析式； （2）将y＝1.8代入y＝﹣0.2x2+2，求出x的值即可求出t的取值范围； （3）由（2）可知当y＝1.8时，x1＝﹣1，x2＝1，所以可求出可以站立跳绳的距离为4﹣2＝2米，因为1.6＜2，所以他们可以安全起跳． 【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝ax2+2， 将点B（2，1.2）代入y＝ax2+2中， 解得a＝﹣0.2 ∴y＝﹣0.2x2+2； （2）将y＝1.8代入y＝﹣0.2x2+2， 解得x1＝﹣1，x2＝1， ∵EO＝2， ∴2﹣1＝1，2+1＝3． ∴1≤t≤3； （3）他们可以安全跳绳．理由如下： 当y＝1.8时，则1.8＝﹣0.2x2+2， 解得：x1＝﹣1，x2＝1， ∴可以站立跳绳的距离为1﹣（﹣1）＝2（m）． ∵（1+4﹣1）×0.4＝1.6（m），且1.6＜2， ∴他们可以安全跳绳． 【点评】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． 30．（2024•枣阳市模拟）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； （2）该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价； （3）若该农产品的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【分析】（1）利用待定系数法求y与x的函数关系式，根据W＝（x﹣20）•y求W与x之间的函数解析式； （2）每天利润为（800+200）元，代入W与x之间的函数解析式，解一元二次方程即可； （3）先求出售价单价的取值范围，将W与x之间的函数解析式变形为顶点式，根据函数的增减性求最值即可． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， 把（30，100），（40，80）代入得， 解得， ∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+160； W＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣2x+160） 即W＝﹣2x2+200x﹣3200（20＜x≤50）； （2）由题意得，﹣2x2+200x﹣3200＝800+200， 整理得，x2﹣100x+2100＝0， 解得x1＝70，x2＝30， ∵20＜x≤50， ∴x＝30， 答：该食品的售价为30元/千克； （3）∵﹣2x+160≥90， 解得x≤35， ∴20＜x≤35， W＝﹣2x2+200x﹣3200 ＝﹣2（x﹣50）2+1800， ∵a＝﹣2＜0， ∴开口向下， ∵对称轴为x＝50， ∴在x≤50时，W随x的增大而增大， ∴x＝35时，W最大值＝15×90＝1350（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点评】本题考查一次函数、二次函数、一元二次方程的实际应用，找到等量关系是关键． 31．（2024•荆州模拟）某公司电商平台，在元旦期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应数据． x 40 70 90 y 240 120 40 W 4800 6000 2800 （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润； （3）后来，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是5400元，求m的值． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意得w＝（﹣4x+400）（x﹣a），将x＝40，w＝4800代入即可求得a，再化为顶点式即可求得； （3）由题意得W＝﹣4（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），再根据对称轴及增减性即可求得． 【解答】解：（1）y关于x的函数解析式为y＝kx+b， 由表格可得， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为y＝﹣4x+400． （2）由（1）得w＝（﹣4x+400）（x﹣a）， 由表知x＝40时w＝4800，得 4800＝（﹣4×40+400）（40﹣a）， ∴a＝20， ∴w＝﹣4（x﹣60）2+6400， ∴当x＝60时，W最大值为6400． （3）由题意W＝﹣4（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），其对称轴 x＝6060， ∴当0＜x≤55时，W的值随x的增大而增大， ∴当x＝55时周销售利润最大， ∴5400＝﹣4（55﹣100）（55﹣20﹣m）， ∴m＝5． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解题的关键． 32．（2023秋•磁县期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， （1）AP＝　 　，BP＝　 　，BQ＝　 　； （2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？ （3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）根据题意得出即可； （2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可． 【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm， 所以BP＝（12﹣2t）cm， 故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm； （2）△PBQ的面积S （12﹣2t）×4t ＝﹣4t2+24t＝32， 解得：t＝2或4， 即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2； （3）S＝﹣4t2+24t ＝﹣4（t﹣3）2+36， 所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2． 【点评】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与x的函数关系式是解此题的关键． 33．（2024•光山县三模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16cm，入口最高处OC为12.8米． （1）求抛物线解析式； （2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式； （3）双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？ 【分析】（1）根据图形和题意设出抛物线解析式，再把A点坐标代入解析式即可； （2）根据平移的性质求抛物线解析式即可； （3）令（2）中解析式的y＝0，解方程即可． 【解答】解：（1）由图知，此抛物线对称轴为y轴，顶点坐标C（0，12.8），A（﹣8，0）， 故设抛物线解析式为 y＝ax2+12.8， 把A点坐标代入解析式得：64a+12.8＝0， 解得a＝﹣0.2， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.2x2+12.8； （2）由题意可知，抛物线向左平移2m，向下平移使最高点降为9.8m， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.2（x+2）2+9.8＝﹣0.2x2﹣0.8x+9； （3）（2）中的建议不符合要求，理由： 令y＝﹣0.2x2﹣0.8x+9中的y＝0， 则﹣0.2x2﹣0.8x+9＝0， 整理得x2+4x﹣45＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣9， ∴|x2﹣x1|＝9+5＝14， ∵14＜15， ∴（2）中的建议不符合要求． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式． 34．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm． （1）底面的长AB＝　 　cm，宽BC＝　 　cm（用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积． （3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用长方形的长与宽以及在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，得出AB与BC的长即可； （2）利用（1）中长与宽以及盒子的底面积为300cm2时得出x的值，即可得求出盒子的容积； （3）利用盒子侧面积为：S＝2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）进而利用配方法求出最值即可． 【解答】解：（1）∵用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形， 设小正方形的边长为xcm， ∴底面的长AB＝（50﹣2x）cm，宽BC＝（30﹣2x）cm， 故答案为：50﹣2x，30﹣2x； （2）依题意，得： （50﹣2x）（30﹣2x）＝300 整理，得：x2﹣40x+300＝0 解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去） 当x1＝10时，盒子容积＝（50﹣20）（30﹣20）×10＝3000（cm3）； （3）盒子的侧面积为： S＝2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x） ＝100x﹣4x2+60x﹣4x2 ＝﹣8x2+160x＝﹣8（x2﹣20x） ＝﹣8[（x﹣10）2﹣100] ＝﹣8（x﹣10）2+800 ∵﹣8（x﹣10）2≤0， ∴﹣8（x﹣10）2+800≤800， ∴当x＝10时，S有最大值，最大值为800． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，想象出立体图形的形状进而表示出侧面积是解题关键． 35．（2024•陈仓区二模）【问题背景】 文化墙是展示一个企业的历史，包括特色的一种重要手段，有一定的宣传、造势作用．如图，是某企业一面外轮廓为抛物线型OCA的文化墙，该文化墙的最高点C到地面的距离，文化墙在地面上左右两端的距离OA＝8m，现要在墙面上规划出菱形DBEC区域，用于展示企业的发展历史，墙面剩余部分用于企业文化宣传． 【模型建立】 现以墙边左端点O为原点，水平地面OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系． 【任务解答】 （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）已知展示企业发展历史区域（即菱形DBEC）的涂料价格是30元/m2，则购买该区域的涂料需要花费多少钱？ 【分析】（1）根据题意可设，进而利用待定系数法求出函数解析式； （2）连接DE交BC于点F，先求得点D和点E的纵坐标均为，令，可求出，再求解即可． 【解答】解：（1）由题可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将（0，0）代入， 得， 解得， 此抛物线对应的函数表达式为． （2）连接DE交BC于点F． ∵四边形DBEC是菱形，m， ∴DE⊥BC，m， ∴点D和点E的纵坐标均为， 令， 解得， ∴（m）， ∴， （元）， ∴购买该区域（即菱形DBEC）的涂料需要花费元． 【点评】此题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键． 36．（2024•谷城县一模）某地大力推广成本为10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． （1）每日销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式．求y与x之间的函数关系式； （2）若每天销售利润率不低于40%，且不高于100%，求每日销售的最大利润； （3）该地科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少m元（0＜m≤8），已知每日最大利润为2592元，求m的值． 【分析】（1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为y＝kx+b，把（15，200）和（20，160）代入即可求出结果； （2）由每天销售利润率不低于4%，且不高于100求出x的取值范围，设每日销售利润为w元，利用二次函数模型即可求出最大利润； （3）设成本每斤减少a元后每日销售利润为Q元，由0＜m≤8和15≤x≤30确定当x时，利润最大，从而得出关于m的方程，解出方程即可求得m值． 【解答】解：（1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为y＝kx+b， 当x＝15时，y＝200；当x＝20时，y＝160； ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣8x+320； 答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣8x+320； （2）解：由题意得： 40%100%≤100%， 解得：14≤x≤20， 设每日销售利润为w元， ∴w＝（﹣8x+320）（x﹣10） ＝﹣8x2+400x﹣3200， ∵a＝﹣8， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝25，14≤x≤20， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝20时，利润最大为w＝（﹣8×18+320）（20﹣10）＝1600（元）， 答：每日销售的最大利润为1600元； （3）解：设成本每斤减少m后每日销售利润为Q元， 则Q＝（﹣8x+320）（x﹣10+m）， ＝﹣8x2+（400﹣8m）x+320m﹣3200， ∴抛物线对称轴为x， ∵0＜m≤5， ∴2125， ∵15≤x≤30， ∴当x时，利润最大， ∴（﹣8320）（ 10+m）＝2592， 解得：a1＝6，a2＝﹣66（不合题意舍去）， 答：m的值为6． 【点评】本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键 37．（2024•襄州区模拟）张经理到老王的果园里一次性采购一种水果x吨（10≤x≤40），他俩商定，张经理的采购价y元/吨与采购量x吨之间的关系如下表： x 10 15 20 25 30 35 40 y 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 老王发现，他俩商定的y与x之间满足一次函数关系．已知水果的平均成本是1000元/吨，老王在这次买卖中获得的利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x的函数解析式； （2）若老王在这次买卖中获得的利润为87500元，求张经理采购的水果的数量； （3）张经理的采购量为多少时，老王获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意待定系数法求一次函数解析式即可求解，根据销量乘以价格减去成本，列出二次函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式，领W＝87500，解一元二次方程，即可求解； （3）根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，将（10，6000），（20，5000）代入，得， ， 解得：， ∴y＝﹣100x+7000， 依题意，W＝xy﹣1000x＝x（﹣100x+7000）﹣1000x＝﹣100x2+6000x， 即W＝﹣100x2+6000x． （2）依题意，﹣100x2+6000x＝87500， 解得：x1＝25，x2＝35， 答：张经理采购的水果的数量为25或35吨； （3）解：W＝﹣100x2+6000x＝﹣100（x﹣30）2+90000， ∵10≤x≤40，﹣100＜0， ∴当x＝30时，W取得最大值，最大值为90000， 答：张经理的采购量为30吨时，老王获得的利润最大，最大利润是90000元． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是关键． 38．（2024•大庆模拟）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ （3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案； （2）把二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）设安装成本为w元，则w＝﹣25x2+2000x，再根据二次函数的性质结合（1）中x的最值范围可得答案． 【解答】解：（1）由题意得，AE＝HGADx m， DC＝AB（200x）＝（100x）m， 故y＝x（100x）x2+100x， 自变量x的取值范围为：28≤x＜80； （2）由题意可得： ∵yx2+100x（ x2﹣80x）（ x﹣40）2+2000， 又∵28≤x＜80， ∴当x＝40时，y有最大值，最大值为2000平方米； （3）由题意得，S矩形EAGH＝AG•AE（100x）xx2+25x，S矩形DEFC＝DC•DE＝（100x）•xx2+50x， 设安装成本为w元，则w＝40（x2+25x）+20（x2+50x）＝﹣25x2+2000x， 令w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000， 解得x＝60或20， ∵28≤x＜80， ∴60≤x＜80时，安装成本不超过30000元． 【点评】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 39．（2024•高坪区三模）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小敏按照政策投资销售本市生产的一种品牌服装．已知这种品牌服装的成本价为每件100元，出厂价为每件130元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系：y＝﹣2x+600． （1）小敏在开始销售的第1月将服装销售单价定为160元，这个月她销售该服装可获利多少元？ （2）设小敏服装销售获得的月利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）物价部门规定，这种品牌服装的销售单价不得高于220元，如果小敏想要每月获得的利润不低于15000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？ 【分析】（1）把x＝160代入y＝﹣2x+600求出销售量，再求出销售利润； （2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得w＝（x﹣100）（﹣2x+600），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润； （3）令﹣2x2+800x﹣60000＝15000，求出x的值，再利用函数的性质求x的取值范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值． 【解答】解：（1）当x＝160时，y＝﹣2×160+600＝280， 280×（160﹣100）＝16800（元）， ∴这个月她销售该服装可获利16800元； （2）依题意得， w＝（x﹣100）（﹣2x+600）＝﹣2x2+800x﹣60000＝﹣2（x﹣200）2+20000， ∵a＝﹣2＜0， ∴当x＝200时，w有最大值20000． 即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润，最大利润为20000元； （3）由题意得：﹣2x2+800x﹣60000＝15000， 解得：x1＝150，x2＝250， ∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下， ∴当150≤x≤250时，w≥15000， ∵这种品牌服装的销售单价不得高于220元， ∴150≤x≤220， 设政府每个月为他承担的总差价为p元， ∴p＝（130﹣100）×（﹣2x+600）＝﹣60x+18000， ∵k＝﹣60＜0， ∴p随x的增大而减小， ∴当x＝220时，p有最小值4800， 即销售单价定为220元时，政府每个月为他承担的总差价最少为4800元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大． 40．（2024•红花岗区三模）综合与实践 如图①，某公园计划在喷水池的四周安装一圈可移动的喷头向中央喷水，喷出的水流呈抛物线型．若以喷水池中心为原点，水平方向为x轴，中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水流高度y（单位：m）与水流到喷水池中心的距离x（单位：m）之间的函数图象如图②所示．当水流距中心线的距离为4m时，水流最大高度为6m，此时水流刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高． （1）求抛物线的解析式； （2）为了使喷出的水形成错落有致的景观，现决定将喷水头向中心线沿直线移动，水流抛物线形状不变，使水流最高点不超过中心线．若喷水头的位置用（n，0）表示（n＞0）． ①求n的取值范围； ②若水流刚好喷到中心线上，且距水面高4m处，直接写出n的值． 【分析】（1）依据题意得，抛物线的顶点坐标为（4，6），从而可设y＝a（x﹣4）2+6，再将点A代入求出a后即可得解； （2）①依据题意，令y＝0，则 ，求出x的值，再根据当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，满足题目要求，可得此时抛物线解析式为：，故可令y＝0，则 ，进而可以判断n的范围； ②依据题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为k m，进而可得抛物线的解析式为y（x﹣4+k）2+6，又令y＝4（0﹣4+k）2+6，求出k，故可得此时抛物线解析式，最后再令y＝0，求出x后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（4，6）， ∴设y＝a（x﹣4）2+6． 点 代入得：． ∴． ∴抛物线的解析式为． （2）①抛物线为y（x﹣4）2+6， ∴令y＝0，则 ． ∴x1＝10，x2＝﹣2 （舍去）． 又当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，满足题目要求． ∴此时抛物线解析式为：． 令y＝0，则 ， ∴x1＝6，x2＝﹣6 （舍去）． ∴n的取值范围为：6≤n≤10． ②由题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为k m， ∴抛物线的解析式为y（x﹣4+k）2+6． 又令y＝4（0﹣4+k）2+6， ∴k＝4﹣2或k＝4+2（舍去）． ∴此时抛物线解析式为y（x﹣2）2+6． 再令y＝0， ∴0（x﹣2）2+6． ∴x＝6+2或6﹣2（舍去）． ∴此时喷头位置为（6+2，0）． ∴n的值为． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 $$