专题08 解三角形（六大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

专题08 解三角形 考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势 考点1：正余弦定理综合应用 2023年天津高考数学真题 2022年高考全国乙卷数学（文）真题 2023年北京高考数学真题 2023年高考全国乙卷数学（文）真题 2024年高考全国甲卷数学（理）真题 2024年天津高考数学真题 2022年新高考天津数学高考真题 高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主． 考点2：实际应用 2024年上海夏季高考数学真题 2022年新高考浙江数学高考真题 考点3：角平分线、中线、高问题 2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题 2023年高考全国甲卷数学（理）真题 考点4：解三角形范围与最值问题 2022年高考全国甲卷数学（理）真题 2022年新高考全国I卷数学真题 2022年新高考北京数学高考真题 考点5：周长与面积问题 2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题 2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题 2024年北京高考数学真题 2022年高考全国乙卷数学（理）真题 2022年新高考北京数学高考真题 2023年高考全国甲卷数学（文）真题 2023年高考全国乙卷数学（理）真题 2022年新高考浙江数学高考真题 2022年新高考全国II卷数学真题 考点6：解三角形中的几何应用 2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题 考点1：正余弦定理综合应用 1．（2023年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 3．（2023年北京高考数学真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在中,内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 6．（2024年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)求； (3)求的值． 【解析】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 7．（2022年新高考天津数学高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【解析】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 考点2：实际应用 8．（2024年上海夏季高考数学真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【解析】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 9．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ． 【答案】. 【解析】因为，所以． 故答案为：. 考点3：角平分线、中线、高问题 10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【解析】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【解析】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 考点4：解三角形范围与最值问题 12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】/ 【解析】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 13．（2022年新高考全国I卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【解析】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 14．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 考点5：周长与面积问题 15．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【解析】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式，， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 17．（2024年北京高考数学真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 18．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【解析】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 19．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【解析】（1）因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【解析】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 21．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【解析】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 22．（2022年新高考浙江数学高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【解析】（1）由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． （2）因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 23．（2022年新高考全国II卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【解析】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 考点6：解三角形中的几何应用 24．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 解三角形 考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势 考点1：正余弦定理综合应用 2023年天津高考数学真题 2022年高考全国乙卷数学（文）真题 2023年北京高考数学真题 2023年高考全国乙卷数学（文）真题 2024年高考全国甲卷数学（理）真题 2024年天津高考数学真题 2022年新高考天津数学高考真题 高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主． 考点2：实际应用 2024年上海夏季高考数学真题 2022年新高考浙江数学高考真题 考点3：角平分线、中线、高问题 2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题 2023年高考全国甲卷数学（理）真题 考点4：解三角形范围与最值问题 2022年高考全国甲卷数学（理）真题 2022年新高考全国I卷数学真题 2022年新高考北京数学高考真题 考点5：周长与面积问题 2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题 2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题 2024年北京高考数学真题 2022年高考全国乙卷数学（理）真题 2022年新高考北京数学高考真题 2023年高考全国甲卷数学（文）真题 2023年高考全国乙卷数学（理）真题 2022年新高考浙江数学高考真题 2022年新高考全国II卷数学真题 考点6：解三角形中的几何应用 2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题 考点1：正余弦定理综合应用 1．（2023年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 3．（2023年北京高考数学真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在中,内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)求； (3)求的值． 7．（2022年新高考天津数学高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 考点2：实际应用 8．（2024年上海夏季高考数学真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 9．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ． 考点3：角平分线、中线、高问题 10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 考点4：解三角形范围与最值问题 12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 13．（2022年新高考全国I卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 14．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点5：周长与面积问题 15．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 16．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 17．（2024年北京高考数学真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 19．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 21．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 22．（2022年新高考浙江数学高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 23．（2022年新高考全国II卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 考点6：解三角形中的几何应用 24．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$