微素养·专题突破6 矩形的折叠问题-【精彩练习】2023-2024学年八年级下册数学同步评价作业教师用书课件PPT（浙教版）

微素养 专题突破六 矩形的折叠问题 1 类型1　沿过2个顶点的直线折叠的问题 【例1】 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处． (1)求证：AF＝CF. (2)求重叠部分△AFC的面积． 解：(1)证明：依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有∠D′＝∠B＝90°，∠AFD′＝∠CFB，BC＝AD′， ∴△AD′F≌△CBF(AAS)，∴CF＝AF. 类型1　沿过2个顶点的直线折叠的问题 类型2　沿过1个顶点的直线折叠的问题 【例2】 如图，将矩形ABCD纸片沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上的F处，已知AB＝8 cm，AD＝10 cm. (1)直接写出AF的长． (2)求CE的长． 解：(1)根据翻折不变性，△AFE≌△ADE， ∴AF＝AD＝10 cm. 类型2　沿过1个顶点的直线折叠的问题 类型3　不沿过顶点的直线折叠的问题 【例3】 如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连结AF，CE. (1)求证：四边形AFCE为菱形． (2)设AB＝3，BC＝4，试求菱形AFCE的面积和周长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEF＝∠EFC， 类型3　不沿过顶点的直线折叠的问题 由折叠的性质，可得∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，AF＝CF， ∴∠EFC＝∠CEF， ∴CF＝CE， ∴AF＝CF＝CE＝AE， ∴四边形AFCE为菱形． 类型3　不沿过顶点的直线折叠的问题 —————跟踪 巩固训练—————— 1．如图，将矩形纸片折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(　　) A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 A —————跟踪 巩固训练—————— 2．把一张矩形纸片ABCD按下图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为(　　) A —————跟踪 巩固训练—————— 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是(　　) A —————跟踪 巩固训练—————— 4．把一张矩形纸片ABCD按右图所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝9 cm，则重叠部分 △DEF的面积为________ cm2. 5．左下图是一张矩形纸片ABCD，M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF，EF.若MF＝AB，则∠DAF＝_________． 7.5 18° —————跟踪 巩固训练—————— 6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿DE所在直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处． (1)已知∠BFE＝66°，则∠AED的度数为_______． (2)若AE＝5，BF＝3，则CD的长是______． 78° 9 —————跟踪 巩固训练—————— 7．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰在矩形的对称轴上，则 AE的长为__________． —————跟踪 巩固训练—————— ②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q， 则直线PQ是矩形ABCD的对称轴， ∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC， ∴A′B＝2PB，∴∠PA′B＝30°， —————跟踪 巩固训练—————— —————跟踪 巩固训练—————— 8． (1)【猜想证明】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论． (2)【拓展延伸】在(1)的基础上，再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线 段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的 形状，并证明你的结论． —————跟踪 巩固训练—————— —————跟踪 巩固训练—————— (2)四边形MBGB′是菱形．证明如下： ∵∠ABM＝30°，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠MBG＝∠AMB＝60°. 根据折叠的性质，得BM＝MB′，BG＝B′G，∠BMN＝∠AMB， ∴∠BMN＝∠MBG＝60°，∴△MBG是等边三角形， ∴BM＝BG，∴BM＝MB′＝BG＝B′G， ∴四边形MBGB′是菱形． 本课结束！ (2)设AF＝CF＝x，∴BF＝8－x. 在Rt△BCF中有BC2＋BF2＝FC2， 即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5， ∴S△AFC＝AF•BC＝×5×4＝10. (2)在Rt△ABF中， BF＝＝＝6(cm)， 则CF＝BC－BF＝10－6＝4(cm). 设CE＝x，则FE＝DE＝8－x. 在Rt△FEC中，(8－x)2＝x2＋16， 可得64＋x2－16x＝x2＋16， 解得x＝3，∴CE＝3 cm. (2)由轴对称的性质可得AF＝CF， 设AF＝CF＝x，则BF＝4－x， ∵∠B＝90°， ∴AB2＋BF2＝AF2， ∴32＋(4－x)2＝x2， 解得x＝， ∴菱形AFCE的面积＝CF•AB＝×3＝， 菱形AFCE的周长＝4CF＝4×＝. A． B． C． D． A．2－2 B．6 C．2－2 D．4 1或 【解析】 分两种情况： ①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N， 则直线MN是矩形ABCD 的对称轴， ∴AM＝BN＝AD＝1. ∴A′N＝＝0，即A′与N重合， ∴A′M＝1，∴A′E2＝EM2＋A′M2， ∴A′E2＝(1－A′E)2＋12，解得A′E＝1， ∴AE＝1. ∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°. 设AE＝x，则A′E＝x，BE＝2x， A′B＝＝x＝1，解得x＝. 综上所述，AE的长为1或. 解：(1)∠MBN＝30°.证明如下： 如图，连结AN. 由题意知直线EF是AB的垂直平分线，点N在EF上， ∴AN＝BN. 由折叠可知，BN＝AB， ∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN＝60°， ∴∠MBN＝∠ABM＝∠ABN＝30°. $$