8.4.2空间点、直线、平面的位置关系课件（1）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课前准备： 练透、笔记本、草稿纸、笔 不甘平庸又不思进取，清醒的堕落最为可怕 1 8.4.1空间点、直线、平面的 位置关系 几何里所说的“平面(plane)”就是从这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的.所以平面无厚薄，大小之分. 1. 平面的描述与特征 无限延展性 平展性 平面的特征 不计厚薄 判断： 1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( ) 2、平面有边界； ( ) 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ) 4、菱形的面积是 4 cm 2； ( ) 5、一个平面可以把空间分成两部分. ( ) × √ × × √ 3 2. 平面的画法 问题1 类比点和直线，我们可以怎样表示平面呢？ ①水平放置的平面 ②垂直放置的平面 图形语言： β 与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面． 4 3. 平面的表示 　　也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母表示.平面α可以表示为平面ABCD，平面AC或平面BD 我们常用希腊文字α、β、γ等表示平面．如平面α，平面β等，并将它们写在代表平面的平行四边形的一个角内； 符号语言： 5 问题2 两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢？ 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 存在性 唯一性 问题3 如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？ 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 作用：确定平面；判定两平面是否重合；证明点线共面. 作用：判断直线是否在平面内；判断点是否在平面内. 推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 6 问题4 把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 两相交平面的画法 7 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 符号表示： A∉直线BC, 过点A、B、C有且只有一个平面α. 作用：①确定平面； ②判定两平面是否重合； ③证明点线共面. 平面的基本性质 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. α A • B • l 符号表示： 作用：①判断直线是否在平面内；②判断点是否在平面内. ⇒l⊂α A∈l，B∈l A∈α，B∈α 8 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. α a A α α b a b a P 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 作用：确定一个平面． 用两根绳子可说明桌子的四条腿的底端在一个平面内. 9 符号表示： 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 作用：①判断两个平面相交的依据； ②判断点在直线上． α l P β 思考：不共面的四点可以确定几个平面． A C B P 4个 10 例1　 (1)用符号表示下列语句，并画出图形：平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B. 用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图1. 图1 11 (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上. 用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图2. 图2 12 M 13 P 14 证明三点共线的方法 证明三线共点的步骤 证明：∵D1F∩CE＝M， 且D1F⊂平面A1D1DA， ∴M∈平面A1D1DA. 同理M∈平面BCDA， 从而M在两个平面的交线上， ∵平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD， ∴M∈AD成立． ∴点D，A，M三点共线． 例2 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的点．且D1F∩CE=M，求证：点D，A，M三点共线． 证明：连接EF，D1C，A1B， ∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EFeq \o(\s\do5(══),\s\up5(∥))eq \f(1,2)A1B. 又∵A1Beq \o(\s\do5(══),\s\up5(∥))D1C，∴EFeq \o(\s\do5(══),\s\up5(∥))eq \f(1,2)D1C，∴E，F，D1，C四点共面． 设D1F∩CE＝P，D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD， ∴点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点． 又∵平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，∴P∈DA， 即CE，D1F，DA三线交于一点． 变：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点． $$