微素养·专题突破3 巧解一次方程组-【精彩练习】2023-2024学年七年级下册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

　巧解一次方程组 【例1】 阅读下列解方程组的方法，然后解答问题．解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法、加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②－①，得3x＋3y＝3，∴x＋y＝1，③ ③×14，得14x＋14y＝14，④ ①－④，得y＝2，从而得x＝－1. ∴原方程组的解是 (1)请运用上述方法解方程组 (2)请直接写出方程组的解是____． (3)猜测关于x，y的方程组(m≠n)的解是什么，并用方程组的解加以验证． 解：(1)②－①，得3x＋3y＝3， 所以x＋y＝1，③ ③×2 015，得2 015x＋2 015y＝2 015，④ ①－④，得y＝2， 把y＝2代入③，得x＝－1， 所以原方程组的解是 (3)方程组的解为 验证：当x＝－1，y＝2时，第一个方程：左边 ＝－m＋(m＋1)×2＝－m＋2m＋2＝m＋2＝右边． 第二个方程： 左边＝－n＋(n＋1)×2＝－n＋2n＋2＝n＋2＝右边， 所以是原方程组的解． 【例2】 阅读理解． 小聪在解方程组时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下： 解：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5， 即2(2x＋5y)＋y＝5，③ 把方程①代入方程③，得2×3＋y＝5，解得y＝－1. 把y＝－1代入方程①，得x＝4， ∴方程组的解是 (1)仿照小聪的解法，解方程组 (2)已知x，y满足方程组 (ⅰ)求x2＋4y2的值． (ⅱ)求3xy的值． 解：(1)把方程②变形为3(3x－2y)＋2y＝19，③ 把①代入③，得15＋2y＝19，解得y＝2. 把y＝2代入①，得x＝3， 则方程组的解为 (2)(ⅰ)由方程①得，3(x2＋4y2)＝47＋2xy， 即x2＋4y2＝，③ 方程②整理得2(x2＋4y2)＋xy＝36，④ 将③代入④，得2×＋xy＝36， 解得xy＝2. 将xy＝2代入③，得x2＋4y2＝17. (ⅱ)由(ⅰ)知xy＝2，则3xy＝6. 【变式】 已知关于x，y的二元一次方程组(a为实数). (1)若方程组的解始终满足y＝a＋1，求a的值． (2)已知方程组的解也是方程bx＋3y＝1(b为实数，b≠0且b≠－6)的解，探究实数a，b满足的关系式． 解：(1) ②－①得3y＝6a－3，即y＝2a－1， 把y＝2a－1代入y＝a＋1，得2a－1＝a＋1，解得a＝2. (2)把y＝2a－1代入x－y＝3－a，得x＝a＋2，所以方程组的解为 将方程组的解代入bx＋3y＝1，得ab＋2b＋6a－3＝1，即ab＋6a＋2b＝4. 【例3】 阅读并解答：对于方程组不妨设＝u，＝v，则原方程组就变成以u，v为未知数的方程组解得从而求得原方程组的解是这种解法称之为换元法． 用换元法解方程组 解：设x＋y＝m，x－y＝n，则原方程组可变形为 用加减消元法解得 则解得故原方程组的解为 【变式】 解方程组 解：原方程组可变成 设x＋y－1＝a，x－y＋3＝b，可求得进而求得 【例4】 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面的问题： 若关于x，y的方程组的解是求关于x，y的方程组的解． 解：∵ ∴ 由题意知解得 ∴原方程组的解为 学科网（北京）股份有限公司 $$