题型04：期末高分必刷之解答题（35题）-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

题型04：期末高分必刷之解答题 1．（2024·湖北·模拟预测）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分． (1)根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标．现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数） (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望． 附：若，则， 2．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 3．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 4．（23-24高二下·河北衡水·期末）2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和. 参考数据：，．参考公式：，． 5．（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 6．（23-24高二上·四川成都·期末）已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：. 7．（23-24高二下·上海·期末）已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由． (3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 8．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知数列的前n项和为，， (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 9．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富．其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：）在正常环境下服从正态分布． (1)一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于的概率； (2)为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：      该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型； 模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近．对投资金额做交换，令，且有，，，． （ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程； （ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 102.28 36.19 附：若随机变量，则，； 样本（）的最小二乘估计公式为，； 相关指数． 参考数据：，，，． 10．（23-24高二上·山东日照·期末）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格： 1 2 3 4 5 6 7 28 32 37 45 47 52 60 (1)经研究，、满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店月份的成交量（、按四舍五入精确到整数）； (2)该市某店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励千元；“二等奖”奖励千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望． 参考数据及公式：，，． 11．（23-24高二下·全国·期末）网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款.根据2019年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物.某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如表： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 (1)由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计8月10日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到. (2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率； (3)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店一次性购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考数据：.附：相关系数，回归直线方程的斜率：，. 12．（23-24高二下·河北沧州）时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级 合计 优秀 良 主播的学历层次 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ (2)统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势： (3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 13．（23-24高二下·上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 (1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? (2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 14．（23-24高二下·吉林·期末）甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为，乙投篮投中的概率为.由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立. (1)在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率. (2)已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件“改变比赛规则”，事件“乙获胜”，已知，证明：. 15．（23-24高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91. (1)计算样本平均数和样本方差； (2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，. 16．（23-24高二下·陕西渭南·期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和； (2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和. 17．（23-24高二下·江苏泰州·期末）2024年世界羽毛球男、女团体锦标赛（汤姆斯杯、尤伯杯）5日在四川成都落下帷幕，中国男女队在决赛中分别以3比1和3比0的比分战胜印度尼西亚男女队，捧起汤姆斯杯和尤伯杯．其中，中国女队是第16次捧起尤伯杯，中国男队则是第11次获得汤姆斯杯．羽毛球汤姆斯杯决赛实行五场三胜制，每场比赛采取三局两胜制，每一局比赛一方先得21分且领先至少2分则该局获胜；否则继续比赛，先领先2分的选手获胜．若双方打成29平，则先取得30分的一方直接赢得该局比赛．在整个比赛过程中，赢得一球得1分，并继续发球：否则对方得1分，并交换发球．已知在一场汤姆斯杯决赛中，若选手甲发球且甲获胜的概率为，选手乙发球且甲获胜的概率为，每一球比赛的结果相互独立．现甲、乙两名选手比赛至27平，且由甲发球． (1)求甲共发两次球赢得比赛的概率； (2)求甲以的比分赢得比赛的概率； (3)记比赛结束时乙发球的次数为，求的分布列及期望． 18．（23-24高二下·四川凉山·期末）教育局为了了解本区高中生参加户外运动的情况，从本区随机抽取了600名高中学生进行在线调查，收集了他们参加户外运动的时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)为进一步了解这600名学生参加户外运动时间的分配情况，从参加户外运动时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加户外运动时间在（14，16]内的学生人数为X，求X的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该区所有高中学生中随机抽取10名学生，用“”表示这10名学生中恰有k名学生户外运动时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，当最大时求k的值． 19．（23-24高二下·四川凉山·期末）某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率； (2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望． 20．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； (2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 21．（23-24高二下·山西·期中）为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.    (1)求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； (2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 22．（23-24高二下·吉林·期末）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. (1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ (3)若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 23．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，若. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求的值. 24．（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 25．（23-24高二下·四川成都·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 26．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，函数，其中． (1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； (2)若，，且满足，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围． 27．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 28．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知函数，的定义域为． (1)求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若函数存在唯一极小值点，求的取值范围． 29．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对一切都成立，求实数的取值范围. 30．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 31．（2024·辽宁·三模）为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X． (1)求随机变量X的分布列及数学期望； (2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型． ①求该组第三次交流中甲被选择的概率； ②求第n次交流中甲被选择的概率（，）． 32．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； (3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 33．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 34．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (1)若在区间上单调递增，求的取值范围； (2)若，函数，且在上的最大值为，证明：方程在上恰有两个不相等的实数根． 参考数据：． 35．（23-24高二下·四川成都·期末）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 恒成立，求 的取值范围； (3)求证: 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型04：期末高分必刷之解答题 1．（2024·湖北·模拟预测）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分． (1)根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标．现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数） (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望． 附：若，则， 【答案】(1)159 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由正态分布曲线的性质求得对应概率，即得对应人数； （2）由题可知的可能取值为，求得对应的概率以及分布列，进一步由期望公式求解即可. 【详解】（1）因为服从正态分布，所以． 因为，所以， 所以． 因此，进入面试的人数约为159． （2）由题意可知，的可能取值为， 则； ； ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以． 2．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 【答案】(1)，与具有较高的线性相关程度 (2) 【分析】（1）根据题意求得，利用相关系数公式求得相关系数，比较可得结论； （2）利用回归方程的系数公式求得，继而求得，即可求得与的回归方程． 【详解】（1）由表数据可得的平均数， 所以， 所以相关系数， 由，所以与具有较高的线性相关程度； （2）依题意可得， ， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为． 3．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 【答案】(1)数列的通项公式为； (2)数列的前20项和为. 【分析】（1）根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式； （2）先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出. 【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5， 所以，解得， 因为， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 故数列的通项公式为； （2）由题知， 即 所以 ， 故数列的前20项和为. 4．（23-24高二下·河北衡水·期末）2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和. 参考数据：，．参考公式：，． 【答案】(1)， 0.27秒； (2)成立，证明见解析. 【分析】（1）根据已知条件求得回归方程的系数，即可得回归方程，将代入回归方程，即可得到答案； （2）结合题中数据进行计算，可求得步长的残差和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明. 【详解】（1）依题意可得，， ，， 所以回归直线方程为， 将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是秒． （2）根据（1）得到，； ，； ，； ，； ，， 所以，即步长残差和为． 5．（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；减区间是，增区间是 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，由，求出a的值即可； （2）求出函数的导数，结合函数的单调性讨论a的范围即得. 【详解】（1）由得， 由曲线在处切线斜率为-1， 可得，. ,当单调递增；单调递减. 减区间是，增区间是. （2）由得： ①   时，，∴在递增，满足函数在区间上严格增， ②   时， 时，，在递增，若函数在区间上严格增， 综上可得 6．（23-24高二上·四川成都·期末）已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由等差和等比数列的性质结合题意列方程组，解出，再由基本量法求出通项即可； （2）由对数的运算性质化简再简单放缩可得，最后利用累乘法可证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意可得：，前两式化简后有， 由上述式子可得：， 化简得：，则或， 若，可得，数列为常数列，故舍去； 若，带入得，又由，解得，，， 于是得到数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由题可得， 由于时，， 则（当且仅当时取等号）， 所以， 则（当且仅当时取等号）. 所以. 7．（23-24高二下·上海·期末）已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由． (3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3)4139166 【分析】（1）根据题中递推公式结合等差数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，，列不等式组求数列的最大项，进而分析判断； （3）由题意可得：，，分析可知数列的前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项，结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为的各项均为正数，，且， 则，可得， 所以数列是以首项为，公差为2的等差数列． （2）不存在，理由如下： 由（1）可得：， 则， 令，即，解得， 且，可得， 可知数列的最大项为， 所以不存在正整数m，使得成立. （3）由（2）可得：，其前n项和为； 由题意可知：，其前n项和为； 因为，， 且， 对于数列可知：其前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项， 所以. 8．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知数列的前n项和为，， (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等比数列定义证明数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. （2）利用分组求和的方法求数列的前n项和. 【详解】（1）当时，，又，∴； 当时，，，两式相减得 又∵， ∴数列是首项为3，公比为2的等比数列， ∴. （2） ∴ 9．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富．其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：）在正常环境下服从正态分布． (1)一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于的概率； (2)为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：      该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型； 模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近．对投资金额做交换，令，且有，，，． （ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程； （ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 102.28 36.19 附：若随机变量，则，； 样本（）的最小二乘估计公式为，； 相关指数． 参考数据：，，，． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）模型②刻画的拟合效果更好，当时，模型②的年利润增量的预测值为万元． 【分析】（1）由正态分布的对称性结合法则求解； （2）（ⅰ）由已知数据利用最小二乘法求解模型②中关于的回归方程； （ⅱ）由已知表格中的数据，可得模型①的小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好，再由（ⅰ）中求得线性回归方程求解． 【详解】（1）由题意，，， 由正态分布曲线的对称性可知， ． 设一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”， 其中果径小于的有个，， 故， ∴一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，会买到果径小于的概率为； （2）（ⅰ）由题中所给数据，可得，， ，． ∴模型②中关于的线性回归方程为； （ⅱ）由表格中的数据，有，即， ∴模型①的小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好． 当时，模型②的年利润增量的预测值为： 万元． 10．（23-24高二上·山东日照·期末）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格： 1 2 3 4 5 6 7 28 32 37 45 47 52 60 (1)经研究，、满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店月份的成交量（、按四舍五入精确到整数）； (2)该市某店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励千元；“二等奖”奖励千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望． 参考数据及公式：，，． 【答案】(1)，预测该店月份的成交量为辆 (2)分布列见解析， 【分析】（1）计算出、的值，可求出，利用最小二乘法求出、的值，可得出回归直线方程，再将代入回归方程即可得出店月份的成交量的预测值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）解：由题意可得，， ， ，， 故线性回归方程为， 当时，，故预计月份的成交量为辆． （2）解：由题意可得，获得“一等奖”的概率为， 的所有可能取值为、、、、、， ，， ，， ，， 故的分布列为： 故. 11．（23-24高二下·全国·期末）网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款.根据2019年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物.某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如表： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 (1)由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计8月10日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到. (2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率； (3)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店一次性购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考数据：.附：相关系数，回归直线方程的斜率：，. 【答案】(1)可用，109人 (2) (3)选方案二更划算 【分析】（1）利用题中给出的数据和公式，求出相关系数的值，由此判断变量与具有很强的线性相关性，再求解和，得到线性回归方程，令代入求解即可； （2）先利用分层抽样得到第1天和第5天取的人数分别为3人和4人，然后由古典概型求解即可； （3）分别求出方案一和方案二所需付款数，比较即可得到答案． 【详解】（1）由表中的数据可得，， ，，， 故， 所以变量与具有很强的线性相关性， 故可以用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系， 所以， ， 所以， 令，则有， 故8月10日到该专营店购物的人数为109人； （2）因为， 所以第1天和第5天取的人数分别为3人和4人， 3人取自不同天的种数为， 故概率为； （3）若选方案一，则需付款元， 若选方案二，设需付款元，则的可能取值为600，800，900，1000， 相应的概率为， ， ， ， 所以． 故选项方案二更划算． 12．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级 合计 优秀 良 主播的学历层次 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ (2)统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势： (3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联 (2)，认为事件条件下发生有优势 (3)分布列见解析， 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）根据所给的公式，结合条件概率公式可得，结合表中数据即可求解； （3）根据分层抽样得带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式求解即可， 【详解】（1）零假设为：直播带货的评级与主播的学历无关， 由题意得， 所以根据小概率值的独立性检验， 可推断不成立，认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联； （2）因为， 因为， 所以认为事件条件下发生有优势； （3）按照分层抽样，直播带货优秀的有人，直播带货良好的有人，随机变量的可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望. 13．（23-24高二下·上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 (1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? (2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 【答案】(1)有关 (2)①，不独立，理由见解析；②977 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）①求出，，，再由条件概率公式求出，由相互独立事件的定义即可判断；②由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，根据正态分布的性质求出，从而估计出人数. 【详解】（1）提出假设：学生对该问题的态度与性别无关． 根据列联表中的数据可求得，． 因为当成立时，的概率约为， 所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关． （2）①因为事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”， 所以事件为“学生甲选择足球，学生乙不选择篮球”， 所以，，， 所以， 因为，所以事件、不独立． ②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为， 由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数． 因为，所以． 所以（人）． 所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为． 14．（23-24高二下·吉林·期末）甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为，乙投篮投中的概率为.由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立. (1)在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率. (2)已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件“改变比赛规则”，事件“乙获胜”，已知，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）记甲投中为事件，乙投中为事件，则由题意可得甲与乙的比分为或或结束比赛，根据独立事件的概率公式求出每种情况的概率肉而可求出甲获胜的概率，再利用条件概率公式可求得答案； （2）由题意可得，利用条件概率公式可得，而，代入化简可证得结论. 【详解】（1）记甲投中为事件，乙投中为事件，设结束时甲获胜为事件，即2轮结束或4轮结束或5轮结束，即甲与乙的比分为或或结束比赛. 若甲与乙的比分为，则； 若甲与乙的比分为，则 若甲与乙的比分为，则 . 所以. 设结束时甲比乙多2分为事件，则， 所以， 即在结束时甲获胜的条件下，甲比乙多2分的概率为 （2）因为在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率， 所以，即. 因为，所以. 因为， 所以， 即得， 所以 即. 又因为， 所以. 因为， 所以，即得证. 15．（23-24高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91. (1)计算样本平均数和样本方差； (2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，. 【答案】(1)； (2)分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖. 【分析】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，得到该市所有参赛者的成绩，设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖，成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖，结合正态分布曲线的对称性质，分别求得的值，即可得到结论. 【详解】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得： 数据的平均数为， 数据的方差为. （2）该市所有参赛者的成绩近似服从正态分布， 设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖， 成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖， 则，，，. 因为，所以. 因为， 所以， 因为，所以. 综上可得，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖. 16．（23-24高二下·陕西渭南·期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和； (2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和. 【答案】(1) (2) 【分析】当时，，数列为等差数列，根据条件，由等差数列前项和公式求解即可； （2）当时，，由条件求出，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式分组求解即可． 【详解】（1）若数列为1级等差数列， 即为对一切，都成立， 则数列为等差数列，设公差为， 由，，可得， 则． （2）数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3， 可得对一切，都成立． ， ， ，……， 可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列， 偶数项是首项为0、公差为3的等差数列， 则 所以，，． 17．（23-24高二下·江苏泰州·期末）2024年世界羽毛球男、女团体锦标赛（汤姆斯杯、尤伯杯）5日在四川成都落下帷幕，中国男女队在决赛中分别以3比1和3比0的比分战胜印度尼西亚男女队，捧起汤姆斯杯和尤伯杯．其中，中国女队是第16次捧起尤伯杯，中国男队则是第11次获得汤姆斯杯．羽毛球汤姆斯杯决赛实行五场三胜制，每场比赛采取三局两胜制，每一局比赛一方先得21分且领先至少2分则该局获胜；否则继续比赛，先领先2分的选手获胜．若双方打成29平，则先取得30分的一方直接赢得该局比赛．在整个比赛过程中，赢得一球得1分，并继续发球：否则对方得1分，并交换发球．已知在一场汤姆斯杯决赛中，若选手甲发球且甲获胜的概率为，选手乙发球且甲获胜的概率为，每一球比赛的结果相互独立．现甲、乙两名选手比赛至27平，且由甲发球． (1)求甲共发两次球赢得比赛的概率； (2)求甲以的比分赢得比赛的概率； (3)记比赛结束时乙发球的次数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）由题意得，甲共发两次球赢得比赛的情况是甲连续两次发球且获胜，求解即可； （2）由题意分析出甲以的比分赢得比赛的所有情况，再计算概率即可； （3）分析出所有得分情况，得出乙发球次数并计算出概率，即可列出分布列进而得出期望． 【详解】（1）由题意得，甲连续发两次球且赢得比赛，即． （2）甲以的比分赢得比赛的情况有： ①甲胜，乙胜，甲胜，乙胜，甲胜； ②甲胜，乙胜，乙胜，甲胜，甲胜； ③乙胜，甲胜，甲胜，乙胜，甲胜； ④乙胜，甲胜，乙胜，甲胜，甲胜； 所以甲以的比分赢得比赛的概率为 ． （3）若甲以取胜，乙发0次球，， 若乙以取胜，乙发1次球，， 若甲以取胜，乙发1次球，， 若乙以取胜，乙发2次球，， 若甲以取胜，乙发2次球，， 若乙以取胜，乙发2次球， ， 故，分布列如下， 0 1 2 则． 18．（23-24高二下·四川凉山·期末）教育局为了了解本区高中生参加户外运动的情况，从本区随机抽取了600名高中学生进行在线调查，收集了他们参加户外运动的时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)为进一步了解这600名学生参加户外运动时间的分配情况，从参加户外运动时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加户外运动时间在（14，16]内的学生人数为X，求X的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该区所有高中学生中随机抽取10名学生，用“”表示这10名学生中恰有k名学生户外运动时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，当最大时求k的值． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)k＝2 【分析】（1）由频率和为1，可求，进而可求（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生人数，利用超几何分布可求得X的分布列，利用期望公式可求数学期望； （2）由（1）可知参加公益劳动时间在（10，12]的概率P＝0.2，可得，进而可得k＝2时，最大. 【详解】（1）由频率分布直方图得： 2（0.02＋0.03＋0.05＋0.05＋0.15＋a＋0.05＋0.04＋0.01）＝1，解得a＝0.10； 这600名学生中参加公益劳动时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生人数分别为：600×0.10＝60人， 600×0.08＝48人，600×0.02＝12人 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在[14，16]内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则其期望为； （2）由（1）可知参加公益劳动时间在（10，12]的概率P＝0.1×2＝0.2， 所以， 依题意，即，解得， 因为k为非负整数，所以k＝2， 即当最大时，k＝2. 19．（23-24高二下·四川凉山·期末）某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率； (2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算得解. （2）求出的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望. 【详解】（1）设事件A＝{A老师表示通过}，事件B＝{B老师表示通过}，事件C＝{C老师表示通过}，事件D＝{歌手通过晋级}，事件E＝{歌手经过复审}， 则，，， ，因此， 所以在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率为． （2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，显然，， 则， ， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 数学期望为． 20．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； (2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)，， 【分析】（1）借助分层随机抽样定义可得所抽取产品类别，得到的所有可能取值后计算其概率即可得分布列及期望. （2）借助二项分布的概率公式，期望公式与方差公式计算即可得. 【详解】（1），，，， 故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线， 则的所有可能取值为、、， ， ， ， 则其分布列为： 则； （2）由题意可得， 则 ， ，. 21．（23-24高二下·山西·期中）为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.    (1)求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； (2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)； (2)① ；②分布列见解析 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可； （2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列即可. 【详解】（1）由频率分布直方图性质可得：， 所以，由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人， 获二等奖的有人，获三等奖的有人， 共有30人获奖，70人没有获奖， 从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件， 则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等， 所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为. （2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值， ， 则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布， ①因为，， 所以， 故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为． ②由，得， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为， 所以随机变量服从二项分布， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 22．（23-24高二下·吉林·期末）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. (1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ (3)若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 【答案】(1)310 (2)4620 (3)36000 【分析】（1）找对立面，先将总数求出来，后将全男全女减掉就可以了. （2）先选再分组最后分配. （3）捆绑和插空法使用即可解题. 【详解】（1）从这11人中任选4人的选法有种， 其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种， 故4人中必须既有男生又有女生的选法有种. （2）从这11人中任选4人的选法有种， 若人数按1，3分配，则安排方法有种， 若人数按2，2分配，则安排方法有种， 所以共有种安排方法. （3）因为男､女生各需要2人，所以选出4人的方法有种. 先排2名男生与2名组织者，有种排法， 再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空档中，有种方法， 所以共有种不同的合影方法. 23．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，若. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求的值. 【答案】(1)1 (2)56 (3)2 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）利用二项式展开式的通项特征即可求解， （3）令，即可利用赋值法求解. 【详解】（1）因为， 令，可得，解得； （2）由（1）可知：，为一次项系数， 由于， 故一次项为，所以， （3）由（1）可知：，且， 令，可得， 则， 所以. 24．（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出n的值，再结合展开式的通项，即可求得答案； （2）求出展开式中的常数项以及项，即可求得答案. 【详解】（1）由的二项展开式中各项的二项式系数和为64， 得， 的通项为， 二项展开式的中间项为第4项，即； （2）结合（1）可得的常数项为， 展开式中的项为， 展开式中的常数项为. 25．（23-24高二下·四川成都·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出. （2）利用裂项相消法求出数列前n项和. 【详解】（1）等差数列前项和为，且满足，成等比数列， 依题意得，化简得， 解得，. （2）， 则. 26．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，函数，其中． (1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； (2)若，，且满足，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）把，代入，利用导数值为0求出切点坐标即可作答. （2）利用反证法结合均值不等式证明即可. （3）当时，利用导数探讨函数的单调性，确定函数有唯一零点，再证明当时，函数有两个零点作答. 【详解】（1）当，时，，求导得， 由，即，得，此时， 所以所求水平切线的方程为. （2）证明：由题可得：， 即， 此时，若，则，从而有， 但是由平均不等式可得：， 且由知等号不成立，因此，与矛盾， 于是，所以. （3）依题意，， 当时，，函数在上严格递增， 从而当时，有唯一零点， 当时，，其中，而函数在上严格递增， 则当时，，而当时，， 于是函数在区间上严格递减，在区间上严格递增， 又，因此当且时，； 当且时，，而， 从而由零点存在定理知，连续函数在区间和上各有一个零点，即函数不可能有唯一零点， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 27．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求； （3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得. 【详解】（1）当时，，则，则， 又，则切线方程为，即； （2），令， 则，当时，有， 故在上单调递增，即在上单调递增， 则， 当时，，则在上单调递增， 有，满足要求； 当时，则，又， 则必存在，使，即， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则 ，令， 则， 则在上单调递减，则， 即，故此时不符合题意，故舍去， 综上所述，； （3）由（2）得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数存在两个极值点，则，即， 则有，要证，即证， 又，，在上单调递增， 即只需证，又， 即只需证， 令 ，， 则 ， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到、的范围，从而结合函数单调性，将证明转化为证明，从而可构造相应函数，利用导数研究其单调性. 28．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知函数，的定义域为． (1)求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若函数存在唯一极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)是的极小值点，无极大值点 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，可得函数极值点. （2）求导，对参数的值分类讨论，可得函数的单调区间. （3）设，明确的解析式，求导，分类讨论，确定函数的单调性以及极值点的函数值符号，判断函数的零点个数. 【详解】（1）的定义域为，， 令得；令得. 故在单调递减，在单调递增． 所以是的极小值点，无极大值点. （2）的定义域为， 若，在上恒成立，所以在上单调递减； 若，令得；令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）令，则． 令，则 ①当时，在上恒成立， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以有唯一极大值点，没有极小值点，不满足题意． ②当时，在恒成立，在单增，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以F有唯一极小值点，满足题意． ③当时，令，得； 令，得， 故在上单调递减，在上单调递增． 则令，得 当时，在上恒成立，由②可知有唯一极小值点，满足题意. 当时，，，， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 所以存在唯一实数，使得，， 又， 故当时，；当时，； 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值点为，，不唯一，不满足题意． 综上，的取值范围为 【点睛】思路点睛：涉及含参数的函数的单调区间问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、极值，结合函数零点的存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 29．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对一切都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案； （2）将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增；继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则或；令，则； 则在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为； （2）因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则，定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； 又， 当时，，在上单调递增； 当时，需在上恒成立， 即在上恒成立， 对于，图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立，需满足且， 解得， 综合可得，即a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第二问中求解参数的取值范围，解答时要将原不等式恒成立转化为对一切都成立，从而构造函数，利用导数求解. 30．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解； （2）根据题意，问题转化为有两解，令，利用导数判断函数的单调性极值情况得解； （3）根据题意，问题转化为，对恒成立．当时，上式显然成立；当时，上式转化为，令利用导数求出最值得解. 【详解】（1）， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则．            若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． （2）令，则． 令，则．         所以当时，，在上单调递减． 当时，，在上单调递增． 又当时，，且；当时，，       所以当时，先减后增，且在处有最小值， 此时直线与有两个交点， 所以实数的取值范围为． （3）因为，即， 即，对恒成立． 当时，上式显然成立； 当时，上式转化为， 令，， ，所以函数在上单调递增， ，， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求最值，进而确定参数范围. 31．（2024·辽宁·三模）为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X． (1)求随机变量X的分布列及数学期望； (2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型． ①求该组第三次交流中甲被选择的概率； ②求第n次交流中甲被选择的概率（，）． 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；② 【分析】（1）列出随机变量的可能取值，并根据超几何分布计算每个可能取值的概率，并计算分布列和数学期望； （2）①根据第三次交流中甲被选择，第二次交流中甲未参与，计算概率即可； ②根据第次被选择的概率，第次未被选择的概率，得出数列递推公式，再通过数列计算通项即可. 【详解】（1）由题随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以随机变量的数学期望． （2）①甲、乙两同学被同伴选择的概率均为． 其他三名同学被选择的概率相等． 比赛由甲同学起稿建立模型， 第三次交流中甲被选择， 所以第二次交流中甲未参与． 设“第三次交流中甲被选择”， 则． ②第次交流中甲被选择， 则第次交流中甲未被选择． 设第次交流中甲被选择的概率为． 则， 所以，且． 所以， 所以． 32．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； (3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 【答案】(1)，可以认为两者的相关性很强 (2) (3)当时，恰有一次中奖的概率最大 【分析】（1）根据相关系数的公式计算并判断； （2）根据公式求出，得解； （3）根据题意可得，判断的单调性可得，即，由二项分布得，利用导数求出最大值. 【详解】（1）因为， 所以 ， ， ， 所以 ， 由此可以认为两者的相关性很强． （2）由（1）知，． 所以=． 因为，所以回归方程为． （3）记， ， ，即． ，令， 则，得，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值．由，解得或（舍去）， 当时，恰有一次中奖的概率最大． 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是根据题意列出的表达式，并判断单调性求出的范围，利用二项分布求出，借助导数求出最大值. 33．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 34．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (1)若在区间上单调递增，求的取值范围； (2)若，函数，且在上的最大值为，证明：方程在上恰有两个不相等的实数根． 参考数据：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数来研究单调性，再用分离参变量法求最值即可； （2）利用二阶导函数来帮助分析原函数的单调性，再利用端点值的正负即可得到零点的个数, 【详解】（1）由，因为在区间上单调递增，所以， 即，构造函数， 则， 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，，所以在区间上单调递减； 即， 故的取值范围是. （2）由题可知， 当时，因为，所以， 则在上是单调递增，， 又因为在上的最大值为，所以，即， 令，由上面可得：在上单调递增， 又由， 所以在上存在唯一的零点. 当时，，令， 则， 当，有，则， 即在上单调递减， 又由 所以在上存在唯一零点， 则当时，所以在上单调递增， 此时，即在上无零点； 当时，所以在上单调递减， 又由所以在上有且仅有一个零点， 综上，方程在上恰有两个不相等的实数根． 【点睛】关键点点睛：对于函数在指定区间的零点个数，需要对函数进行求导分析单调性，有时需要二阶导数帮助分析一阶导函数的正负，再结合端点值正负分析，进而可以得到零点个数. 35．（23-24高二下·四川成都·期末）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 恒成立，求 的取值范围； (3)求证: 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）构造函数（），将原不等式转化为，即，利用导数研究的单调性可得在上恒成立，结合导数求出即可； （3）根据不等式、，对不等式进行放缩，即可证明. 【详解】（1）当时，， 则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）不等式等价于， 即， 设（），则，所以在上单调递增， 由，得， 则，即在上恒成立， 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即实数a的取值范围为； （3）先证：①和②， ①：设函数，则， 所以函数在上单调递增，且， 所以，即，得，令，得； ②：设函数， 在区间上的面积可以通过矩形近似估计，即， 所以， 又，所以. ， 所以 ， 又， 所以 ， 又， 所以， 即， 【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键是根据不等式构造函数（），利用导数导数研究的单调性解决恒成立问题；第（3）问的关键是根据、，对不等式巧妙放缩. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$