第07讲 等腰三角形的性质与判定【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第07讲 等腰三角形的性质与判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握等腰三角形的概念； 2．掌握等腰三角形的性质； 3、掌握等腰三角形的判定定理； 一、等腰三角形的定义 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 二、等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 三、等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 教材习题01 求证：等腰三角形两底角的平分线相等 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 和 CE 是△ABC 的两条角平分线. 求证：BD＝CE. 解题方法 要证明 BD＝CE，只需证明△BCE≌△C（或△ABD≌△ACE）. 因为 BC 是△BCE 和△CBD 的公共边，所以只需证明∠ABC＝∠ACB，∠BCE＝∠CBD.这可由已知 AB＝AC，BD 和 CE 是△ABC 的两条角平分线得到. 【答案】 证明：∵ AB＝AC（已知）， ∴ ∠ABC＝∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）. ∵ BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线， ∴ ∠CBD＝ ∠ABC，∠BCE＝ ∠ACB（角平分线的定义）， ∴ ∠CBD＝∠BCE. 又 ∵ BC＝CB（公共边）， ∴ △BCE≌△CBD（ASA）. ∴ BD＝CE（全等三角形的对应边相等）. 考点一：等腰三角形的定义 例1．若等腰三角形的一边长，周长为，则该等腰三角形的腰长为（    ） A． B． C． D．或 变式1-1．如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（    ） A．5 B．8 C．9 D．16 变式1-2．下列说法正确的是（    ） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．等腰三角形一定是锐角三角形 C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D．等边三角形一定是等腰三角形 考点二：等腰三角形的三线合一 例2．如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 变式2-1．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．，交于点H． 若， 则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 考点三：等腰三角形的性质 例3．如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（    ） A． B． C．或 D．或或 变式3-1．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点N，M，且MN//BC，设AB=18，BC=24，AC=12，则△AMN的周长为（    ） A．18 B．30 C．36 D．42 变式3-2．如图，在边上，，，则的度数为（    ） A．50° B．55° C．60° D．65° 考点四：等腰三角形的判定 例4．已知中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断是等腰三角形的是(    ) A． B． C． D． 变式4-1．如下图，的三条高相交于点为角平分线，已知，则图中的等腰三角形共有（    ）． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 变式4-2．如图，在中，，若三等分，则图中的等腰三角形有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 考点五：等腰三角形的性质与判定综合 例5．如图，是内部一点，连结，，，有以下三个命题： ①若平分，，则； ②若，，则； ③若，，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 变式5-1．如图，等腰直角中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．②③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 变式5-2．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 1．如图，，点E在线段上，，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 2．已知的三边长分别为2、2、3，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，以为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交，于点E，F．若，，点P是直线上的一个动点，则周长的最小值为（    ） A．15 B．17 C．18 D．20 4．如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（    ）    A．10 B．9 C．6 D．5 6．如图，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①DC=BE②∠BDC=∠BEC③DC⊥BE④FA平分∠DFE，其中，正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，在中，，，是的两条中线，，，是上的一个动点，连接，，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（　　） ①；②，③若，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是的垂直平分线 10．如图，在中，，平分，平分，，则图中的等腰三角形的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．在中，， ， 则是（     ） A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 12．如图，已知，，，，和都是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为 ． 13．如图， 在中，平分的周长为11，那么的长是 ．    14．如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ． 15．若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是 度． 16．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：①；②；③；④是直角三角形．其中正确的是 （填写序号）． 17．如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分． (1)求证：； (2)若的面积是18，，求长． 18．如图，是等腰三角形，，用尺规作图法在上作一点D，使得将分成两个全等的三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 19．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 20．如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 21．如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 22．（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是 （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 等腰三角形的性质与判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握等腰三角形的概念； 2．掌握等腰三角形的性质； 3、掌握等腰三角形的判定定理； 一、等腰三角形的定义 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 二、等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 三、等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 教材习题01 求证：等腰三角形两底角的平分线相等 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 和 CE 是△ABC 的两条角平分线. 求证：BD＝CE. 解题方法 要证明 BD＝CE，只需证明△BCE≌△C（或△ABD≌△ACE）. 因为 BC 是△BCE 和△CBD 的公共边，所以只需证明∠ABC＝∠ACB，∠BCE＝∠CBD.这可由已知 AB＝AC，BD 和 CE 是△ABC 的两条角平分线得到. 【答案】 证明：∵ AB＝AC（已知）， ∴ ∠ABC＝∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）. ∵ BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线， ∴ ∠CBD＝ ∠ABC，∠BCE＝ ∠ACB（角平分线的定义）， ∴ ∠CBD＝∠BCE. 又 ∵ BC＝CB（公共边）， ∴ △BCE≌△CBD（ASA）. ∴ BD＝CE（全等三角形的对应边相等）. 考点一：等腰三角形的定义 例1．若等腰三角形的一边长，周长为，则该等腰三角形的腰长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要查了等腰三角形的定义．分两种情况：若等腰三角形的腰长为，若等腰三角形的底边长为，即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的腰长为，则底边长为， 此时，符合题意； 若等腰三角形的底边长为，则腰长为， 此时，符合题意； ∴该等腰三角形的腰长为或． 故选：D． 变式1-1．如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（    ） A．5 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题考查三角形边的性质，抓住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的规律即可求解． 根据三角形的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分别确定x的取值范围，再取交集，再由等腰三角形定义即可求解． 【详解】解：∵上面三角形的三边长分别为9，8，x， ∴， 即， ∵下面三角形的三边长分别为5，16，x， ∴， 即， ∴， ∵图中三角形有一个是等腰三角形， ∴x只能取16， 故选：D． 变式1-2．下列说法正确的是（    ） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．等腰三角形一定是锐角三角形 C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D．等边三角形一定是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形定义及分类，熟记等边三角形是等腰三角形，等腰三角形可以是锐角三角形、可以是直角三角形、也可以是钝角三角形即可判断得出答案，熟记等腰三角形定义与分类是解决问题的关键． 【详解】解：A、一个直角三角形可能是等腰三角形，选项说法错误，不符合题意； B、等腰三角形可以是锐角三角形、可以是直角三角形、也可以是钝角三角形，选项说法错误，不符合题意； C、一个钝角三角形可能是等腰三角形，选项说法错误，不符合题意； D、等边三角形一定是等腰三角形，说法正确，符合题意； 故选：D． 考点二：等腰三角形的三线合一 例2．如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，据此作答即可． 【详解】解：∵在中，，平分，， ∴， 故选：A． 变式2-1．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．，交于点H． 若， 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，依据三角形内角和定理，即可得到的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 变式2-2．如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 考点三：等腰三角形的性质 例3．如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】分点M在O点下方或点M在O点上方两种情况，分别根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：当点M在O点下方时， ∵， ∴当时， ∴， 解得， 当点M在点A上方时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 解得， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，一元一次方程，运用分类讨论思想是解题的关键． 变式3-1．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点N，M，且MN//BC，设AB=18，BC=24，AC=12，则△AMN的周长为（    ） A．18 B．30 C．36 D．42 【答案】B 【分析】根据“BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MNBC”证∠NOB=∠NBO，∠MOC=∠MCO，再根据等角对等边即可求出答案． 【详解】解：∵MNBC ∴∠NOB=∠OBC，∠MOC=∠OCB， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠NBO=∠OBC，∠MCO=∠OCB ∴∠NOB=∠NBO，∠MOC=∠MCO ∴NB=NO，MC=MO ∴△AMN的周长=AM+AN+MN =AM+AN+MO+NO=AN+NB+AM+MC=AB+AC=12+18=30 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，能够根据等角对等边求出NB=NO，MC=MO是解题的关键． 变式3-2．如图，在边上，，，则的度数为（    ） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】由全等可得，AB=AD，∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=EAC=50°，再根据等腰三角形性质求∠B即可． 【详解】解：∵， ∴AB=AD，∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE， ∠BAD=∠BAC-∠DAC， ∠EAC=∠DAE-∠DAC， ∠BAD=∠EAC=50°， ∵AB=AD， ∴∠B=， ∴∠ADE=∠B=65º， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是根据全等三角形得出等腰三角形和角的度数，依据等腰三角形的性质进行计算． 考点四：等腰三角形的判定 例4．已知中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断是等腰三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定；A选项，可证是的垂直平分线，可证是等腰三角形；B，由可证，可得，可证是等腰三角形；D,根据三角形的面积公式可得，即可证明是等腰三角形；C选项无法证明是等腰三角形，据此分析，即可求解． 【详解】解：如图所示，    解：A、，， 是的垂直平分线， ∴， 是等腰三角形， 故A不符合题意； B、，，， ， 是等腰三角形， 故B不符合题意； C、无法判断是等腰三角形，故C符合题意； D、 ，是边上的高， 是的垂直平分线， 是等腰三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 变式4-1．如下图，的三条高相交于点为角平分线，已知，则图中的等腰三角形共有（    ）． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质求角度，根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴，，， ∵，，，， ∴是等腰三角形， ∵，为角平分线， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，即共有8个等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线，三角形外角的性质．熟练掌握三角形内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线，三角形外角的性质是解题的关键． 变式4-2．如图，在中，，若三等分，则图中的等腰三角形有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和以及等腰三角形的判定，解答关键是利用三角形内角和求出相关角度，找出相等的角度． 根据已知条件，为等腰三角形，利用三角形内角和求出，再根据三等分，分别求出，分别得到为等腰三角形，再求出，可得为等腰三角形，再分别证明 ，为等腰三角形，则问题可解 ． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形，， ∵三等分， ∴， ∴， ∴, ∴为等腰三角形， 再由， 得， ∴为等腰三角形， ∵ ∴， ∴为等腰三角形， 同理为等腰三角形， 故图中有6个等腰三角形， 故选：C． 考点五：等腰三角形的性质与判定综合 例5．如图，是内部一点，连结，，，有以下三个命题： ①若平分，，则； ②若，，则； ③若，，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握等边对等角，等角对等边，全等三角形判定和性质是解题的关键．连接，延长交于点，作，运用三角形全等的判断和性质即可求解；运用等边对等角，等角对等边的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长交与点，作于点，作于点， ①若平分，， ∴，，且，是公共边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，且，是公共边， ∴；故①正确； ②若， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故②正确； ③若， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D ． 变式5-1．如图，等腰直角中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．②③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质、角平分线定义计算得出，，结合等腰三角形的性质可判断①②③；利用证明，判断④；利用证明，判断⑤；从而得到结论． 【详解】解：∵，是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确，③错误； ∵M为的中点， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． 综上所述，①②④⑤正确，共4个． 故选D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质的应用，主要考查学生的推理能力，能灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 变式5-2．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线段性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 1．如图，，点E在线段上，，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出，再由得出，由三角形内角和定理即可求出． 【详解】解： ，， ， ， ， 故选：B． 2．已知的三边长分别为2、2、3，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，依据等腰三角形的定义画出图形，即可判断． 【详解】解：设，， ∵， ∴有以下四种情况， ①以点B为圆心，以为半径画弧交于D，作直线，如图1所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ②以点C为圆心，以为半径画弧交于E，作直线，如图2所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ③作线段的垂直平分线交于点F，作直线，如图3所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ④作线段的垂直平分线交于点H，作直线，如图4所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形． 综上所述：这样的直线最多可以画4条， 故选：B． 3．如图，在中，，以为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交，于点E，F．若，，点P是直线上的一个动点，则周长的最小值为（    ） A．15 B．17 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短距离问题，等腰三角形的性质，根据点A与点C关于对称，即可得出，当点P与点E重合时，，此时△PBC的周长最小，根据含30度角的直角三角形的性质求出即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴周长的最小值为：， 故选：A． 4．如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，则，得到，；根据等角对等边，则，即可． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5．如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（    ）    A．10 B．9 C．6 D．5 【答案】D 【分析】分别计算和的面积，再根据等腰三角形的面积直接可求出的值． 【详解】解：连接，    由题可知：， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分割法求面积，再利用等面积转化是解决问本题的关键． 6．如图，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①DC=BE②∠BDC=∠BEC③DC⊥BE④FA平分∠DFE，其中，正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据，，，得，得，，判断；根据，不确定相等，得和不确定相等，加上，，可判断；根据，对顶角相等，三角形的内角和，可以判断；过点于点，于点，根据，可得，根据角平分线的逆定理，可以判断． 【详解】∵ ∴ ∴在和中 ∴ ∴，正确 ∵，不确定相等 ∴和不确定相等 ∵和是等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴和不确定相等，错误 ∵，， ∴ ∴ ∴，正确 过点于点，于点 ∵ ∴ ∴平分，正确 ∴正确 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，角平分线的逆定理． 7．如图，在中，，，是的两条中线，，，是上的一个动点，连接，，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由 PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度． 【详解】解：如下图，连接PB， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴PB=PC， ∴PC+PE=PB+PE， ∵PE+PB≥BE， ∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度， ∵BE=6， ∴CP+EP的最小值是6， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形两边之和大于第三边，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 8．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（　　） ①；②，③若，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据得，得到，结合，可判断①；根据得,无法确定，可判定②错误；根据，得，过点，垂足分别为G，H，结合平分得；结合,得到；结合,得到；继而得到，利用等腰三角形的三线合一性质，可判定③正确； 作平分交于点G，结合，得到，证明 得到，结合，等量代换可得 ，可判定④正确． 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， 故①正确； 若， ∴,无法确定， 故②错误； ∵　， ∴， 过点，垂足分别为G，H， ∵平分， ∴； ∴, ∴； ∴, ∴； ∴， ∴， 故③正确； 作平分交于点G，∵， ∴， ∵ ∴，∴， ∵， ∴， ∴④正确． 故选C． 9．如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是的垂直平分线 【答案】D 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．根据作图方法可得，进而可得是等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，． 【详解】解：，则 ，则 ，故A结论正确； 根据作图方法可得， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，故C结论正确；D结论错误； ， ，故B结论正确； 故选：D． 10．如图，在中，，平分，平分，，则图中的等腰三角形的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查平行线性质，角平分线性质，等腰三角形判定，进行角的等量代换是正确解答本题的关键．根据等腰三角形的判定，结合平行线性质，角平分线性质，可确定，，，，是等腰三角形，即可解题． 【详解】解： ， ，即为等腰三角形； 平分， ， ， ，， ，为等腰三角形； 为等腰三角形； 平分， ， 同理可证，为等腰三角形； ， ， 为等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形的个数是5个， 故选：D． 11．在中，， ， 则是（     ） A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，三角形的三个内角的和等于；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 根据三角形内角和定理求出和的度数，判断的形状即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 12．如图，已知，，，，和都是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，延长交于，过作于，过作于，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：过作于， ， ，， ， 延长交于， 过作于，过作于， ， ， ， ， ， ， 同理，， ， ， ，， ， 图中阴影部分的面积的面积， 故答案为：12． 13．如图， 在中，平分的周长为11，那么的长是 ．    【答案】7 【分析】本题考查平行直线的性质和等腰三角形的性质，先根据角平分线和平行直线的性质证明，从而到，再根据的周长进行换算，即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长等于11， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 14．如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ． 【答案】/84度 【分析】由等边三角形的性质得，由邻补角得，再由翻折的性质得：，，从而，，再利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质得：，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，邻补角性质，折叠的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 15．若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是 度． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是分类讨论． 已知等腰三角形的一个外角是，则等腰三角形的一个内角是，但题中没有说明这个角是顶角还是底角，所以分两种情况进行讨论． 【详解】等腰三角形的一个外角是， 等腰三角形的一个内角是， 当为顶角时，其他两个角都是底角且等于， 当为底角时，其他两个角为、， 等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 16．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：①；②；③；④是直角三角形．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，，， ，则根据“SAS”证明，对①进行判断； 利用三角形外角性质得到,可对②进行判断； 利用和三角形三边关系可对③进行判断； 根据得到，可对④进行判断． 【详解】 与都是等腰直角三角形， ，，，． ， ． 在与中， ，故①正确； ， ． ， ，故②正确； ，， ，故③错误； ， ． ， ，故④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查全等三角形的判定与等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法与“全等三角形的旋转模型”是本题的解题关键． 17．如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分． (1)求证：； (2)若的面积是18，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质，平行线的性质，可判断是等腰三角形，再根据等腰三角形的“三线合一”可得是中线，由“”可证； （2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据中线的性质可得，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：平分 ， ， ． 是角平分线， ． 在和中， ， ． （2）解：过点作于点， ， ， 平分， ， ， ， 即， ． 18．如图，是等腰三角形，，用尺规作图法在上作一点D，使得将分成两个全等的三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法，三角形全等的判定，等腰三角形的性质，①分别以点B､C为圆心，大于长为半径画弧，交于E､F两点；②连接并延长，交于点D，则． 【详解】解：如图所示，点D为所求， ， ． 19．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形． 【详解】解：等腰直角如图所示： 20．如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质等知识，过作垂直于于点，由，利用三线合一得到为中点，同理得到为中点，利用等式的性质变换后可得证，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 【详解】过点作，垂足为点， ，， ， ∵，， ∴， ， ． 21．如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】（1）由，平分，可得，即，根据，求解即可； （2）由平分，可得，则，，由，，可得，进而结论得证． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理，平行线的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理，平行线的判定与性质是解题的关键． 22．（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是 （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【答案】（1）5；；20；（2）2；，周长为18；（3） 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （3）由（2）知，，然后利用等量代换即可证明、、有怎样的数量关系． 【详解】解：（1）． 理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ∵， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有，，，，共5个， ， 即， 的周长． 故答案为：5；；20； （2）， 平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， 等腰三角形有，， ，即． 可得的周长为18． （3）， 由（1）知， ， ， ， 又， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$