专题：异面直线所成角课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课前准备： 练透、笔记本、草稿纸、笔 不甘平庸又不思进取，清醒的堕落最为可怕 1 专题：异面直线所成角 1、空间中两直线的位置关系？ 2、如何刻画异面直线的位置关系？ 3、具体怎么做？用到了怎样的数学思想？ 4、异面直线所成角的范围？ ①作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），常用平移法作出异面直线所成的角(或其补角)； ②证：证明①中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角； （注：证明线线平行） ③求：通过解三角形或其他方法，求出①中所构造的角的大小； （注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面 直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）． 3. 求异面直线所成的角的一般步骤 找！ 求！ 4 例3 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值. 法一（平移法）： ∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 . A B C D A1 B1 C1 D1 O M 1 2 2 如图①，连接AC，BD，相交于点O， 取DD1的中点M，连接OM，AM， ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体， ∴AA1 BB1 CC1. ∴四边形AA1C1C是平行四边形. ∴A1C1∥AC ∴O是AC的中点. ∴∠AOM(或其补角)是异面直线A1C1与BD1所成角 ∵ABCD-A′B′C′D′是正方体，AB=AA1=2 cm， AD=1cm， ∴OM∥BD1，OM= BD1 在△AOM中，易求AO= cm，OM= cm， AM= cm， 5 解法二（补形法）： A B C D A1 B1 C1 D1 E F E1 F1 如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体BEFC-B1E1F1C1，连接C1E，A1E， ∴C1E∥BD1. ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体， ∴C1D1 A1B1 BE. ∴四边形BEC1D1是平行四边形. ∴∠A1C1E(或其补角)是异面直线A1C1与BD1所成角 在△A1C1E中，易求A1C1= cm，C1E= 3cm，A1E= cm， 由余弦定理得 ∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 . 6 在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是？ 找到角之后一定要画平面图 90° 7 异面直线所成角的方法： 借助中位线、平行四边形 找平移直线 平移法： ①直接平移法(可利用图中已有的平行线)； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 8 8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝_____. 5 11.如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 2/3 11 如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的？ 15°或75° 12 12.当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是 √ 16.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝ ，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长. geogebra_thumbnail.png geogebra_javascript.js function ggbOnInit() {} geogebra_defaults2d.xml geogebra_defaults3d.xml geogebra.xml 如图，在正四面体中，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 . A. B. C. D. 2 如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1．若AA1＝3，OA＝2，∠AOP＝120°，在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为？ 第2页 共2页 $$