第06讲 图形的轴对称【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第06讲 图形的轴对称 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握轴对称与轴对称图形的概念，区别与联系； 2．掌握生活中的轴对称问题； 一.轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 二.轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 教材习题01 如图，直线 l 表示草原上的一条河流. 一骑马少年从 A 地出发，去河边让马饮水，然后返回位于 B 地的家中. 他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线. 解题方法 ①本题为典型的将军饮马模型，需要作A或者B关于l的对称点，根据对称的性质，两点之间直线最短的定理，可以快速定位到最短的线路 【答案】 解：如图 ，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连结 A′B，交直线 l 于点 C，连结 AC. 骑马少年沿折线 A－C－B 的路线行走时路程最短 下面给出证明： 设 P 是直线 l 上任意一点，连结 AP，A′P. 由作图知，直线 l 垂直平分 AA′， 则 AC＝A′C，AP＝A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 亦 AP＋BP＝A′P＋BP≥A′B， A′B＝A′C＋BC＝AC＋BC， 即 AP＋BP≥AC＋BC， 所以沿折线 A－C－B 的路线行走时路程最短. 考点一： 轴对称图形识别 例1．中国新能源汽车市场快速增长，成为中国汽车行业的一抹亮色．以下的新能源汽车品牌标志中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】 A、∵是轴对称图形， ∴不符合题意； B、∵是轴对称图形， ∴不符合题意； C、∵不是轴对称图形， ∴符合题意； D、∵是轴对称图形，， ∴不符合题意； 故选C． 变式1-1．数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的方便．下列数学符号中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A、B、C均找不到一条直线，使A、B、C沿该直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，故A、B、C不是轴对称图形，不符合题意； D能找到一条直线，使D沿该直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，故D是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 变式1-2．如图是沈阳故宫东部区域局部建筑分布图，这种建筑布局体现的设计的理念是（   ） A．轴对称 B．中心对称 C．平移 D．旋转 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，∵沈阳故宫东部区域局部建筑分布图符合沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的特征， ∴这种建筑布局体现的设计的理念是轴对称， 故选：A． 考点二：根据轴对称图形特征求解 例2．如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称图形的两个图形，对应线段相等即可解答． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， 故选：A． 变式2-1．如图，点P在的内部，点P关于，的对称点分别为A，B，连接交于点C，交于点D，连接、，若，则的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】D 【分析】本题主要考查了对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识，由题意可得，，由三角形的内角和定理可得，由对顶角相等可得，从而得到，最后由三角形的内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： ，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 变式2-2．如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 考点三：将军饮马题型求最短路线 例3．《西游记》第三十二回写道：“金角大王、银角大王派巴山虎、倚海龙去请母亲来吃唐僧肉，让她带着幌金绳来拿孙行者．”话说两个小妖在A点接到老妖婆后，来到小河边P点喝水，随后回到B点的洞府去见两位大王．小妖智商有限，请各位同学帮忙规划一下，当P点在哪时，路程最近呢？请大家作出路线图并简要说明理由．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查了最短路线问题．根据“两点之间，线段最短”，即可求解． 【详解】解：如图，作A点关于小河的对称点，连接交小河所在直线于P点；    理由：根据作法得：， ∴（两点之间，线段最短）， 即为最短路径． 变式3-1．如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 【答案】见解析． 【分析】直接利用轴对称求最短路线方法得出天然气站的位置． 【详解】如图所示：首先作出A点关于汾河边L的对称点A′，再连接A′B，A′B与汾河边L的交点处就是P处，即天然气站位置． ． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，在直线L上的同侧有两个点A，B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 考点四：轴对称的光反射问题 例4．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 变式4-1．如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，轴对称的性质；根据已知可得，进而求得，根据对称可得，进而即可求解． 【详解】解：由题意，知， ∴． ∴． ∴， 故选：C． 考点五：折叠问题 例5．如图，将沿折叠，使点与边中点重合，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得出，再求出，最后根据周长公式求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点与边中点重合， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． 变式5-1．在直角三角形中，，是上一点，且．将沿所在直线翻折，点落在边所在直线上，记为点．    （1）如图，若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 22 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出，当时，求出，，由折叠的性质得出，再由即可得出答案； （2）同（1）的方法得，，，再由计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 当时，，， 由折叠知，． ∴， 故答案为：22； （2）如图，   ， 同（1）的方法得，，， ∴， 故答案为：． 变式5-2．如图，沿折叠使点A落在点处，分别是平分线，若，则 ．    【答案】136 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，折叠的性质．设相交于点G，利用角平分线的定义可得到，从而可得的度数，由折叠可得的度数，利用三角形外角的性质即可求得的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，设相交于点G， ∵分别是平分线， ∴， ∴ ， ∴， 由折叠得， ∴， ∴； 故答案为：136． 1．如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种， 故选：C． 2．下列图形中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，对称轴．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形，对称轴的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，有一条对称轴，故不符合要求； B中是轴对称图形，有一条对称轴，故不符合要求； C中不是轴对称图形，故不符合要求； D中轴对称图形，有两条对称轴，，故符合要求； 故选：D． 3．下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可． 【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称， 故选：． 4．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】主要考查了轴对称的性质，按轴对称画图是正确解答本题的关键．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是4号． 故选：D． 5．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的性质，根据成轴对称图形的性质逐项判断即可． 【详解】因为与关于直线对称，所以，，，与不一定平行，故A，B，C项一定正确，D项不一定正确． 故选：D． 6．与关于直线对称，如果的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，直接利用轴对称的性质可得的面积． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴与互相重合， ∵的面积是， ∴的面积是， 故选B 7．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 8．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【答案】C 【分析】根据题意画出图示可直接得到答案． 【详解】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角． 9．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则 ．    【答案】55 【分析】本题考查了角的计算以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角，是解此题的关键．根据折叠的性质可得出，再根据，即可得出的度数． 【详解】解：∵把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：55． 10．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 【答案】40°/40度 【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 11．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 12．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 13．如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，先求出，再根据折叠的性质得，然后根据当与的一边平行，分下两种情况进行讨论：①当时；②当时，又有两种情况：（ⅰ）点F在上方时；（ⅱ）当点F在下方时，分情况进行求解即可； 【详解】解：， ． 由折叠的性质得， ． 当与的一边平行，有以下两种情况： ①当时（如图），， ， ， ， ； ②当时，又有两种情况： （i）点F在上方时（如图）． ， ， ， ， ； （ⅱ）当点F在下方时（如图）． 设， ， ， ， ． ， ， 解得， ． 综上所述，符合题意的的度数是或或． 14．如图，点P是外的一点，点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，直线分别交于C、D两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若求，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，，可得，，则，， 根据，求解作答即可； （2）由点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，，可得，，即，由，可求，进而可得的长． 【详解】（1）解：∵点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． 15．如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质即可作图； （2）根据入射角等于反射角，可得，，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求， ； （2）解：由轴对称的性质可知． 在中，． 由轴对称性质，得． 故答案为：． 16．如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，设，则可得，根据列方程，即可解答； （2）根据可求得，再求出和，利用折叠的性质即可得到，即可解答． 【详解】（1）解：四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上， ， 设，则可得， 根据可得， 解得， 故答案为：； （2）解：在中， ∵，， ， ∵点恰好落在边 BC上， ． ， ， ， 由折叠的性质，知 ． 17．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均落在格点上．在图①、图②给定的网格中按要求作图．要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法． (1)在图①中的格线上确定一点，使与的长度之和最小； (2)在图②中的格线上确定一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对称点的位置是解题的关键． （1）如图所示，作关于的对称点，连接，交于，点即为所求； （2）如图所示，作关于的对称点，连接并延长交于，点即为所求． 【详解】（1） （2） 18．如图，在的网格图中，每小格均为边长是1的正方形，给出直线及格点，其中的顶点均在网格线的交点上． (1)画出格点关于直线对称的； (2)在上求作点，使的周长最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用轴对称求最短路径，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质分别得出的对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据利用轴对称求最短路径的方法，连接与交于点，点即为所求； 【详解】（1）解：作图如下，即为所求； （2）解：如图，连接与交于点，点即为所求； 连接， ∵点A和点关于对称 ∴ ∴ ∴点共线时，最小，即的周长最小； ∴点即为所求； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 图形的轴对称 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握轴对称与轴对称图形的概念，区别与联系； 2．掌握生活中的轴对称问题； 一.轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 二.轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 教材习题01 如图，直线 l 表示草原上的一条河流. 一骑马少年从 A 地出发，去河边让马饮水，然后返回位于 B 地的家中. 他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线. 解题方法 ①本题为典型的将军饮马模型，需要作A或者B关于l的对称点，根据对称的性质，两点之间直线最短的定理，可以快速定位到最短的线路 【答案】 解：如图 ，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连结 A′B，交直线 l 于点 C，连结 AC. 骑马少年沿折线 A－C－B 的路线行走时路程最短 下面给出证明： 设 P 是直线 l 上任意一点，连结 AP，A′P. 由作图知，直线 l 垂直平分 AA′， 则 AC＝A′C，AP＝A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 亦 AP＋BP＝A′P＋BP≥A′B， A′B＝A′C＋BC＝AC＋BC， 即 AP＋BP≥AC＋BC， 所以沿折线 A－C－B 的路线行走时路程最短. 考点一： 轴对称图形识别 例1．中国新能源汽车市场快速增长，成为中国汽车行业的一抹亮色．以下的新能源汽车品牌标志中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的方便．下列数学符号中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图是沈阳故宫东部区域局部建筑分布图，这种建筑布局体现的设计的理念是（   ） A．轴对称 B．中心对称 C．平移 D．旋转 考点二：根据轴对称图形特征求解 例2．如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 变式2-1．如图，点P在的内部，点P关于，的对称点分别为A，B，连接交于点C，交于点D，连接、，若，则的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 变式2-2．如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ． 考点三：将军饮马题型求最短路线 例3．《西游记》第三十二回写道：“金角大王、银角大王派巴山虎、倚海龙去请母亲来吃唐僧肉，让她带着幌金绳来拿孙行者．”话说两个小妖在A点接到老妖婆后，来到小河边P点喝水，随后回到B点的洞府去见两位大王．小妖智商有限，请各位同学帮忙规划一下，当P点在哪时，路程最近呢？请大家作出路线图并简要说明理由．    变式3-1．如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 考点四：轴对称的光反射问题 例4．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　　） A． B． C． D． 考点五：折叠问题 例5．如图，将沿折叠，使点与边中点重合，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式5-1．在直角三角形中，，是上一点，且．将沿所在直线翻折，点落在边所在直线上，记为点．    （1）如图，若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 （用含n的代数式表示）． 变式5-2．如图，沿折叠使点A落在点处，分别是平分线，若，则 ．    1．如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 2．下列图形中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．与关于直线对称，如果的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 7．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 9．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则 ．    10．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 11．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 12．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 13．如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是 ． 14．如图，点P是外的一点，点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，直线分别交于C、D两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若求，，，求的长． 15．如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 16．如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ． (2)若，求的度数． 17．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均落在格点上．在图①、图②给定的网格中按要求作图．要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法． (1)在图①中的格线上确定一点，使与的长度之和最小； (2)在图②中的格线上确定一点，使． 18．如图，在的网格图中，每小格均为边长是1的正方形，给出直线及格点，其中的顶点均在网格线的交点上． (1)画出格点关于直线对称的； (2)在上求作点，使的周长最小．（不写作法，保留作图痕迹） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$