专题1.8 探索三角形全等的条件（HL）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.8 探索三角形全等的条件（HL）（专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（    ）    A． B．与互余 C． D． 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，，，则下列结论不一定成立的是（）    A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·江西抚州·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知，则这两个滑梯与地面夹角与的度数和是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则（    ）    A． B． C． D． 6．（20-21八年级上·天津红桥·期中）如图，△ABC中，点D是BC边上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，且BD=FC，BE=DC，∠AFD=155°，则∠EDF的度数是（　 　） A．50° B．55° C．60° D．65° 7．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 8．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，，，，，则（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 9．（14-15八年级上·江苏盐城·课后作业）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，分别是边上的高，已知；若，则的度数为 ． 12．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则边的长为 ．    13．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是 ．    14．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，于E，于F，若，，则下列结论：①；②平分；③；④，中正确的是 ．    15．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，E是的中点，平分，，则 ．    16．（23-24八年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，、为对角线，且，，于点．若，，则的长度为 ．    17．（18-19七年级下·黑龙江·期末）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为 ．    18．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，．若，则的长为 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程． 证明： ，， __________． 是的中点， __________， 又， __________． ． 20．（8分）（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，相交于点O，，．    （1）求证：； （2）若，求的度数． 21．（10分）（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）请判断是否平分，并说明理由． 22．（10分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． （1）若平分，求证：． （2）求的度数． 23．（10分）（21-22八年级上·山东聊城·期末）如图，在△ABC中∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E为AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，连接FD． （1）求证：△BED≌△ACD； （2）若FC=c，FB=b，求的值．(用含a，b的式子表示) 24．（12分）（20-21七年级下·辽宁朝阳·期末）已知：两个等腰直角三角板△ACB和△DCE（AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°）如图所示摆放，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N． （1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE与BD有何关系并说明理由； （2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC＝DC），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：． 2．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”是解答本题的关键．根据“”所需的条件分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故选D． 3．B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题． 首先证明，推出，，由，推出，推出，即可一一判断． 【详解】解：在和中， ， 故A、C、D正确， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明得到，由可得． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 故选：B． 5．B 【分析】先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了用证明三角形全等，解题的关键掌握有一条直角和斜边相等的两个直角三角形全等． 6．D 【分析】证明Rt△FDC≌Rt△DEB（HL），由全等三角形的性质得出∠DFC＝∠EDB＝25°，即可得出答案． 【详解】解：∵∠AFD＝155°， ∴∠DFC＝25°， ∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴∠FDC＝∠DEB＝90°， 在Rt△FDC和Rt△DEB中，， ∴Rt△FDC≌Rt△DEB（HL）， ∴∠DFC＝∠EDB＝25°， ∴∠EDF＝180°−∠BDE−∠FDC＝180°−25°−90°＝65°． 故选：D． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 7．A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意，利用直角三角形全等的判定定理得到，求出相关线段长度，由图中线段关系表示出，代值求解即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形中两个锐角互余，根据条件证明出两个直角三角形全等是解题的关键． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9．A 【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，再证明Rt△BED≌Rt△BEC得到DE＝CE，接着利用三角形周长和等线段代换得到AD＋AC＋2BC＝12和AD＋AC＝6，所以6＋2BC＝12，从而得到BC的长． 【详解】解：连接BE， ∵DE⊥AB ∴∠BDE=90°， 在Rt△BED和Rt△BEC中， ， ∴Rt△BED≌Rt△BEC（HL）， ∴DE＝CE， ∵△ABC的周长为12， ∴AB＋AC＋BC＝12， 即AD＋AC＋2BC＝12， ∵△ADE的周长为6， ∴AD＋DE＋AE＝6， 即AD＋EC＋AE＝6， ∴AD＋AC＝6， ∴6＋2BC＝12， ∴BC＝3． 故选：A． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握HL证明全等是解答此题的关键． 10．D 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键． ，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：，．理由如下： 在与中，， ， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中， ， ∴． 在与中，， ∴． 故选：D 11．/度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解． 【详解】解：∵分别是边上的高， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 12．3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，连接，利用证明得到，根据三角形周长公式推出，再由，可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3．    13． 【分析】由条件信息可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解． 【详解】解：，证明如下： 由题意可得：与均是直角三角形，且． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点拨】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键． 14．①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，再证明，判断出平分，可得，再根据图形即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，①正确，符合题意； 又∵，， ∴， ∴，，即平分，②正确，符合题意； ∴，④正确，符合题意； 在中，，∴，③错误，不符合题意； 综上所述，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 15． 【分析】过点E作，垂足为F．由三角形的内角和定理求得，由角平分线的定义可知，由平行线的判定定理可知，由平行线的性质可求得，由角平分线的性质可知，则，根据可证明，从而得到． 【详解】解：过点E作，垂足为F．    ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵平分，， ∴． ∵E是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故选答案为． 【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，由角平分线的性质证得是解题的关键． 16． 【分析】过点A作交的延长线于点F，根据证明，得到，，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点A作交的延长线于点F，      ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 17． 【分析】 过点作于点，证明，，得出，再由为的中线及，根据的面积列出关于的方程，求解即可． 【详解】 解：如图，过点作于点    为的中线， ， 又 ， 在和中 ，即 ，， 为的中线， 又 解得： 故答案为：3． 【点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属于中档题． 18．5 【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，，证明，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作的延长线于，    ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 19．，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即可．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：，， 是的中点， 又， ． 20．(1)见详解 (2) 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）在中， ∵， 由（1）可知， 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 21．(1) (2)平分，理由见解析 【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解；（2）过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论． 【详解】（1）， ． ， ． ， ， ； （2）平分 理由：如图，过点分别作于点，于点 平分 在和中 （AAS） 同理可得： 在和中， （HL） 平分． 【点拨】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质， （1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得，有即可证明结论； （2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得，即可求得角度． 【详解】（1）证明：延长，交于点，如图， ，，， ， ， ． ，， ． ，， ， ， ． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， ． ，， ， ， ∵， ∴， ． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用得，又BE=AC，，因此可以通过HL定理证明； （2）作于点，作于点，由可得，利用即可求解． 【详解】（1）证明：在△ABC中∠ABC=45°，AD⊥BC， ，， ， 在和中， ， ， 即． （2）解：如图所示，作DG⊥BE于点G，作DH⊥AC于点H， 由（1）知 ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是正确作出辅助线，由可得． 24．（1）AE＝BD且AE⊥BD．理由见解析；（2）△ACB≌△DCE，△EMC≌△BCN，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE 【分析】（1）证明△ACE≌△BCD，可得AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，由∠CME＝∠DMO，根据三角形内角和定理即可得∠DOM＝∠ECM＝90°，进而可证AE⊥BD． （2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形． 【详解】解：（1）结论；AE＝BD且AE⊥BD．理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB+∠DCA＝∠DCE+∠DCA， 即∠DCB＝∠ACE， ∵AC＝BC，CD＝CE， 在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD，∠CEA＝∠BDC， ∵∠CME＝∠DMO， ， 即∠DOM＝∠ECM＝90°， ∴AE⊥BD， ∴AE＝BD且AE⊥BD； （2）∵AC＝DC， ∴AC＝CD＝EC＝CB， 在△ACB与△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）； 由（1）可知：∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC， ∴∠DOM＝90°， ∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD， ∴△EMC≌△BCN（ASA）， ∴CM＝CN， ∴DM＝AN， ∴△AON≌△DOM（AAS）， ∵DE＝AB，AO＝DO， ∴△AOB≌△DOE（HL）． 【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$