2.1 直线的倾斜角与斜率（七大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

表示2.1 直线的倾斜角与斜率 知识点1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点2 直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 知识点3 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 知识点4 两条直线平行 如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有． 知识点5 两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 题型一 斜率的定义 1．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（    ） A．3或 B．3 C．或 D． 4．已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（    ） A．0 B． C． D． 6．若直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 7．一束光线射到轴上并经轴反射.已知入射光线的倾斜角，则反射光线的斜率为 . 题型二 斜率与倾斜角的变化关系 8．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 9．“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 12．已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 13．若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 14．（多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（      ） A． B． C． D． 题型三 两点斜率公式 15．经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 16．（多选）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 17．过点和点的直线的倾斜角为，则的值是 . 18．若三点，，共线，则 . 19．已知两点，所在直线的斜率为，则 . 20．过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 21．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 22．已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 题型四 直线与线段相交求范围 23．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 24．已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 25．已知△ABC的顶点，点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存在，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 26．（多选）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 27．已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 28．已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 题型五 两条直线的平行问题 29．已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ． 30．过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 31．已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件 32．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 33．已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（　　） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 34．已知经过，经过，，求证：． 35．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 题型六 两条直线的垂直问题 36．已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 37．（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 38．（多选）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 39．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 40．在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 41．若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为 ． 42．已知，，，，试判断直线与的位置关系. 43．已知定点，以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标． 题型七 直线平行垂直与几何 44．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 45．已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 46．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 47．如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    48．已知的三个顶点分别是，，，试判断的形状． 49．已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 表示2.1 直线的倾斜角与斜率 知识点1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点2 直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 知识点3 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 知识点4 两条直线平行 如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有． 知识点5 两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 题型一 斜率的定义 1．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故选：A 2．若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，则 因为，所以， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 3．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（    ） A．3或 B．3 C．或 D． 【答案】B 【详解】设的倾斜角为，由， 即，解得或， 因为，所以，所以， 易得的倾斜角为锐角，所以的斜率为3． 故选:B. 4．已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线的方向向量可知直线的斜率，所以. 故选：D. 5．若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨把三角形的一个顶点放在原点，如图所示， 因为直线OA的倾斜角为，， 所以直线OB的倾斜角为或，即或， 因为，所以当时，； 当时，. 所以． 故选：B 6．若直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由直线斜率和倾斜角关系知：，即，解得， 所以直线倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 7．一束光线射到轴上并经轴反射.已知入射光线的倾斜角，则反射光线的斜率为 . 【答案】 【详解】因为入射光线的倾斜角，所以反射光线的倾斜角为， 故反射光线的斜率为， 故答案为： 题型二 斜率与倾斜角的变化关系 8．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 9．“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若直线的斜率不小于，则该直线的倾斜角为锐角或， ∴“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的充分不必要条件. 故选：A. 10．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 11．如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 12．已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为斜率，且，其中时直线无斜率， 当时，得； 当时，得； 故选：C. 13．若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】作出正切函数在的图象如下图，    如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 14．（多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为正切函数在上为增函数，在上也为增函数， 分以下四种情况讨论： 当时，则、、均为锐角，且； 当时，则为钝角，、均为锐角，且； 当时，则、均为钝角，为锐角，且； 当时，则、、均为钝角，且. 故选：ABD. 题型三 两点斜率公式 15．经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设经过点和的直线的的斜率为，倾斜角为， 由两点斜率公式可得， 所以，又， 所以. 所以经过点和的直线的倾斜角为. 故选：D. 16．（多选）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率， ，又， 直线的倾斜角的取值范围是. 故选：AD. 17．过点和点的直线的倾斜角为，则的值是 . 【答案】 【详解】解：，， ，则， 解得． 故答案为：． 18．若三点，，共线，则 . 【答案】 【详解】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 故答案为：. 19．已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【详解】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 20．过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【答案】（满足的一个值即可） 【详解】 因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 21．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【答案】或 【详解】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得， . 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或. 22．已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 题型四 直线与线段相交求范围 23．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 24．已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 25．已知△ABC的顶点，点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存在，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，故或． 故选：A． 26．（多选）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【详解】由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点， 则， 又， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：ABC. 27．已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【详解】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 28．已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 题型五 两条直线的平行问题 29．已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 故答案为： 30．过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【答案】B 【详解】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行. 故选：B 31．已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件 【答案】C 【详解】不重合的两直线与对应的斜率分别为与， 当时，可得，当时，可得， 故“”是“”的充分必要条件， 故选：C． 32．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，则点，所在直线的斜率为， 由题意知，过点，的直线与直线平行， 所以，整理得：. 故选：B 33．已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（　　） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【答案】C 【详解】由题意得， 因为，所以，即， 化简得， 所以或， 又由得＝－1或2， 故选:C. 34．已知经过，经过，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 又，, 即不共线，即不重合， 因为，∴. 35．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行或重合 (3)平行 (4)重合 【详解】（1），，，所以与不平行． （2） 的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4） 由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 题型六 两条直线的垂直问题 36．已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 37．（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 38．（多选）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 【答案】BC 【详解】对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误. 故选：BC. 39．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 40．在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【详解】由已知， 当时， 所以，解得， 当时， ，解得， 经验证：当时，不重合. 故答案为：；. 41．若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为 ． 【答案】 【详解】依题意，直线的斜率存在且为，由直线l经过点和， 得直线的斜率，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 42．已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【答案】. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. 43．已知定点，以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标． 【答案】或 【详解】以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则， 当AC或BC的斜率不存在时，不满足， 设，则，，∴， 去分母解得或2， ∴C的坐标为或. 题型七 直线平行垂直与几何 44．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 45．已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 【答案】直角梯形；证明见解析． 【详解】 由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； 46．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 【答案】四边形OPQR为矩形，理由见解析. 【详解】由斜率公式得， , 所以，， 从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又,所以， 故四边形OPQR为矩形. 47．如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    【答案】证明见解析 【详解】证明：由条件可知，，． 因为，所以，即是直角三角形． 48．已知的三个顶点分别是，，，试判断的形状． 【答案】直角三角形 【详解】由点，，，可得，， 则，所以，所以为直角三角形. 49．已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以，即. （2）因为，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以四边形为矩形. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$