第06讲 整式的乘法（十二大题型）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第06讲 整式的乘法（十二大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十二大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算 2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值； 3、整式乘法的应用 一、单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【方法规律】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 二、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【方法规律】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 三、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【方法规律】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 题型1：单项式乘以单项式 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值 3．先化简，再求值：，其中，． 4．若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 5．若（am＋1bn＋2）•（a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣3 题型3：计算单项式乘以多项式 6．（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 8．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型4：计算单项式乘以多项式的求值问题 9．化简求值：，其中，． 10．先化简，再求值：，其中． 11．若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 12．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 题型5：利用单项式乘以多项式求字母的值 13．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 14．如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（   ） A．1 B．0 C．-1 D． 15．计算：□，□内应填写（    ） A．－10xy B． C．＋40 D．＋40xy 题型6：单项式乘以多项式的综合应用 16．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断该多项式是（　　　） A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣2x2﹣x+1 D．无法确定 17．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 18．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（    ）．    A． B． C． D． 19．8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（    ） A． B． C． D． 题型7：计算多项式乘以多项式及求值问题 20．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．计算： (1)； (2)； (3)． 22．化简求值：，其中． 23．已知代数式化简后，不含有项和常数项． (1)求，的值． (2)求的值． 题型8：（x+p）（x+q）型多项式乘法 24．若，则为（    ） A．8 B．2 C． D． 25．，则，的值为（    ）. A．， B．， C．， D．， 26．【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 题型9：多项式乘法不含某项求字母的值 27．若关于的多项式展开合并后不含项,则的值是（    ） A． B． C． D． 28．（1）若的展开式中不含和项，求m、n的值． （2）求的值． 题型10：图形问题 29．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．    30．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为 ． 31．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张． 题型11：整式的乘法综合 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．计算： （1） （2） （3） （4） 34．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为、．    (1)用含，的代数式表示长方形的长； (2)用含，的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积； (3)当，时，求绿化土地（阴影部分）的面积． 35．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7 （1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律． （2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明． 题型12：材料、规律题 36．观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 37．阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 38．在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x． 请参考上面的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______； (2)如果计算所得多项式不含一次项，则常数a的值是______； (3)如果，则的值是______． 一、单选题 1．的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（　　） A．﹣a2﹣2a+3 B．﹣a2+4a+3 C．﹣a2+4a﹣3 D．a2﹣2a﹣3 3．计算等于（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（　　） A．5 B．3 C． D． 6．下列各题中，计算正确的是(    )． A． B． C． D． 7．小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“-2m”，得到的结果为．则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④ 9．若的结果中不含项，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论： ①第项为 ② ③若第项的值为，则 以上结论正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ． 12．若单项式与的积为，则 ． 13．若，则 ． 14．计算的结果中次数是6的项的系数是 ． 15．用含x的代数式表示图中阴影部分的面积为 ． 16．如果，那么的值为 ． 17．若表示一种新的运算，其运算法则为，的值为 ． 18．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）    ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 三、解答题 19．（1）；        （2）． 20．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 21．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 22．先化简，再求值：，其中． 23．先化简，再求值：，其中． 24．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为宽为，试用表示地基的面积，并计算当时地基的面积． 25．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果． 26．某居民小区为提高业主的宜居环境，准备在小区内一个长为米，宽为米的长方形休闲广场上修建宽度均为米的健身跑道． (1)如图1，若修建一纵一横的两条健身跑道，求健身跑道的面积共有多少平方米； (2)如图2，若修建两纵一横的三条健身跑道，且剩余部分的面积为平方米．当时，求的值． 27．观察下列等式： …… (1)根据以上规律，则______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据（2）的规律计算：（结果保留幂的形式即可） 28．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 整式的乘法（十二大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十二大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算 2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值； 3、整式乘法的应用 一、单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【方法规律】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 二、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【方法规律】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 三、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【方法规律】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 题型1：单项式乘以单项式 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用单项式乘以单项式的计算法则直接计算即可； （2）先根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算，再利用单项式乘以单项式的计算法则计算即可； （3）先计算幂的乘方与单项式乘单项式，再合并同类项即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）利用整体法及单项式的乘法计算即可． 【解析】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【点睛】题目主要考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 题型2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，-16． 【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可． 【解析】解：原式． 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简． 4．若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可． 【解析】 ∴ ∴ 解得 ∴m－n=1-2=-1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键． 5．若（am＋1bn＋2）•（a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣3 【答案】B 【分析】先利用单项式乘单项式法则，可得（am+1bn+2）•（a2n-1b2m）=am+2n•bn+2m+2，从而得到关于m，n的方程组，即可求解． 【解析】解：（am+1bn+2）•（a2n-1b2m）=am+1+2n-1•bn+2+2m=am+2n•bn+2m+2， ∵（am＋1bn＋2）•（a2n-1b2m）＝a5b3， ∴， 两式相加，得3m+3n=6， 解得m+n=2． 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键． 题型3：计算单项式乘以多项式 6．（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）先计算单项式乘以单项式及多项式，然后合并同类项计算即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以多项式即可； （4）先计算单项式乘以多项式去括号，然后合并同类项即可． 【解析】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式 ． （4） ． 【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式及多项式，合并同类项等的运算法则，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用单项式乘多项式法则计算； （2）先算积的乘方，再利用单项式乘多项式法则计算； （3）先算单项式乘多项式，积的乘方，再去括号，合并同类项即可． 【解析】（1）解： ； （2） （3） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了单项式乘多项式，合并同类项，积的乘方，掌握相应的运算法则，细心计算是解题的关键． 8．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （3）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （4）根据单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项即可求解； （5）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （6）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 题型4：计算单项式乘以多项式的求值问题 9．化简求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【解析】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2． 【分析】先将原式根据单项式乘多项式的法则进行化简，再将整体代入计算即可． 【解析】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值；熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键． 11．若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 12．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【解析】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 题型5：利用单项式乘以多项式求字母的值 13．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解． 【解析】解： ， 结果中不含有项， ， 解得 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则． 14．如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（   ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】B 【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【解析】解： ∵结果中不含x的五次项， ∴， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式法则，理解结果中不含x的五次项，即该项的系数等于0是解题的关键． 15．计算：□，□内应填写（    ） A．－10xy B． C．＋40 D．＋40xy 【答案】D 【分析】运用单项式乘以多项式法则展开，再根据对应项相等，即可求解． 【解析】解：∵-10xy2-5x2y□=-5xy(2y+x-8)=-10xy2-5x2y+40xy， ∴□=+40xy， 故选：D． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键． 题型6：单项式乘以多项式的综合应用 16．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断该多项式是（　　　） A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣2x2﹣x+1 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据整式的减法法则求出多项式，得到答案． 【解析】根据题意得：多项式为x2﹣x+1﹣（﹣3x2）， x2﹣x+1﹣（﹣3x2） =x2﹣x+1+3x2 =4x2﹣x+1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键． 17．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式的应用，根据长方体的体积长宽高，进行计算即可． 【解析】解：， 即长方体的体积为， 故选：A． 18．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白部分的面积，即可求解． 【解析】解：根据题意得：阴影部分的面积为 故选：B 【点睛】本题主要考查了整式加减及乘法的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 19．8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用代数式表示出左上角与右下角部分的面积，根据面积相等求出a与b的关系式． 【解析】解：如图，左上角阴影部分的长为AE=AD-a，宽为AF＝4b，右下角阴影部分的长为PC=BC-4b=AD-4b，宽为CG=a， 四边形AEHF的面积为：， 四边形QPCG的面积为：， ∵左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等， ∴， ∴，即， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，用代数式表示出两个阴影部分的面积是解本题的关键． 题型7：计算多项式乘以多项式及求值问题 20．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （2）直接利用多项式乘以多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案． （3）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （4）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【解析】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键． 21．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用多项式乘多项式，进行计算求解即可． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 22．化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据整式乘法运算法则即可求出答案． 【解析】解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式乘法运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 23．已知代数式化简后，不含有项和常数项． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)0.5； (2) 【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于、的方程，求出即可； （2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【解析】（1）解： ， ∵代数式化简后，不含有项和常数项．， ∴，， ∴，； （2）∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中． 题型8：（x+p）（x+q）型多项式乘法 24．若，则为（    ） A．8 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据整式的乘法进行计算，即可求解． 【解析】解：∵ ∴， 故选：B． 25．，则，的值为（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，即可求解． 【解析】解：∵ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 26．【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】根据，进行判断即可． 【解析】解：由题意知，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 题型9：多项式乘法不含某项求字母的值 27．若关于的多项式展开合并后不含项,则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式,解题的关键是令含的系数为零,本题属于基础题型． 根据多项式乘多项式的乘法即可求出答案． 【解析】解:, , , 由题意可知：, ∴, 故选:． 28．（1）若的展开式中不含和项，求m、n的值． （2）求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式的运算法则进行运算，再结合条件求出答案． （2）多项式乘多项式的运算法则进行运算即可． 【解析】解：（1） ， 展开式中不含和项， ， 解得：； （2） ． 题型10：图形问题 29．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．    【答案】 【分析】分别利用两种方法计算图形面积即可得出结果． 【解析】解：根据图形得，长方形的长为，宽为m，面积为， 当图形分为两个长方形时，总面积为， ∴可得等式：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用图象计算单项式乘以多项式，结合图形求解是解题关键． 30．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为 ． 【答案】 【分析】长方形纸片的面积减去长方形，即可作答． 【解析】根据题意，有： 长方形的面积：， 长方形的面积：， 则剩余部分的面积为：， 即有：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用多项式乘以多项式求解图形的面积的知识，掌握多项式乘以多项式是解答本题的关键． 31．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张． 【答案】10 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【解析】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要张， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量． 题型11：整式的乘法综合 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式乘除法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算加减，即可求解； （2）根据单项式的乘除法法则计算即可； （3）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可； （4）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可． 【解析】（1）解： （2） （3） （4） 33．计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先计算积的乘方，然后计算单项式乘单项式即可； （2）根据单项式乘多项式的计算法则求解即可； （3）根据多项式乘多项式计算法则求解，然后合并同类项即可； （4）多项式乘多项式计算法则和单项式乘多项式的计算法则求解，然后合并同类项即可. 【解析】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握整式的混合运算计算法则. 34．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为、．    (1)用含，的代数式表示长方形的长； (2)用含，的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积； (3)当，时，求绿化土地（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意表示求解即可； （2）用长方形的面积减去两个四分之一圆水池求解即可； （3）将，代入（2）表示的代数式求解即可． 【解析】（1）解：∵两个四分之一圆的半径分别为、 ∴长方形的长为； （2）解：根据题意可得， ； （3）解：∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键． 35．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7 （1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律． （2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答案】（1）符合；（2）见解析 【分析】（1）利用规定的方法计算，比较结果得出规律即可； （2）其它三个分别为a+1，a+7，a+8，利用交叉相乘计算证明即可． 【解析】解：（1）8×14-7×15=7； 5×11-4×12=7， 符合这个规律； （2）证明：设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，则其它三个分别为，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，数字的变化规律，由特殊到一般，得出一般性结论解决问题． 题型12：材料、规律题 36．观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的方法即可求解； （2）运用多项式乘以多项式，再根据整式的运算法则即可求解； （3）根据材料提示，分别计算与的值，再运用整式加减运算即可求解． 【解析】（1）解：根据材料提示， ①． ②． 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 37．阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键. （1）根据题意得到规律即可； （2）由即可得到答案； （3）设①，则②，①＋②后即可得到答案. 【解析】（1）解：由题意可得， 故答案为： （2）由题意可得， ， ∴ 故答案为： （3）设① 则② ①＋②得， ∴ 38．在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x． 请参考上面的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______； (2)如果计算所得多项式不含一次项，则常数a的值是______； (3)如果，则的值是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； （3）根据给定的方法找出的一次项系数即可． 【解析】（1）解：所得多项式的一次项系数为： ； （2）根据题意，一次项系数， 即， 解得； （3）的一次项系数为： ， ， 一、单选题 1．的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【解析】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 2．计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（　　） A．﹣a2﹣2a+3 B．﹣a2+4a+3 C．﹣a2+4a﹣3 D．a2﹣2a﹣3 【答案】A 【分析】运用多项式乘多项式法则，直接计算即可． 【解析】解：（a+3）（﹣a+1） ＝﹣a2﹣3a+a+3 ＝﹣a2﹣2a+3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以多项式的运算法则即可求解． 【解析】， 故选D． 【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘以多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项即可解答． 【解析】， 故选B． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则和合并同类项是解答本题的关键． 5．若，则的值为（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先去括号，再根据等式的恒等性求出p、q的值，再求出的值即可． 【解析】解：∵，， ∴p=-3，q=2， ∴p+q=-1， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式与多项式相乘，掌握多项式与多项式相乘的法则是解题关键． 6．下列各题中，计算正确的是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先进行积的乘方公式再进行同底数幂乘法乘法对各选项进行计算、筛选即可． 【解析】解：选项A：，故错误； 选项B：，故错误； 选项C： ，故错误； 选项D：，故正确． 故选：D 【点睛】本题考查了积的乘方和单项式乘法运算，解答关键是根据相关法则进行计算． 7．小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“-2m”，得到的结果为．则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由题意得：，把等式左边利用多项式乘多项式进行计算，合并同类项后与等式右边对比，即可得出m的值； 【解析】解：由题意得：， ∴， ∴12m=72， ∴m=6， 故选：C 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键． 8．根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④ 【答案】A 【分析】因为正方形的边长为x，一边截去宽5的一条，另一边截去宽6的一条，所以阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5与x﹣6．然后根据长方形面积计算公式进行计算． 【解析】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5、x﹣6， 则阴影的面积＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故该项正确； ②如图所示： 阴影部分的面积＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故该项正确； ④如图所示： 阴影部分的面积＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故该项正确； ③由④知本项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算﹣多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，理解好图形面积的多种表达形式是解题关键． 9．若的结果中不含项，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用多项式乘多项式运算法则将原式展开，然后合并同类项，使xy项系数为零即可解答． 【解析】 = =， ∵的结果中不含项， ∴﹣m+4=0， 解得：m=4， 故选：A． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，会根据多项式积中不含某项的系数为零求解参数是解答的关键． 10．有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论： ①第项为 ② ③若第项的值为，则 以上结论正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的规律探究，多项式乘以多项式，根据题意可得第1项为，，第2项为，，第3项为，，根据变化规律解答即可． 【解析】根据题意， 第1项为， ， 第2项为， ， 第3项为， ， ∴第4项为，故①正确； ∴，故②不正确； 若第2023项的值为0，则， ∴， 即， ∴，故③正确； 故选：C． 二、填空题 11．（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ． 【答案】 ． 【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （2）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （3）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （4）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （5）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （6）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：；；；；；． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 12．若单项式与的积为，则 ． 【答案】-2 【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解． 【解析】由题意，得，， 则． 故答案为：-2． 【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 13．若，则 ． 【答案】 【分析】将化简得，即可得进行计算得，将其代入即可得． 【解析】解：∵， ∴， 解得，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式． 14．计算的结果中次数是6的项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，单项式的系数的定义、多项式的次数的定义，先根据运算法则计算出结果，根据单项式的系数的定义、多项式的次数的定义即可得． 【解析】解： ， 的次数是6， 的结果中次数是6的项的系数是， 故答案为：． 15．用含x的代数式表示图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】阴影部分面积分成两个长方形的面积计算：其中一个是长为，宽为x的长方形的面积；另一个是长为，宽为x的长方形的面积，这两个长方形的面积相加即可． 【解析】解：如图， 由题意知：阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，掌握长方形的面积公式，利用割补的方法求图形面积是本题的关键． 16．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．若表示一种新的运算，其运算法则为，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据新定义列出式子，然后根据单项式乘多项式进行计算即可． 【解析】解：由题意可得， ， 故答案为：． 18．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）    ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 【答案】①③④ 【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【解析】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 三、解答题 19．（1）；        （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法计算法则进行求解即可． 【解析】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 20．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 21．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案； （2）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案； （3）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案； （4）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案； （5）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案； （6）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案. 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握“多项式乘以多项式的法则：把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关键. 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先利用整式的乘法计算，合并后代入求得数值即可． 【解析】解：原式 当时，原式． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可先根据多项式乘以多项式进行化简，然后代值求解即可 【解析】解：原式 ； ， ∴原式 24．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为宽为，试用表示地基的面积，并计算当时地基的面积． 【答案】，1300． 【分析】根据题意可直接利用长×宽进行求解面积，然后把代入求解即可． 【解析】解：根据题意得： 地基的面积是：， 当时，地基面积为： ． 【点睛】本题主要考查整式的乘除的应用，熟练掌握整式的乘法是解题的关键． 25．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1)-14． (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于a和b的代数式的值，直接代入计算即可； （2）先求出b的值，再代入计算． 【解析】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：， 因为对应的系数相等，故， 乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：． 因为对应的系数相等，故，， ∴ （2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出： ， 故， ∴b=-1， 把a=3，b=-1代入， 得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3， 故答案为：2x2+5x-3． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． 26．某居民小区为提高业主的宜居环境，准备在小区内一个长为米，宽为米的长方形休闲广场上修建宽度均为米的健身跑道． (1)如图1，若修建一纵一横的两条健身跑道，求健身跑道的面积共有多少平方米； (2)如图2，若修建两纵一横的三条健身跑道，且剩余部分的面积为平方米．当时，求的值． 【答案】(1)健身跑道的面积共有平方米 (2)2 【分析】本题考查了整式加减的应用，多项式乘多项式与图形面积．熟练掌握整式加减的应用，多项式乘多项式与图形面积是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，将，，代入计算求解即可． 【解析】（1）解：由题意知，（平方米）， ∴健身跑道的面积共有平方米． （2）解：由题意知， （平方米）． ∵，平方米， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的值为2． 27．观察下列等式： …… (1)根据以上规律，则______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据（2）的规律计算：（结果保留幂的形式即可） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索： （1）分析题意，认真观察各式，等式右边的指数比左边的最高指数大，利用此规律填空； （2）根据发现的规律，将其写成关于含有的式子即可； （3）在中，令，，则可得，据此求解即可． 【解析】（1）解： ……， 以此类推，可知， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得； 故答案为：； （3）解：在中，令，， ∴， ∴， ∴． 28．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减求出的值，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【解析】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）令 ， 原式= ， 的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$