第十讲 一元一次方程应用讲义【8大考点】2024-2025学年 暑假 苏科版七年级数学上册

第十讲 一元一次方程应用 教学目标： 了解8类常见应用题，会根据实际问题列方程解应用题。 教学重点、难点： 会根据实际问题列方程解应用题． 【考点一 和差倍分】 1．古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，他留有一块墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须，又过了生命的七分之一才结婚．再过5年他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”设丢番图去世时的年龄为x岁，根据以上信息，可得方程 ． 2.六年级一班阅读角有两个书架，原来第一个书架与第二个书架图书本数的比是．现在第一个书架借走20本书，这时第一个书架的图书本数是第二个书架的．第二个书架有多少本图书？ 【考点二 行程问题】 3．某轮船在静水中的速度为，水流速度为，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 4.一个学生若用的速度步行就可以按时从家返回学校，但他在走了全程的后，搭上了速度是的公共汽车，因此比原定时间早到了24分钟，他家离学校有多远？（列方程解决问题） 【考点三 工程问题】 5．某工程甲独做需天完成,乙独做需天完成．现由甲先做天,乙再合做共同完成．若设完成此项工程共用天,则下列方程正确的是（　） A． B． C． D． 6.某项工程甲单独做5天完成，乙单独做10天完成．现在由甲先单独做2天，然后甲、乙合作完成此项工程．若设甲一共做了天，则所列方程为 ． 【考点四 销售问题】 7.一件夹克衫先按成本提高标价，再以8折出售，结果获利28元．若这件夹克衫的成本为元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 8.学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折．如果小明同学一次性购书付款元，那么他所购书的原价为 ． 【考点五 水电费问题】 9.为促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费.峰时段为8:00—21：00；谷时段为21:00—次日8:00．下表为该地某户居民11月份的电费账单的部分信息.设其中的峰时电量为x千瓦·时，根据所给信息，解决下列问题． 户主 *** 用电户号 ****** 合计金额 元 合计电量 千瓦·时 抄送周期 备注：合计电量=峰时电量＋谷时电量 单价（元） 计费数量（千瓦·时） 金额（元） 峰时电量 ② 谷时电量 ① ③ (1)填空（用含的代数式表示）：①______，②______，③______； (2)由题意，可列方程为______； (3)该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦·时? 10.根据最新版苏州市市民价格手册，苏州市对居民生活用电实行阶梯电价，居民阶梯电价按“年”为周期执行，即每年1月1日至12月31日为一周期，视为一年，执行标准如下： 档次 阶梯分档电量 电价（元/千瓦时） 第1档 不超过2760千瓦时的部分 a 第2档 超过2760千瓦时但不超过4800千瓦时的部分 0.6 第3档 超过4800千瓦时的部分 已知2023年老李家用电2400千瓦时，交电费1200元；老王家交电费1524元． (1)表中a的值为______； (2)求老王家2023年用电量； (3)若2023年老张家用电的平均电价为0.6元/千瓦时，求老张家2023年的用电量． 【考点六 数字（日历）问题】 11．三个正整数的比是1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是 ． 12．如图，在11月的日历表中用框数器“”框出3，5，11，17，19五个数，它们的和为55，若将 “”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．1 【考点七 几何问题】 13．如图，是由7块正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为（　　）    A．63 B．72 C．99 D．110 14．如图，6个正方形无缝拼成一个大长方形，中间最小的正方形面积为1，大长方形的面积是（    ） A．80 B．99 C．143 D．169 【考点八 方案问题】 15．某服装厂生产西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装赠送一条领带： 方案二：西装和领带都按定价的九折优惠． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条． (1)①若该用户按方案一购买，需付款___________元（用含x的式子表示，并化简）： ②若该用户按方案二购买，需付款___________元（用含x的式子表示，并化简）： (1) 若客户现需要购买30条领带，则该客户选择哪种方案购买比较划算？请说明理由． 16.大润发和欧尚两家超市相同商品的标价相同，在2024新年即将到来之际，两大超市分别推出如下促销活动： 大润发超市：全场均按八五折优惠； 欧尚超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打八八折；超过500元时，其中的500元优惠、超过500无的部分打八折； (1)当购物总额是多少时，大润发、欧尚两家超市实际付款相同？ (2)某顾客在欧尚超市购物实际付款488元，该顾客选择这家超市划算吗？试说明理由． 【习题】 1.某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 2.如图，甲、乙两地位于一条平直的公路上，上午，一辆出租车以的速度载客从甲地开往乙地，到达乙地后立即沿原路原速返回，上午，一辆货车以的速度载货从乙地开往甲地，两车到达各自的目的地后停止运动.    (1)上午9：30，两车在途中迎面相遇，求甲、乙两地之间的距离, (2)在（1）的条件下，设货车行驶的时间为，当t为何值时，两车相距？ (3)根据（2）中数据，在货车行驶过程中，两车距离不超过的总时长为_____h. 3．某市有甲、乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多10天． (1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？ (2)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府拨款70000元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？ 4．某商品每件标价为150元． (1)若按标价打8折后出售，则售价为多少？ (2)若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为多少元？ 5．苏州市某商场经销的、两种商品，种商品每件进价80元，售价100元；种商品每件的售价为60元，利润率为（）． (1)每件种商品的利润率为______；种商品每件的进价为______元； (2)若该商场同时购进、两种商品共40件，总进价恰好为2200元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于900元 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折优惠 超过1200元 其中1200元部分八折优惠， 超过1200元的部分打七折优惠 在商场优惠促销活动期间，若小华一次性购买商品实际付款1044元，求小华所购商品优惠前的总金额为多少元？ 试卷第1页，共3页 67 学科网（北京）股份有限公司 6．列方程解应用题： 深圳通卡有普通卡、学生卡等类型，使用普通卡与学生卡乘坐任一公交线路，乘客享受票价 票价（元） 普通卡 学生卡 3元以下（含3元）部分 8折 一律5折 3元以上6元以下（含6元）部分 7.5折 6元以上部分 ____________折 (1)若某次乘坐的公交车票价为6元，则小刚爸爸使用普通卡应支付____________元，小刚使用学生卡应支付_____________元． (2)若某次乘坐的公交车票价是8元，小刚爸爸使用普通卡支付比小刚使用学生卡支付多花了1.95元，那么小刚爸爸使用普通卡支付时票价“6元以上部分”打了几折？ 7．某通讯公司推出以下收费套餐，甲选择了套餐A，乙选择了套餐B，设甲的通话时间为t1分钟，乙的通话时间为t2分钟． 月租费（元/月） 不加收通话费时限（分） 超时加收通话费标准（元/分） 套餐A 58 150 0.3 套餐B 88 350 0.3 (1)请用含t1(t1＞150)、t2(t2＞350)的代数式表示甲和乙的通话费用； (2)若甲9月份通话时间为390分钟，乙通话费用和甲相同，求乙通话时间； (3)若甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为______. 8．有一列数按一定规律排列成，2，，8，若其中某三个相邻的数的和是，那么这三个相邻的数中最大的数是 ． 9．已知一个由50个偶数排成的数阵．用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和．在下列给出备选答案中，有可能是这四个数的和的是（ 　　） A．80 B．148 C．172 D．220 10．如图所示，，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为14，正方形的面积为（   ） A．156 B．144 C．81 D．49 11．某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只． (1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款（用含a的式子表示）； (2)在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？ (3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？ 参考答案 【考点一 和差倍分】 1． ； 2． 解：设第二个书架有本图书，则原来第一个书架有本图书， 由题意得，， 解得， 所以， 答：第二个书架有150本图书． 【考点二 行程问题】 3．D 4． 解：设他家到学校的距离为， 依题意有， 解得． 答：他家到学校的距离为． 【考点三 工程问题】 5．A 6． 解：设甲一共做了天，则乙一共做了天． 可设工程总量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 那么根据题意可得出方程， 故答案为：． 【考点四 销售问题】 7．D 8． 解：设这些书的原价是x元． ∵， ∴一次性购书付款元，可能有两种情况． 即享受9折优惠时，， 解得：； 享受8折优惠时，， 解得； 故小明所购书的原价为196元或元． 故答案为：196元或元． 【考点五 水电费问题】 9． （1）由题意得，峰时电量的电费单价为：元，谷时电量的电费单价为：元， ∴峰时电量的电费为：元， ∵峰时电量和谷时电量为千瓦时， ∴谷时电量为千瓦时， ∴谷时电量的电费为：元 故答案为：；；； （2）∵“总费用等于峰时费用加上谷时费用”， ∴， 故答案为：； （3）∵， 解得：， ∴谷时电量为：， 答：该账单中的峰时电量为千瓦时，谷时电量为千瓦时． 10． （1）∵2023年老李家用电2400千瓦时，交电费1200元； ∴， 解得， 故答案为：； （2）设老王家2023年用电量为x千瓦时， ∵（元），（元）， ∴， 根据题意，得：， 解得： 答：老王家2023年用电量为3000千瓦时． （3）若用电量为4800千瓦时，则， 所以2023年老张家用电量超过了4800千瓦时． 设老张家2023年用电量为y千瓦时， 根据题意，得：， 解得：， 答：老张家2023年用电量为6180千瓦时． 【考点六 数字（日历）问题】 11．48． 设这三个正整数为x、2x、4x，由题意得： x+2x+4x=84， 解得：x=12， 所以这三个数中最大的数是4x=48． 故答案为48． 12．D 【考点七 几何问题】 13．A 14．C 【考点八 方案问题】 15． （1）若该客户按方案一购买， 需付款20×200+40(x－20)＝(3200＋40x)元， 若该客户按方案二购买，需付款 20×200×0.9＋40x×0.9＝36x＋3600元； 故答案为：，；； （2）当时， （元）， （元）， ，所以按方案一购买较为合算． 16． （1）解：设当购物总额是元时，大润发、欧尚两家超市实际付款相同， 由①当时，则， 解得，不符合题设，舍去； ②当时，则， 解得，不符合题设，舍去； ③当时，， 解得，符合题设； 答：当购物总额是800元时，大润发、欧尚两家超市实际付款相同． （2）解：设该顾客购物总额是元， ， ， ∵该顾客在欧尚超市购物实际付款488元， ， 解得， 此时在大润发超市购物实际付款是（元）， 因为， 所以该顾客选择这家超市不划算． 【习题】 1． （1）解：设该工厂有男工x人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工36人，有女工52人． （2）设调y名女工帮男工制作盒底， 由题意得：， 解得． 答：调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 2． （1）解：甲、乙两地之间的距离为 答：甲、乙两地之间的距离为 （2）解：设货车行驶时间为t，甲点为原点，则乙点表示的数为160， 出租车到达乙地前表示的数为：， 到达乙地后表示的数为：， 货车表示的数为：； ①相遇前：，解得：或； ②相遇后：，解得：或， 综上所述：当 t 为 ，，，两车相距． （3）解： 解：两车距离不超过 20km 的总时长为 = 3． （1）解：由题意可得：乙队单独完成这项工程需要天， 设还需要天才能完成， 依题意得：， 解得：． 答：还需要9天才能完成． （2）解：设甲工程队需要施工天，则乙工程队需要施工天， 依题意得：， 解得：， 则乙需要（天）． 答：甲工程队需要施工10天，乙工程队施工需要15天． 4． （1）解：（元）， 答：若按标价打8折后出售，则售价为120元； （2）解：设该商品每件的进价为x元， 根据题意得， 解得，， 答：该商品每件的进价为100元． 5． （1）解：每件种商品利润率为，每件种商品进价为（元）， 故答案为：；； （2）设购进种商品x件，则购进B种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：购进种商品件； （3）设小华在该商场原购物总金额为元， ①原购物总金额超过元，但不超过元时， 由题意得：， 解得：； ②原购物总金额超过元时， 由题意得：， 解得：， 答：小华在该商场原购物总金额为元或元． 6． （1）解：小刚爸爸使用普通卡应支付：（元） 小刚使用学生卡应支付：（元） 故答案为：4.65，3； （2）解：设普通卡支付时票价“6元以上部分”打了x折， 由题意可得： 解得： 答：小刚爸爸使用普通卡支付时票价“6元以上部分”打了6.5折． 7． （1）解：依题意得：甲的通话费用为元， 乙的通话费用为元， （2）解：依题意得：， 解得， 答：乙的通话时间为490分钟． （3）解：当时，设甲、乙的通话时间均为t分钟， 当时，甲的费用为58元，乙的费用为88元，不符合题意； 当时，，解得； 当 时，，无解； 甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为250分钟， 故答案为：250分钟． 8．32 9．C 10．D 11． （1）解：根据题意得A超市所需的费用为：20×210+70（a﹣20）=70a+2800 B超市所需的费用为：0.8×（20×210+70a）=56a+3360 故答案为：（70a+2800），（56a+3360） （2）解：由题意得：70a+2800=56a+3360 解得：a=40， 答：购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样． （3）解：学校购买20张书柜和100只书架，即a=100时； 第一种方案： 到A超市购买，付款为：20×210+70（100﹣20）=9800元； 第二种方案： 到B超市购买，付款为：0.8×（20×210+70×100）=8960元； 第三种方案： 到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架， 付款为：20×210+70×（100﹣20）×0.8=8680元． 因为8680＜8960＜9800， 所以第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付款额为8680元． $$