专题拓展：分式不等式、高次不等式、含绝对值不等式解法（技巧解密+4考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

专题拓展：分式不等式、高次不等式、含绝对值不等式的解法 一、分式不等式的解法 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式． 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母． 二、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3、求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； 4、穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； 5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 三、含绝对值不等式 1、绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2、绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3、两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4、绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 考点一：简单分式不等式的解法 例1．（23-24高三上·河北石家庄·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一上·云南保山·月考）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·广东湛江·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点二：一元高次不等式的解法 例2. （23-24高一上·黑龙江大庆·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2-1】（22-23高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·云南·月考）若关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023高一·上海·专题练习）解下列关于的不等式． (1)； (2)． 考点三：含绝对值不等式的解法 例3. （23-24高一上·河南·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（23-24高一下·河北·开学考试）不等式的解集是（    ） A．或 B．且 C． D．或 【变式3-2】（23-24高一上·全国·专题练习）不等式解集为 . 【变式3-3】（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 考点四：根据不等式解集求参数 例4. （23-24高一上·山东潍坊·期末）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4-1】（23-24高一上·山西太原·月考）不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是 . 【变式4-3】（23-24高一上·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，则 ． 一、单选题 1．（23-24高一上·宁夏固原·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高一下·安徽·月考）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（23-24高一上·吉林长春·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·新疆·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（23024高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东佛山·月考）下列不等式的解集正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 9．（23-24高一上·江苏镇江·开学考试）下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为或 C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为或 三、填空题 10．（23-24高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 . 11．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 12．（23-24高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为 ． 四、解答题 13．（23-24高一上·广东广州·月考）解下列不等式： (1)； (2). 14．（22-23高一上·江苏南通·开学考试）解下列不等式： (1)； (2) ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：分式不等式、高次不等式、含绝对值不等式的解法 一、分式不等式的解法 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式． 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母． 二、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3、求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； 4、穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； 5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 三、含绝对值不等式 1、绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2、绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3、两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4、绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 考点一：简单分式不等式的解法 例1．（23-24高三上·河北石家庄·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】不等式化为：，解得， 所以不等式的解集是.故选：B 【变式1-1】（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式可以转化为. 等价于，∴， ∴， ∴不等式的解集为.故选：A 【变式1-2】（22-23高一上·云南保山·月考）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，解得， 所以不等式的解集是.故选：B. 【变式1-3】（23-24高二上·广东湛江·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式化为，即有0， 于是或，解得或， 所以原不等式的解集为.故选：B 考点二：一元高次不等式的解法 例2. （23-24高一上·黑龙江大庆·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】画出函数的大致图象如下图所示， 由图可知不等式的解集是或．故选：D. 【变式2-1】（22-23高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】   由，得， 等价于， 由穿根法可得不等式的解集为.故选：B 【变式2-2】（23-24高一上·云南·月考）若关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 即、，则有， 即求， 解得或，即解集为.故选：B. 【变式2-3】（2023高一·上海·专题练习）解下列关于的不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)或或；(2) 或 或 【解析】（1）原不等式等价于， 所以， 如图所示： 解得或且， 所以原不等式解集为或或. （2）由得，， 原不等式等价于，即， 如图所示： 解得 或 或， 所以原不等式的解集为 或 或． 考点三：含绝对值不等式的解法 例3. （23-24高一上·河南·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】不等式可化为，即，解得．故选：B 【变式3-1】（23-24高一下·河北·开学考试）不等式的解集是（    ） A．或 B．且 C． D．或 【答案】A 【解析】由，得； 由，得， 故不等式的解集是或，故选：A 【变式3-2】（23-24高一上·全国·专题练习）不等式解集为 . 【答案】 【解析】由题意，原不等式可化为，解得， 即不等式解集为 故答案为： 【变式3-3】（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】当时，原不等式可化为，解得，又，； 当时，原不等式可化为，不等式成立； 当时，原不等式可化为，解得，又，； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 考点四：根据不等式解集求参数 例4. （23-24高一上·山东潍坊·期末）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由得， 因为不等式的解集是，所以，解得.故选：B. 【变式4-1】（23-24高一上·山西太原·月考）不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，是关于的方程的两根， 则，解得， 验证知，满足题意.故选：C. 【变式4-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，不等式的解集为空集，满足题意； 当时，因为，所以， 因为不等式的一个必要条件为，所以，无解. 故实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-3】（23-24高一上·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【解析】因为关于的不等式的解集为， 故且的3个不同的根为， 故，故，其中 此时原不等式为即为， 即，其解为， 故符合，故. 一、单选题 1．（23-24高一上·宁夏固原·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】，解得或， 所以不等式的解集为或.故选：C 2．（23-24高一下·安徽·月考）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】不等式，即，等价于，解得或， 所以原不等式的解集为或.故选：A 3．（23-24高一上·吉林长春·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 所以，解得， 所以不等式的解集为.故选：D 4．（23-24高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式，等价于或， 解得或， 即不等式的解集为.故选：A 5．（23-24高一上·新疆·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】或， 由绝对值几何意义知，无解， 由，解得， 综上可得不等式的解集是.故选：C. 6．（23024高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故，故，故，故选：D. 二、多选题 7．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由得，解得， A：由得，不同； B：由得，相同； C：由得且，解得，不同； D：由得，不同．故选：ACD． 8．（23-24高一上·广东佛山·月考）下列不等式的解集正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 【答案】ABD 【解析】对于A，，所以，故A选项正确； 对于B，，所以，故B选项正确； 对于C，，所以，故C选项错误； 对于D，， 而， 所以，所以，故D选项正确.故选：ABD. 9．（23-24高一上·江苏镇江·开学考试）下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为或 C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为或 【答案】AD 【解析】由得，解得或， 由得，即，解得或，故选：AD 三、填空题 10．（23-24高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 . 【答案】或 【解析】设， 则的根分别是－2，－1，1，2， 将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图： 所以原不等式的解集是或. 故答案为：或 11．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【解析】 故答案为： 12．（23-24高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为 ． 【答案】 【解析】由的解集是， 可得，且和是的两根， 则且，即且， 解得，所以． 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一上·广东广州·月考）解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）原不等式化为， 令，则不等式可化为，解得， 又因为，所以，即，解得. 故原不等式的解集为. （2）原不等式化为， 令，则不等式可化为，解得或（舍去）， 所以，所以或，故原不等式的解集为或. 14．（22-23高一上·江苏南通·开学考试）解下列不等式： (1)； (2) ． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由，首先满足 ，即或 ， 故当或时，，则，此时， 当或时,，， 综合以上，的解集为； （2）由， 当时，，即； 当时，，即，即； 当时，，即， 综上述，不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$