精品解析：上海市嘉定区上海师范大学附属嘉定高级中学2023学年高二下学期期中考试数学试卷

上师嘉高2023学年第二学期高二年级数学学科期中试卷 满分: 150分 考试时间: 120分钟 一、填空题【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果】 1. 等比数列中，已知，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：2. 2. 已知事件与互斥，且，则________. 【答案】0.75## 【解析】 【分析】根据条件概率公式即得. 【详解】由事件与互斥，知， 所以0.75. 故答案为：0.75. 3. 满足方程 的x的值为______． 【答案】3或6 【解析】 【分析】根据组合数性质列方程，解方程即可. 【详解】依题意，得或， 解得或，经检验知和符合题意． 故答案为：3或6. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以. 故答案为： 5. 现从甲乙口袋各摸出一个球，如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ，则摸出的两个球至少有1个红球的概率为_________(请用分数表示) 【答案】 【解析】 【分析】先求出至少有1个红球的对立事件的概率，然后利用对立事件概率的性质计算即可. 【详解】至少有1个红球的对立事件是两个都不是红球，那么求出两个都不是红球的概率即可； 两个都不是红球的概率为，至少有1个红球的概率. 故答案为：. 6. 已知函数，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用极限的计算方法即可得解. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：4. 7. 数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据无穷等比数列求和的性质即可得的等式关系，即可得答案. 【详解】因为数列是首项为 ，公比为m的无穷等比数列，且， 由，可得，化简得 ， 即 解得或 (舍去)，则 ， 故答案为：. 8. 若的二项展开式的第9项为常数项，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的第项为常数项，从而求解的值. 【详解】由题意知的展开式， 第项为常数项，则，所以，所以. 故答案为：. 9. 一场晩会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目仅有2个舞蹈节目的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理结合古典概型分析运算. 【详解】由题意可得：所有节目的排序总数为， 若前3个节目仅有2个舞蹈节目，先选择2个舞蹈节目与1个唱歌节目排序，再将剩余的节目排序，所以总数为， 所以节目单中前3个节目有2个舞蹈节目的概率. 故答案为：. 10. 已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值______. 【答案】21 【解析】 【分析】求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得. 【详解】由，得， 则，又，则切线方程为， 即 ，得 故答案为：21. 11. 已知是各项均为正实数的数列的前n项和，，若，则实数m的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得，，进一步将原问题转换为恒成立，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 又因为是各项均为正实数的数列， 所以，即数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 而，所以， 即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是首先得，，由此即可顺利得解. 12. 设为的一个排列，满足，则这样的排列的个数为_______个. 【答案】6142 【解析】 【分析】根据条件分别对于与时得出排列个数. 【详解】对于给定的，考虑使的满足条件的排列个数， 当时，对有为的排列（若，则没有 这样的i），且（若，则没有这样的j），因此， 当时，类似地有， 因此，满足条件的排列个数为 故答案为：6142. 【点睛】本题关键针对与分别得出排列个数. 二、选择题(本大题共有4题， 满分18分， 其中13-14题每题4分， 15-16题每题5分)【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分】 13. 用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数学归纳法求解即可. 【详解】表达式的左边是从开始加到结束， 所以验证成立时等式左边计算所得项是. 故选：D 14. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数， 事件A的概率为P(A)， 事件B的概率为P(B)． 则P(A∩B)是下列哪个事件的概率（ ） A. 两个点数都是偶数 B. 至多有一个点数是偶数 C. 两个点数都是奇数 D. 至多有一个点数是奇数 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的定义和积事件概念可解． 【详解】掷两颗骰子，观察掷得的点数，事件A为：至少一个点数是奇数，事件B为：点数之和是偶数， 所以 为点数全是奇数． P(A∩B)表示点数全是奇数的概率． 故选：C. 15. 定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中不正确的是（ ） A. 为函数的单调增区间 B. 为函数的单调减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】C 【解析】 【分析】时，，单调递增，A正确，时，，单调递减，B正确，时，单调递增，C错误，根据单调性判断D正确，得到答案. 【详解】对选项A：时，，单调递增，正确； 对选项B：时，，单调递减，正确； 对选项C：时，单调递增，错误； 对选项D：时，单调递减，当时，单调递增，函数在处取得极小值，正确； 故选：C． 16. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意的值域包含于的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】，，令，解得， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的值域为. 当时，，所以在上单调递增， 又，所以的值域为， 又，使得，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B． 三、解答题 (本大题共有5题，满分78分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】 17. 已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． （1）若，，，求数列的通项公式： （2）设数列的前n项和为，若，，求． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量关系即可列式求得，，进一步即可得解； （2）由等差数列基本量的关系即可列方程组求解. 【小问1详解】 由题意得，，. 因为，所以， 解得，所以，， 所以数列的公比为3， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ∵数列为等差数列，且公差为2， ，， ∴， 解得，故. 18. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，. （Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率； （2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求． 试题解析：（1） 所有的可能结果共有种， 而满足的有、、共计3个 故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为 （2） 所有的可能结果共有种 满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个 故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为 所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为 考点：独立事件的概率． 【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误． 19. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． （1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 【答案】（1） （2） 若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）； 若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． 【解析】 【分析】（1）通过利润＝每件产品利润×售价，代入计算即可． （2）通过利润表达式求导函数，由a的范围分类讨论原函数的单调性，并求出a在不同范围内的利润的最值即可． 【小问1详解】 分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：． 【小问2详解】 ． 令得或（不合题意，舍去）． ，．在两侧的值由正变负． 所以当即时， ． 当即时，， 所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）； 若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． 20. 设实数.对任意给定的实数，都有． （1）当时，求的值； （2）若是整数，且满足成立，求的值； （3）当m=1时， 求 的二项展开式中系数最大的项是第几项． 【答案】（1） （2） （3）第25项或第26项. 【解析】 【分析】（1）直接利用二项式定理通项公式计算得到答案. （2）计算，代入计算得到，取计算得到答案. （３）假设展开式系数最大的项为第项.则，解出即可． 【小问1详解】 展开式的通项为，故. 【小问2详解】 展开式的通项为， ， 由得，又知， 取，可知. 【小问3详解】 展开式的通项为：， 假设展开式系数最大的项为第项.则 化简得到 即解得即，则． 则的二项展开式中系数最大的项是第25项或第26项． 21. 已知函数 令． （1）当时， 求函数在处的切线方程; （2）若在上为增函数， 求的取值范围; （3）当为正数且时， 的最小值为， 求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）由题意求出，及切线斜率即可求切线方程； （2）通过求导，根据在单调递增得恒成立，讨论即可求解； （3）通过求导，讨论,,三种情况，分析讨论在的单调性，即可求实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数， ， 则切线方程为，即， 故在处的切线方程为 【小问2详解】 因为在上为增函数 则 当时， 此时在单调递增； 当时，只需 在恒成立， 因为只要 ，则需要 对于函数过定点，对称轴 只需即 综上可得： 【小问3详解】 函数的定文域为且， 所以 令解得 或 ①当即， 若时，在，单调递增； 若时，在，单调递增； 故在上单调递增， 所以在上的最小值为符合题意； ②当即 时， 当时， 当时, 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为不符合题意； 当即同理可得在上单调递减， 所以在上的最小值为不符合题意； 综上，实数的取值范围是 故的最小值为． 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题： （1）经过函数上一点求切线方程的方法：对函数进行求导，得到导函数，求出在此点出的切线斜率，利用直线的点斜式方程，求出切线方程即可; （2）根据在上为增函数，转化为导数在的恒成立问题. （3）若已知含参函数最值，求参数的取值范围或参数的最值时，通常要对函数进行求导，研究导数的正负，进而得到原函数的单调性，导数里含有参数，根据导数的具体形式对参数进行分类讨论，结合条件得出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师嘉高2023学年第二学期高二年级数学学科期中试卷 满分: 150分 考试时间: 120分钟 一、填空题【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果】 1. 等比数列中，已知，，则______. 2. 已知事件与互斥，且，则________. 3. 满足方程 的x的值为______． 4. 已知等差数列的前项和为，若，则______. 5. 现从甲乙口袋各摸出一个球，如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ，则摸出的两个球至少有1个红球的概率为_________(请用分数表示) 6. 已知函数，则________ 7. 数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且，则__________. 8. 若的二项展开式的第9项为常数项，则________ 9. 一场晩会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目仅有2个舞蹈节目的概率为__________. 10. 已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值______. 11. 已知是各项均为正实数的数列的前n项和，，若，则实数m的取值范围是____________． 12. 设为的一个排列，满足，则这样的排列的个数为_______个. 二、选择题(本大题共有4题， 满分18分， 其中13-14题每题4分， 15-16题每题5分)【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分】 13. 用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（ ） A. 1 B. C. D. 14. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数， 事件A的概率为P(A)， 事件B的概率为P(B)． 则P(A∩B)是下列哪个事件的概率（ ） A. 两个点数都是偶数 B. 至多有一个点数是偶数 C. 两个点数都是奇数 D. 至多有一个点数是奇数 15. 定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中不正确的是（ ） A. 为函数的单调增区间 B. 为函数的单调减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 16. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 (本大题共有5题，满分78分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】 17. 已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． （1）若，，，求数列的通项公式： （2）设数列的前n项和为，若，，求． 18. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，. （Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率. 19. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． （1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 20. 设实数.对任意给定的实数，都有． （1）当时，求的值； （2）若是整数，且满足成立，求的值； （3）当m=1时， 求 的二项展开式中系数最大的项是第几项． 21. 已知函数 令． （1）当时， 求函数在处的切线方程; （2）若在上为增函数， 求的取值范围; （3）当为正数且时， 的最小值为， 求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $