10.1.4概率的基本性质课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章 概 率 10.1 随机事件与概率 10.1.4 概率的基本性质 一 二 三 学习目标 通过实例，理解概率的性质 掌握随机事件的运算法则 能利用概率的性质与运算法则求随机事件的概率 学习目标 复习回顾 1.互斥事件与对立事件如是何定义的？ 2.古典概型的特征是什么？ (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 3.古典概型的概率计算公式 互斥 对立 A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生 A∩B= A∩B=,A∪B=Ω 新课导入 一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质. 例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用. 类似地，在给出了概念的定义后，我们来研究概率的基本性质. ？ 概率取值范围？ 特殊事件发生的概率？ 具有特殊关系的事件，它们的概率之间的关系？ 问题1 你认为可以从哪些角度研究概率的性质? 新知讲解 由概率的定义可知： 任何事件的概率都是非负的; 在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生. 一般地，可得概率有如下性质： 概率的性质： 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0， 即P(Ω)=1，P()=0. 新知探究 问题2 设事件A与事件B互斥,和事件A∪B的概率与事件A、B的概率之间具有怎样的关系? 我们用10.1.2节例6来探究. 例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球. R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”. 则事件R和G的关系是 ， 互斥 事件R∪G=“ ” 两次摸到球颜色相同 n(Ω)=12 n(R)=2 n(G)=2 n(R∪G)=2+2=4 所以P(R)+P(G)= = P(R∪G) 概念生成 事实上，若事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，则n(A∪B)=n(A)+n(B)，这就等价于P(A∪B)=P(A)+ P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和. 所以我们就得到互斥事件的概率加法公式. 即 性质3 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 推论: 若事件A1,A2,…,Am两两互斥, 则P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 新知探究 问题3 设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系? 事件A与事件B互为对立事件 事件A∪B为必然事件 P(A∪B)=1 事件A与事件B为互斥事件 P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A)+P(B)=1 性质4 若事件A与事件B互为对立事件，则P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 即P(A)+P(B)=1. 如：从10名同学(6男4女)中选3人呢，则P(至少有1男)=______________ 1－P(3女) 1男2女 2男1女 3男0女 0男3女 （正难则反） 新知探究 问题4 在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么P(A)与P(B)有什么关系？ 如：掷一枚质地均匀的骰子,事件A=“点数为1”,事件B=“点数为奇数”则P(A)_____P(B). ≤ ∵A⊆B，∴n(A)≤n(B)， 即P(A)≤P(B). 性质5 (概率的单调性)若A⊆B，则P(A)≤P(B). ∵⊆A⊆Ω， ∴P()≤P(A)≤P(Ω)， 即0≤P(A)≤1. 推论 任何事件的概率在0~1之间： 0≤P (A)≤1 (概率的取值范围) 新知探究 问题5 在10.1.2节例6的摸球试验中，R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+ P(R2)相等吗? 如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2). n(Ω)=12 n(R1)=6 P(R1) n(R2)=6 P(R2) n(R1∪R2)=10 P(R1∪R2) n(R1∩R2)=2 P(R1∩R2) n(R1∪R2)=n(R1)+n(R2)－n(R1∩R2) P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2) 性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). 追问 性质6和性质3是什么关系呢？ 新知小结 性 质 1 性 质 2 性 质 3 性 质 4 性 质 5 性 质 6 由上述我们得到概率的6大性质如下，可以简化概率的计算. 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P()=0. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 若事件A与事件B互为对立事件，则P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). (概率的单调性)若A⊆B，则P(A)≤P(B). 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). 典例解析 例2 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”, 事件B=“抽到方片”, P(A)=P(B)= , 那么 (1)C=“抽到红花色”，求P(C)； (2)D=“抽到黑花色”，求P(D). 解：（1）因为C=A∪B ， 且A与B不会同时发生， 由互斥事件的概率加法公式，得： ． 所以A与B是互斥事件． 所以C 与D互为对立事件． （2）C∩D= ， 由（1）知 ， 所以 ． C∪D=Ω 典例解析 例2为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽出2罐,能够中奖的概率为多少？ 中奖 第一罐中奖但第二罐不中奖 第一罐不中奖但第二罐中奖 两罐都中奖 事件A 事件A1A2 样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30 中奖 不中奖 第一罐 2 4 第二罐 中奖 不中奖 1 4 中奖 不中奖 2 3 可能结果数 2×1=2 2×4=8 4×2=8 4×3=12 事件A1A2 ¯ 事件A1A2 ¯ 事件A1A2，A1A2，A1A2两两互斥， 且A=A1A2∪A1A2∪A1A2 ¯ ¯ ¯ ¯ P(A)=P(A1A2)+P(A1A2)+P(A1A2) ¯ ¯ n(A1A2)=2，n(A1A2)=8，n(A1A2)=8 ¯ ¯ 设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖” 事件A2=“第二罐中奖” 例2为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽出2罐,能够中奖的概率为多少？ 典例解析 追问 还有另外方法求解此题吗？ 解法2： 事件A的对立事件A=“不中奖” ¯ 即“两罐都不中奖” 由于A1A2 =“两罐都不中奖” ¯ ¯ 而n(A1A2 )=4×3=12 ¯ ¯ 所以P(A)= 1-P(A1A2 )= ¯ ¯ 反思 此解法说明什么？ 正难则反 设不中奖的4罐记为1, 2, 3, 4, 中奖的2罐记为a, b，随机抽2罐中有一罐中奖，就表示能中奖，其样本空间为： (1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, a)，(1, b)， (2, 3)，(2, 4)，(2, a)，(2, b)， (3, 4)，(3, a)，(3, b)， (4, a)，(4, b)， (a, b). 共15个样本点. 而中奖的样本点有9个，所以 例2为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽出2罐,能够中奖的概率为多少？ 典例解析 追问 还有另外方法求解此题吗？ 解法3： 能中奖的概率为 上述解法没有考虑顺序，其结果是一样的. 巩固练习 课本P245 1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3. (1) 如果B⊆A，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=______ ; (2) 如果A, B互斥，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=_____. 0.5 0.3 0.8 0 2.指出下列表述中的错误: (1) 某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5; (2) 如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1. 解：(1) 因为明天下雨与明天不下雨是对立事件, 且明天下雨的概率为0.4, 所以明天不下雨的概率为0.6. (2) 因为事件A与事件B互斥，但不一定不对立，所以不一定有P(A)+P(B)=1. 巩固练习 3. 在学校运动会开幕式上，100 名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别 (M (男)、F (女) )及年级(G1 (高一)、G2(高二)、G3(高三))分类统计的人数如下表: 若从这100名学生中随机选一名学生， 求下列概率: P(M) =______， P(F) =______，P(M∪F) =______， P(MF) =______， P(G1) = ______，P(M∪G2) =_______， P(FG3) =______. G1 G2 G3 M 18 20 14 F 17 24 7 0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 课本P245 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 性 质 1 性 质 2 性 质 3 性 质 4 性 质 5 性 质 6 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P()=0. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 若事件A与事件B互为对立事件，则P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). (概率的单调性)若A⊆B，则P(A)≤P(B). 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). 巩固练习 P246-9.一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品，1支三等品， 若从中任取2支，求下列事件的概率： (1)A=“恰有1支一等品”； (2)B=“2支都是一等品”； (3)C=“没有三等品”. 依次选取2支 同时选取2支 P247-11.某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，第二次才能打开门的概率是_______； 若试过的钥匙不扔掉，第二次才能打开门的概率是_______. 巩固练习 P246-8.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率. P248-16.将从1~20这20个整数中随机选择一个数， 设事件A=“选到的数能被2整除”，事件B=“选到的数能被3整除”， 求下列事件的概率： (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除. $$