8.6.3 平面与平面垂直课件（2）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课前准备： 练透、笔记本、草稿纸、笔 不甘平庸又不思进取，清醒的堕落最为可怕 1 8.6.3 平面与平面垂直（2） 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直. 4. 平面与平面垂直的判定定理 线面垂直面面垂直 图形语言： 符号语言： β a A α 3 1.下列命题正确的是 A.若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β B.若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面β C.若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β D.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α √ 2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是 A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β C.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β √ ∵m∥α，m∥n，∴n∥α或n⊂α， 又n⊥β，∴α⊥β. 【练习】(1)在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC ⊥CD，你能在图中发现哪些平面互相垂直，为什么？ 由AB⊥平面BCD可知： 平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD． 易证：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC． 教科书第158页的例8以及练习的第3题中出现的四面体在中国古代被称为“鳖臑”，即四个面都是直角三角形的三棱锥．“鳖臑”是用来展示空间垂直关系的经典素材，值得我们关注． 6 四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”； 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”； 底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”． 堑堵 阳马 鳖臑 两个堑堵组成一个长方体 一个阳马和一个鳖臑组成一个堑堵 两个鳖臑组成一个阳马 7 问题4 如图，已知平面α⊥平面β， α∩β=a，则β内异于a的直线b与a是什么位置关系？相应地，b与α是什么位置关系？ 因为b与a在同一平面内，故可能平行，也可能相交 b//a → b//α b与a相交 → b与α相交 问题5 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直? 8 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言： 5. 平面与平面垂直的性质定理 面面垂直线面垂直 图形语言： 9 例3　如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB ⊥平面PBC． 求证：BC⊥平面PAB． P A B C 证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E． ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC＝PB， ∴AE⊥平面PBC． ∵BC 平面PBC，∴AE⊥BC． 又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴PA⊥BC． 又PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAB． 10 4.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝_____. ∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC， ∠PAC＝90°， ∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB， 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 判定 性质 判定 定义 12 例1　如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值. 13 如图，取CD的中点M，连接AM，BM， 则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角. 设点H是△BCD的中心，连接AH， 则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上. 14 11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于 √ 如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角， 跟踪训练1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小. 17 由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角. 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°. 18 ∴PB＝＝＝. 则cos∠AMB＝＝＝， 即所求二面角的平面角的余弦值为. 在Rt△AMH中，AM＝×2＝，HM＝×2×＝， A. B. C. D. 设A1A＝a，则AO＝a， 所以tan∠A1OA＝＝. $$