第11讲 圆心角与圆周角【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第11讲 圆心角与圆周角 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.掌握圆心角、圆周角的概念 2.掌握弧的定义 3.熟练掌握圆心角定理以及推论 4.掌握圆周角定理 一、圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 三、圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 四、圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 教材习题01 已知，如图，ΔABC内接与⊙O，∠ACB=2∠ABC，点D平分，求证：AC=BD 解题方法 ①要证明AC和BD相等，根据所给的图，以及圆周角定理，需要证明∠ABC 和∠BCD这两个角相等就可以。而根据∠ACB=2∠ABC，点D平分这两个条件，比较容易的证明出两角相等的结论。 【答案】 解：如图，连结 CD. ∵＝， ∴ ∠ACD＝∠BCD ＝ ∠ACB（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）. ∵ ∠ABC ＝ ∠ACB ， ∴ ∠ABC ＝∠BCD. ∴ ＝（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等）， ∴ AC＝BD 考点一： 圆心角的概念 例1．下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 变式1-1．图中是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角． 【详解】解：A为圆周角，不符合题意； B是圆心角，符合题意； C不是圆心角，不符合题意； D不是圆心角，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查圆心角的定义．熟记相关定义即可． 变式1-2．下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角． 考点二：利用弦、弧、圆心角的关系求证 例2．在中，，为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及垂径定理，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等”可对①②进行分析判断；由只能说明弧所对的圆心角是弧所对的圆心角的2倍，不能判断，据此可对③进行分析；接下来根据圆心角与弧的关系对④进行分析． 【详解】 解：根据圆心角、弧、弦的关系可知： ① ，则，①正确，符合题意； ② ，则，②正确，符合题意； ③如上图所示，若，则点为的中点，连接，交于点， ，， ，即， ， 故③错误，不符合题意； ④如上图所示，若， ， ， ， 故④正确，符合题意． 故选：C． 变式2-1．如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，先根据题意得到，则，即可判断①；推出，进而证明，即可判断③；证明，得到，即可判断②，证明的度数的度数，得到的度数的度数，则，即可判断④． 【详解】解：为的中点， ， ∴，故①正确， ， ，， ， ，故③错误， ，， ， ，， ， ，故②正确， ， ， 的度数的度数， 的度数的度数， ，故④正确， 故选：B． 考点三：利用弦、弧、圆心角的关系求解 例3．如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，根据圆内接四边形的性质可得，由平分，可得，，，，再证明，，可得，，则，进而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键． 【详解】解：过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，， ∵平分，， ∴，，(圆内接四边形对角互补)， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴， 由勾股定理可得：，即：， ∴， 故选：D． 变式3-1．如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，在上取一点F，使得，连接，由得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则． 【详解】解：如图所示，在上取一点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 考点四：圆弧的度数 例4．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 变式4-1．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 变式4-2．如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为 度． 【答案】60 【分析】先判定△POQ是等边三角形，然后根据圆心角的度数与它所对的弧的度数相等求解即可． 【详解】解：∵PQ=PO，PO=OQ， ∴PQ=PO=OQ， ∴△POQ是等边三角形， ∴∠POQ=60°， ∴的度数为60度 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角的度数与它所对的弧的度数相等是解答本题的关键． 考点五：圆周角的概念 例5．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 变式5-1．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 考点六：圆周角定理 例6．如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 变式6-1．如图，内接于，C是的中点，连接、、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理的含义，先证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A 考点七：圆心角圆周角的应用 例7．如图，为的的两条直径，点E为弧的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，在根据等腰三角形的性质结合三角形外角的性质求出，由三角形内角和定理求出，根据点E为弧的中点，求出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 点E为弧的中点， ， ， 故选：C． 变式7-1．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由以为直径作，得，，即可得动点在以为直径的圆上运动，当，，在一直线上时，根据，即可求解． 【详解】解：中，，，， 连接，由以为直径作，，， ，， 动点在以为直径的圆上运动，为圆心， 当，，在一直线上时， 即的最小值为 故答案为：． 变式7-2．如图，内接于，为的直径， D为上一点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 由为的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．下列命题中是真命题的为（　　） A．弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念辨析，垂径定理，三角形的外心，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直径是弦，弦不一定是直径，故选项为假命题； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项为假命题； C、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故选项为真命题； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项为假命题； 故选C． 2．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接，由， 证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形，得再证明是等边三角形即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴ ， ∵ ∴，即是等边三角形， ∴， ∴, 故选：D 3．如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 4．下列命题正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等． B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧． C．过三点能作一个圆． D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等． 【答案】D 【分析】根据确定圆的条件，弧、圆心角、弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧分劣弧和优弧，故不一定相等，故此选项不符合题意； B．平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的两条弧，故此选项不符合题意； C．过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故此选项不符合题意； D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等，故此选项符合题意． 故选：D． 5．如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到，再由同弧所对的圆心角相等及等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：    ， ， 点是劣弧的中点， ，则， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是解决问题的关键． 6．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴，，故A正确；， ∴， , ∴，故B正确；, ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 7．下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 【答案】C 【分析】用弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确； C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误； D、半径相等的两个半圆是等弧，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识． 8．如图，矩形内接于，若，则的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，连接，由四边形是矩形得到，则是的直径，由勾股定理求出，即可得到的半径． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 9．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 10．如图，内接于，是的直径，若，则等于 ．    【答案】/57度 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 连接，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到，利用直角三角形的性质可计算出，然后根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵是的直径， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握圆周角的相关知识是解题关键．首先根据题意可得，，易知，进而可得，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．如图，四边形是的内接四边形，对角线过点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得出，，根据角的和差求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， ＋， ， 故答案为：． 13．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理．如图，连接，证明，求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接．    ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，由圆周角定理可得，由是的直径可得，进而即可求出的度数，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：由圆周角定理得，， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 过点作轴，交的延长线于点，利用判定出得到，再根据推出点的运动轨迹，取的中点，连接，用勾股定理求出的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点作轴，交的延长线于点， ∵， ∴． ∵，轴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接， ∴，， ∴当点三点共线时，有的最小值为； 故答案为：． 16．如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由，可得，又由“同弧所对的圆周角相等”可得，进而可得，由此可得． （2）连接，设，则，，，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， 又， ， ∵， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 即的半径为． 17．如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考由圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理、垂径定理推出，由垂径定理、勾股定理得到关于圆半径的方程． （1）由角平分线定义得到，由圆周角定理推出，由垂径定理推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系推出； （2）连接与交于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，设半径为，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的半径长． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接与交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴的半径是． 18．如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 19．如图所示，以的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，与分别交于点E，F，延长交于点G．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查圆的有关知识“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”；利用平行四边形的性质证得，，再通过等腰三角形的性质得到，从而证得，据此即可证明． 【详解】证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)13 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． （1）欲证明，只要证明即可； （2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可． 【详解】（1）证明：， ， ，即， ； （也可通过证明三角形全等解决） （2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 圆心角与圆周角 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.掌握圆心角、圆周角的概念 2.掌握弧的定义 3.熟练掌握圆心角定理以及推论 4.掌握圆周角定理 一、圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 三、圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 四、圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 教材习题01 已知，如图，ΔABC内接与⊙O，∠ACB=2∠ABC，点D平分，求证：AC=BD 解题方法 ①要证明AC和BD相等，根据所给的图，以及圆周角定理，需要证明∠ABC 和∠BCD这两个角相等就可以。而根据∠ACB=2∠ABC，点D平分这两个条件，比较容易的证明出两角相等的结论。 【答案】 解：如图，连结 CD. ∵＝， ∴ ∠ACD＝∠BCD ＝ ∠ACB（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）. ∵ ∠ABC ＝ ∠ACB ， ∴ ∠ABC ＝∠BCD. ∴ ＝（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等）， ∴ AC＝BD 考点一： 圆心角的概念 例1．下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．   B．   C．   D．   变式1-1．图中是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   变式1-2．下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 考点二：利用弦、弧、圆心角的关系求证 例2．在中，，为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-1．如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 考点三：利用弦、弧、圆心角的关系求解 例3．如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 考点四：圆弧的度数 例4．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为 度． 考点五：圆周角的概念 例5．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式5-1．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 考点六：圆周角定理 例6．如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式6-1．如图，内接于，C是的中点，连接、、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点七：圆心角圆周角的应用 例7．如图，为的的两条直径，点E为弧的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 变式7-2．如图，内接于，为的直径， D为上一点，连接．若，则的度数为 ． 1．下列命题中是真命题的为（　　） A．弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 2．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．下列命题正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等． B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧． C．过三点能作一个圆． D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等． 5．如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 7．下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 8．如图，矩形内接于，若，则的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 9．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 10．如图，内接于，是的直径，若，则等于 ．    11．如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 12．如图，四边形是的内接四边形，对角线过点，若，则的度数为 ． 13．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则 °． 14．如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ． 15．如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 16．如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 17．如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 18．如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 19．如图所示，以的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，与分别交于点E，F，延长交于点G．求证：． 20．如图，在中，，，求的度数． 21．如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$