精品解析：浙江省环大罗山联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023学年第二学期温州环大罗山联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. “”是“关于的不等式成立”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若数据，，，的方差为，则，，的方差为（ ） A. B. C. D. 5. 为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校要安排2名大学生，则不同的安排方法种数为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 6. 已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③ A. 这次考试成绩超过100分的约有1000人 B. 这次考试分数低于70分的约有40人 C. D. 从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 7. 函数，若，，，则（ ） A B. C. D. 8. 设定义在上的函数满足，为奇函数，当时，，若，则（ ） A 1011 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出： 其中，和分别是和的第i个样本值，和分别是和的样本均值．下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（ ） A. 分母中的和是和的标准差. B. 分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关. C. 样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强. D. 通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较. 10. 已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在上是增函数 11. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中的系数为80，则________． 13. 已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______. 14. 已知实数为函数的零点，为函数的零点，则________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若方程的两个不相等的实根为，，求的取值范围． 16. 李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，． （1）若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率； （2）若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望； （3）按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好． 17. 生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述： ●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数． ●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值 ●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即． 已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为 （1）求参数，和的值以及函数的解析式； （2）求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长． 18. 已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）若，判断在的单调性，并用定义法给出证明； （3）若在区间上恒成立，求的取值范围． 19. 假设通过简单随机抽样得到和抽样数据列联表， 合计 合计 课本中给出统计量计算公式如下： 此处我们把列联表中的，，，称为观察频数，记作，（例如，）， 把，，，称为期望频数，记作， 即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如，）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：（Σ表示对后面的代数式求和） 根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示： 教学方法\成绩级别 低 中 高 总计 传统方法 20 30 50 100 在线学习 35 45 20 100 互动式学习 25 15 60 100 总计 80 90 130 300 （1）已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的、、，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率． （2）（i）求，； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异． 参考数据： 0100 0.050 0.025 0.010 0.005 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期温州环大罗山联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则=（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，全集，则，， 得，所以. 故选：B 2. “”是“关于的不等式成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到解集，由为或的真子集，得到结论. 【详解】， 解得或， 由于为或的真子集， 故“”是“关于的不等式成立”的充分不必要条件. 故选：A 3. 幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解. 【详解】因为幂函数，在区间上是减函数， 所以，解得：， 因为，得， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 所以. 故选：A 4. 若数据，，，的方差为，则，，的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差性质，即可求解. 【详解】由方差公式的性质可知，新数据，，的方差为. 故选：C 5. 为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校要安排2名大学生，则不同的安排方法种数为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】首先安排甲校，再按照不平均分组分配安排其他3人，根据分步计数原理，即可求解. 【详解】甲校安排2名大学生有种方法， 剩下的3名大学生安排到其余2所学校，有种方法， 所以不同的安排方法有种方法. 故选：B 6. 已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③ A. 这次考试成绩超过100分的约有1000人 B. 这次考试分数低于70分的约有40人 C. D. 从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质即可得到A、B、C选项，用二项分布能够解决D. 【详解】由公式得到，所以超过100分的占，所以有人，所以A错； 低于分的概率为，所以大约有人，故B错； ，故C错； 分数超过100分的概率为，至少有2人的分数超过100分的概率为，符合题意，故D对. 故选：D. 7. 函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析出为偶函数，且在上单调递减，比较出，得到答案. 【详解】的定义域为， 其中 ， 故为偶函数， 当时，，故，由复合函数单调性可知， 在上单调递减， 其中，故，， 故，所以， 故 故选：D 8. 设定义在上的函数满足，为奇函数，当时，，若，则（ ） A. 1011 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数，可得，即可得到且关于对称，再求出，即可求出在上的解析式，由推出是以为周期的周期函数，最后由周期性与对称性计算可得. 【详解】因为为奇函数，所以，则， 即关于对称，同时， 又由，令，可得，则有， 当时，，则有，解得， 故时，， 由，即，则有， 故，则是周期为的周期函数， 因为， 则， 由于，则，， 故， 故． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出函数的对称性，周期性，再由周期性求出函数值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出： 其中，和分别是和的第i个样本值，和分别是和的样本均值．下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（ ） A. 分母中的和是和的标准差. B. 分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关. C. 样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强. D. 通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据标准差定义，判断A，根据相关系数的定义和性质，判断BCD. 【详解】A.和是和的标准差，故A错误； B.由相关系数的定义，可知B正确； C.样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越弱，故C错误； D.根据相关系数的演化过程，可知D正确. 故选：BD 10. 已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在上是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A；举反例可判断BD，根据奇函数的定义可判断C. 【详解】对于A，令，可得，所以，故A正确； 对于B，当时，显然符合题设条件，此时，不一定有， 故B错误. 对于C，令，，所以， 令，时可得，所以为奇函数， 故C正确； 对于D，当时，显然符合题设条件，此时在上不具备单调性，故D错误. 故选：AC. 11. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据和事件的概率公式和条件概率公式逐个分析求解即可 【详解】对于A，因为，， 所以，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中的系数为80，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由二项式定理得到通项公式，得到方程，求出. 【详解】展开式通项公式， 令，解得，故，解得. 故答案为：2 13. 已知正数x，y满足且有解，则实数m取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可. 【详解】由已知得：， ， 当且仅当时取等号； 由题意：， 即， 解得：或， 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 14. 已知实数为函数的零点，为函数的零点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将函数零点代入方程，得和，转化为函数和与函数的交点问题，利用函数的对称性，即可求解. 【详解】由题意可知，，即，则， ，则， 函数和互为反函数，关于对称， 设与的交点为，的交点为, 点关于对称，所以，则. 故答案： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断和互为反函数. 四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）若不等式解集为，求，的值； （2）当时，若方程的两个不相等的实根为，，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，即可求解； （2）首先根据，求的取值范围，再根据韦达定理表示，转化为关于的函数，利用换元法，并结合函数的单调性求取值范围. 【小问1详解】 原不等式可化为，因为该不等式的解集为， 可知的两根为和3， 则，解得；所以，． 【小问2详解】 方程有两根， ，解得或， 又，． 由韦达定理：， 所以 令，，， ，当时，， 在上单调递增，所以 . 16. 李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，． （1）若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率； （2）若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望； （3）按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立重复事件概率公式，即可求解； （2）首先确定，再根据独立事件概率公式，求分布列以及数学期望； （3）如走线路，则遇到红灯的次数，比例两条线路遇到红灯次数的期望，即可分析并判断. 【小问1详解】 设“走路线最多遇到1次红灯”为事件， 则，所以走路线最多遇到次红灯的概率为． 【小问2详解】 依题意，知的所有可能取值为0，1，2． ，，， 故随机变量的分布列为 0 1 2 所以． 【小问3详解】 设选择路线遇到红灯的次数为，则，所以． 若，则，，选择路线上班更好； 若，则，，此时选择路线上班更好； 若，则，此时选择路线和路线一样． 17. 生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述： ●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数． ●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值 ●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即． 已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为 （1）求参数，和的值以及函数的解析式； （2）求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长． 【答案】（1），，， （2）10个小时 【解析】 【分析】（1）根据求出，再根据和分别求出，即可得出函数解析式； （2）分和两种情况解不等式即可. 【小问1详解】 根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量，， 在早晨，荷尔蒙分泌量满足关系式：， 当时，分泌量达到峰值即，即， 解得：， 因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为， 在下午和晚上时段，荷尔蒙分泌量满足：， 所以，解得， 所以荷尔蒙分泌量为， 综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为； 【小问2详解】 ①当时，， 解得，所以， ②当时，， ，， ，， 综上所述， 该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于的时长为10个小时. 18. 已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）若，判断在的单调性，并用定义法给出证明； （3）若在区间上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得到方程，求出； （2）先得到，定义法判断函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论； （3）参变分离得到，构造，换元后得到，根据单调性求出其最值，得到结论. 【小问1详解】 定义域为R， ， 由于函数为偶函数，所以， 即，即， 即恒成立， ． 【小问2详解】 已知函数，由于函数在上单调递增， 由第（1）问可得，因此 不妨设，，且 则 因为，因此，由因为，，因此， 所以，故，所以函数在单调递增． 【小问3详解】 由题得在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 因为，所以，所以在区间上恒成立， 令，令， 则， 因为在单调递增， 所以函数在上单调递减，故． ． 对任意的恒成立，且， ． 实数的取值范围是． 19. 假设通过简单随机抽样得到和的抽样数据列联表， 合计 合计 课本中给出统计量计算公式如下： 此处我们把列联表中的，，，称为观察频数，记作，（例如，）， 把，，，称为期望频数，记作， 即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如，）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：（Σ表示对后面的代数式求和） 根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示： 教学方法\成绩级别 低 中 高 总计 传统方法 20 30 50 100 在线学习 35 45 20 100 互动式学习 25 15 60 100 总计 80 90 130 300 （1）已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的、、，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率． （2）（i）求，； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异． 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 【答案】（1） （2）（i）,（ii）存在显著差异 【解析】 【分析】（1）由条件中概率，代入全概率公式，即可求解； （2）（ⅰ）根据和公式，即可条件中的数据，即可求解； （ⅱ）根据公式，分别计算和，再代入求和，并和临界值比较大小，即可判断. 【小问1详解】 记“传统式学习方法中成绩级别为低的同学概率”为事件A， “传统式学习方法中成绩级别为中的同学概率”为事件B， “传统式学习方法中成绩级别为高的同学概率”为事件C， “传统式学习方法中参加数学兴趣小组同学的概率”为事件D． 则， ，． 【小问2详解】 （i）， ； （ii）．， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ，，； 所以这三种教学方法对学生数学成绩影响存在显著差异． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$