题型03：期末高分必刷之填空题（38题）-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

题型03：期末高分必刷之填空题 1．（22-23高二下·湖北·期末）6名大学毕业生到绿水村、青山村、人和村担任村官，每名毕业生只去一个村，绿水村安排2名，青山村安排1名，人和村安排3名，则不同的安排方法共有 种. 2．（19-20高二·全国）已知数列中，…，则 ． 3．（22-23高二下·湖北·期末）若随机变量服从两点分布，则的最大值为 . 4．（22-23高二下·湖北武汉·期末）的展开式中，含项的系数是 （用数字表示）. 5．（22-23高二下·湖北荆门·期末）已知数列满足，且，为数列的前项和，则 ． 6．（21-22高二下·湖北十堰·期末）一次考试后某班数学成绩，若，且该班学生数学成绩在分以上的有人，则估计该班总人数为 ． 7．（2018高三·全国）某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示.（残差＝观测值－预测值） 3 4 5 6 2.5 3 4 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为 . 8．（21-22高二下·湖北武汉·期末）袋中有个小球，其中个白球，个红球，除颜色外，其余均相同.从中任取个小球，则恰好取出个红球的概率是 ． 9．（21-22高二下·湖北咸宁·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且若以点为圆心，为半径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为 . 10．（21-22高二下·湖北襄阳·期末）某学校有A、B两家书店，小明同学第一天休息时随机地选择一家书店阅读．如果第一天去A书店，那么第2天去A书店的概率为0.5；如果第一天去B书店，那么第二天去A书店的概率为0.7，则小明同学第二天去A书店阅读的概率为 ． 11．（22-23高二下·湖北恩施·期末）2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆､游泳馆和综合训练馆）对外免费开放，预约期间将4名志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1名志愿者，则共有 种分配方案． 12．（21-22高二下·湖北·期末）某地区调研考试数学成绩X服从正态分布，且，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在的人数为随机变量，则的方差为 ． 13．（21-22高二下·湖北·期末）陕西省白水县是国内外专家公认的苹果最佳优生区之一，素有“中国苹果之乡”的美誉，其“白水”苹果也被确定为陕西省知名品牌.白水苹果以酸甜适中､香脆可口而驰名中外，多次被评为“中华名果"“黄土高原上的明珠"等.据统计，白水苹果的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为 . （附：若，则） 14．（21-22高二下·湖北襄阳·期末）设，且，若能被13整除，则a＝ ． 15．（22-23高二下·湖北十堰·期末）设等比数列的前项和为，若，则 . 16．（22-23高二下·湖北咸宁·期末）已知事件发生的概率为，事件发生的概率为，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为 . 17．（20-21高二下·天津西青·期末）某一大型购物广场有“喜茶”和"沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶，如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.7；如果第一天去"沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.6．则某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率 ． 18．（22-23高二下·湖北·期末）在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，4%，5%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为 . 19．（22-23高二下·辽宁）某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 ． 20．（21-22高二下·北京朝阳·期末）已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为3∶2．根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修．若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为 ． 21．（22-23高二下·湖北·期末）已知，若，则实数m的值为 . 22．（22-23高二下·江苏淮安·阶段练习）用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则 . 23．（22-23高二下·湖北·期中）在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有 种. 24．（19-20高二下·江苏无锡·期末）函数的图象在点处的切线方程为，则 ；若方程有两个不等的实数解，则的取值范围为 . 25．（21-22高二下·湖北十堰·期末）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列，则 ；若数到的前n项和为，则 ． 26．（20-21高二下·湖北·期末）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，是数列的前项和，则 . 27．（21-22高二下·河南）已知函数在R上的导函数为，对于任意的实数x都有，当时，，若，则实数a的取值范围是 ． 28．（21-22高二下·湖北·期末）已知函数的导函数为，对任意实数x都有，，且当时，，则使不等式成立的x的取值范围是 ． 29．（21-22高二下·湖北恩施·期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定比赛采取五局三胜制(即只要有一人获胜三局，比赛结束，获胜三局的人获得比赛的胜利).已知前三局每局甲获胜的概率是，后两局每局甲获胜的概率是，没有平局，已知第一局甲获胜，则打完第四局比赛结束的概率是 ，最终甲获得比赛胜利的概率是 . 30．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝ ． 31．（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，则的面积 . 32．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 33．（22-23高二下·湖北孝感·期末）的展开式中系数为有理数的各项系数的和为 ．（用数字作答） 34．（21-22高二下·湖北武汉·期末）如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线． 设原三角形（图）的边长为，把图，图，图，中的图形依次记为，，，，，，则的边数 ，所围成的面积 ． 35．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是 . 36．（2024·湖南衡阳·二模）已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ． 37．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，（），若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是 ． 38．（22-23高二下·湖北咸宁·期末）若对任意，，恒有，则正整数的最大值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型03：期末高分必刷之填空题 1．（22-23高二下·湖北·期末）6名大学毕业生到绿水村、青山村、人和村担任村官，每名毕业生只去一个村，绿水村安排2名，青山村安排1名，人和村安排3名，则不同的安排方法共有 种. 【答案】60 【分析】利用组合以及分步计数原理求解. 【详解】先从6名大学毕业生选出2名安排到绿水村，有种方法；再从剩余的4名大学毕业生选出1名安排到青山村，有种方法；最后剩余的3名大学毕业生安排到人和村，有1种方法， 根据分步计数原理可知不同的安排方法共有种， 故答案为：60. 2．（19-20高二·全国）已知数列中，…，则 ． 【答案】 【解析】先将和代入条件，然后两式相除，可得答案. 【详解】当时，有  ① 当时，有    ② 由①÷②，可得 故答案为： 3．（22-23高二下·湖北·期末）若随机变量服从两点分布，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据两点分布期望和方差公式可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】服从两点分布，设成功的概率为p， 可得，，其中， （当且仅当，即时取等号）， 的最大值为. 故答案为：. 4．（22-23高二下·湖北武汉·期末）的展开式中，含项的系数是 （用数字表示）. 【答案】454 【分析】根据给定条件列出含项的系数表达式，再借助组合数的性质计算即可得. 【详解】的展开式中的系数是： 所以原展开式中的系数是. 故答案为： 5．（22-23高二下·湖北荆门·期末）已知数列满足，且，为数列的前项和，则 ． 【答案】2020 【分析】根据递推公式求解数列的周期性，由周期性即可求解. 【详解】由，且可得，…, 故是以周期为3的等差数列，且， 所以， 故答案为：2020 6．（21-22高二下·湖北十堰·期末）一次考试后某班数学成绩，若，且该班学生数学成绩在分以上的有人，则估计该班总人数为 ． 【答案】 【分析】计算出的值，再结合已知条件可求得该班的总人数. 【详解】因为，则， 所以该班学生数学成绩在分以上的概率为． 因为该班学生数学成绩在分以上的有人，所以估计该班学生人数为． 故答案为：. 7．（2018高三·全国·专题练习）某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示.（残差＝观测值－预测值） 3 4 5 6 2.5 3 4 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为 . 【答案】4.5 【分析】根据残差求得时的预测值，从而求得，再利用样本中心一定在回归直线上，即可求得答案. 【详解】由题意可得时的预测值为， 则有， 即， 又， 故， 故答案为：4.5 8．（21-22高二下·湖北武汉·期末）袋中有个小球，其中个白球，个红球，除颜色外，其余均相同.从中任取个小球，则恰好取出个红球的概率是 ． 【答案】/ 【详解】从个小球中任取个球，共有种取法；其中恰好有个红球的取法有种； 所求概率. 故答案为：. 9．（21-22高二下·湖北咸宁·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且若以点为圆心，为半径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义可知，根据圆与相切得，进而根据两个三角形中余弦值相等，即可列出关系式求解关系. 【详解】如图，过点P作PQ垂直直线x＝－c，垂足为Q，连接.由得， 所以，则，所以.在中，由余弦定理知，.因为，所以，则，所以. 故答案为: 10．（21-22高二下·湖北襄阳·期末）某学校有A、B两家书店，小明同学第一天休息时随机地选择一家书店阅读．如果第一天去A书店，那么第2天去A书店的概率为0.5；如果第一天去B书店，那么第二天去A书店的概率为0.7，则小明同学第二天去A书店阅读的概率为 ． 【答案】0.6/ 【分析】分第一天去A书店和B书店两种情况，然后结合独立事件的概率公式和概率的加法公式求得答案. 【详解】前两天都去A书店的概率为，第一天去B书店，第二天去A书店的概率为，于是第二天去A书店的概率. 故答案为：0.6. 11．（22-23高二下·湖北恩施·期末）2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆､游泳馆和综合训练馆）对外免费开放，预约期间将4名志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1名志愿者，则共有 种分配方案． 【答案】36 【分析】先分成3组，然后再分配到三馆可得. 【详解】将4名志愿者分成3组，有种， 然后将3组分配给3个场馆有种， 所以总的分配方案共种. 故答案为：36 12．（21-22高二下·湖北·期末）某地区调研考试数学成绩X服从正态分布，且，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在的人数为随机变量，则的方差为 ． 【答案】2.1 【分析】利用正态分布的对称性，求得每个人的数学成绩在的概率，又所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在的人数为随机变量，利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】解：由正态分布知，均值，且，所以 每个人的数学成绩在的概率为，所以10名学生的数学成绩在的人数，所以． 故答案为：2.1． 13．（21-22高二下·湖北·期末）陕西省白水县是国内外专家公认的苹果最佳优生区之一，素有“中国苹果之乡”的美誉，其“白水”苹果也被确定为陕西省知名品牌.白水苹果以酸甜适中､香脆可口而驰名中外，多次被评为“中华名果"“黄土高原上的明珠"等.据统计，白水苹果的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为 . （附：若，则） 【答案】 【分析】根据正态分布的3σ原则和正态曲线的对称性进行求解. 【详解】由服从正态分布，则 则 故答案为： 14．（21-22高二下·湖北襄阳·期末）设，且，若能被13整除，则a＝ ． 【答案】12 【分析】将化为，求出被13整除的余数，再结合已知条件即可求解． 【详解】因为 ， 即被13整除的余数为1，而，且，若能被13整除， 则，故， 故答案为：12 15．（22-23高二下·湖北十堰·期末）设等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】156 【分析】方法一：设等比数列的公比为，然后由列方程可求出，再利用等比数列的求和公式对化简计算即可，方法二：利用等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】法一：设等比数列的公比为，显然. 因为，所以， 所以. 法二：设，则.因为为等比数列， 所以仍成等比数列. 因为，所以， 所以，即. 故答案为：156 16．（22-23高二下·湖北咸宁·期末）已知事件发生的概率为，事件发生的概率为，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用条件概率公式计算出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由已知可得，，， 由可得， 故. 故答案为：. 17．（20-21高二下·天津西青·期末）某一大型购物广场有“喜茶”和"沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶，如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.7；如果第一天去"沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.6．则某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率 ． 【答案】0.65 【分析】某人第二天去“喜茶”店购买奶茶有两种情况：第一天选择去“喜茶”店，第二天选择去“喜茶”； 第一天选择去“沪上阿姨”店，第二天选择去“喜茶”，分别求得每一种情况的概率可得答案. 【详解】某人第二天去“喜茶”店购买奶茶有两种情况： 第一种情况：第一天选择去“喜茶”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为：； 第二种情况：第一天选择去“沪上阿姨”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为：； 所以某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率为， 故答案为：0.65. 18．（22-23高二下·湖北·期末）在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，4%，5%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为 . 【答案】/0.052 【分析】有三个地区的人数比设出三个地区的人数，求出三个地区患了流感的人数，利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】因为A，B，C三个地区的人口数的比为， 所以设A，B，C三个地区的人口数分别为， 则这三个地区患了流感的人数分别为，，. 现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为： . 故答案为：. 19．（22-23高二下·辽宁）某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 ． 【答案】120 【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得，乘以总人数即可得出答案． 【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为， 因为，所以， 则数学成绩为优秀的人数是， 故答案为：． 20．（21-22高二下·北京朝阳·期末）已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为3∶2．根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修．若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可． 【详解】某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机， 设买到的计算机是A品牌为事件A，买到的计算机是B品牌为事件B， 则由题可知P(A)＝，P(B)＝， 从A品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件C， 从B品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件D， 则由题可知P(C)＝，P(D)＝， 由题可知A、B、C、D互相独立， 故从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为： P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝． 故答案为：． 21．（22-23高二下·湖北·期末）已知，若，则实数m的值为 . 【答案】3 【分析】先进行换元，然后根据二项式定理相关知识进行计算即可. 【详解】令，则， 所以， 展开式的各项依次为，即， 所以， ， 所以， 解得. 故答案为：3 22．（22-23高二下·江苏淮安·阶段练习）用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则 . 【答案】 【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值. 【详解】因为线性回归方程为恒过， 因为，所以，， 即， 所以，即. 故答案为： 23．（22-23高二下·湖北·期中）在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有 种. 【答案】450 【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可. 【详解】满足条件的安排方案可以分为两类， 第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案； 方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人， 共有（种）不同的方案. 所以共有不同的安排方案. 故答案为：450. 24．（19-20高二下·江苏无锡·期末）函数的图象在点处的切线方程为，则 ；若方程有两个不等的实数解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线方程，进而可求得的值；由，可得出，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】，则，，， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即，，，则； 令，可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点， ，令，可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 且当时，，如下图所示： 由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】本题考查利用函数的切线方程求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 25．（21-22高二下·湖北十堰·期末）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列，则 ；若数到的前n项和为，则 ． 【答案】 10 2059 【分析】由杨辉三角可知的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行中的每一项，即可求出，由归纳推理及等比数列的前项和公式可得：在第12行的第2个数，即为，则. 【详解】因为是第6行第3个数，所以， 因为每行的序数和该行的项数和相等， 所以第k行最后一个数在数列中的项数为， 所以前11行共有个数，所以是第12项第2个数， 因为第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项和为， 以此类推，第k行各项和为，所以． 故答案为：10，2059 . 26．（20-21高二下·湖北·期末）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，是数列的前项和，则 . 【答案】108 【分析】先利用基本量代换求出首项，代入等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则d=2. 因为成等比数列，所以， 即，解得：， 所以. 故答案为：108. 27．（21-22高二下·河南）已知函数在R上的导函数为，对于任意的实数x都有，当时，，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先设，结合已知条件得到在为减函数，在为增函数，再将转化为，利用的单调性求解不等式即可. 【详解】设，， 因为当时，，所以，为增函数. 又因为，所以. 所以， 即为偶函数. 所以在为减函数，在为增函数. 因为 ， 所以，解得或. 故答案为：. 28．（21-22高二下·湖北·期末）已知函数的导函数为，对任意实数x都有，，且当时，，则使不等式成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，利用导数判断出时单调性，再判断出的奇偶性，求出 ，，解不等式可得答案. 【详解】令，则， 当时，， 所以时，，则单调递增， ，又，所以为上的偶函数， 以时， 单调递减， 因为，所以， 解得． 故答案为：． 29．（21-22高二下·湖北恩施·期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定比赛采取五局三胜制(即只要有一人获胜三局，比赛结束，获胜三局的人获得比赛的胜利).已知前三局每局甲获胜的概率是，后两局每局甲获胜的概率是，没有平局，已知第一局甲获胜，则打完第四局比赛结束的概率是 ，最终甲获得比赛胜利的概率是 . 【答案】 【分析】根据独立重复实验的概率公式可求得答案． 【详解】解：由题意可得打完第四局比赛结束的概率为， 最终甲获得比赛胜利的概率为. 故答案为：；． 30．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝ ． 【答案】 【分析】根据两点间距离公式，结合导数的性质和导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设，所以， 设，， 当时，，，所以单调递增， 当时，，， 所以单调递减， 当时，函数有最小值，即有最小值，所以， 此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点， 由，显然在直线上， 则，因此有， 故答案为： 【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性是解题的关键. 31．（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，则的面积 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，由得到方程，然后求出的值，再求出，最后求出面积即可. 【详解】点的坐标为，则， 又，且直线过点， 则直线的方程为，整理得， 设点的坐标为，点的坐标为， 由，得，即， 直线的方程为， ， ①， 联立与，消去得， 则②， 把②代入①，解得， 故， 又直线与轴的交点为， 所以. 故答案为：. 32．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意求出，再化简求出，利用裂项相消即可求出，即可求出满足题意的. 【详解】①， ②， ②①得， ，当时，，当时，，满足上式， 故， ， 故， ， 故，即实数的取值范围为. 故答案为：. 33．（22-23高二下·湖北孝感·期末）的展开式中系数为有理数的各项系数的和为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】因为展开式的通项公式， 故当时， 即展开式中系数为有理数的项为， 所以两项的系数的和为． 故答案为：2416 34．（21-22高二下·湖北武汉·期末）如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线． 设原三角形（图）的边长为，把图，图，图，中的图形依次记为，，，，，，则的边数 ，所围成的面积 ． 【答案】 【分析】记的边数为，三角形边长为，面积为，由图形变化规律可直接得到，从而得到；根据，采用累加法可求得. 【详解】记的边数为，三角形边长为，面积为， 由图形变换规律可知：，，则； 由图形可知：是在每条边上生成一个小三角形（去掉底边）， 则， 由，，…，； 左右分别相加得：； 数列是公比为的等比数列，数列是公比为的等比数列， ， . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的综合应用问题，解题关键是根据图形的变化规律确定的边数的变化规律符合等比数列的变化；并得到图形面积变化所满足的递推关系式，采用累加法表示出图形面积. 35．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题等价于在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，求出的取值范围即可． 【详解】由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 令，，则， 令，则， 在单调递增， ， 存在唯一零点，且，使得, 在单调递减，在单调递增，， ，即， 令，，恒成立， 故在单调递增，则，即，则， . 故答案为：. 36．（2024·湖南衡阳·二模）已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ． 【答案】 【分析】确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果. 【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜； 若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 所以盒中恰有7个球的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果. 37．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，（），若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合题意可得到在上恰有两个不相等的实根，令，利用导数判断函数的单调性，从而可得，则原问题等价于与在上恰有两个不同的交点，令，利用导数求出函数函数的单调区间，从而作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解. 【详解】关于轴对称的函数为， 因为的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点， 所以方程在上恰有两个不相等的实根， 即，即， 即， 即在上恰有两个不相等的实根， 令，则， 所以函数在上单调递增， 所以，即，， 故原问题等价于与在上恰有两个不同的交点， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，， 如图，作出函数在上的大致图象， 要使函数与在上恰有两个不同的交点， 只要， 因为，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 38．（22-23高二下·湖北咸宁·期末）若对任意，，恒有，则正整数的最大值为 . 【答案】4 【分析】由题，任意，，，后构造函数（）与函数（），利用导数研究单调性，可得，则可将问题求使得的最大的正整数. 【详解】由题，任意，，. 令（），则. 令得，则在上单调递增，在上单调递减， 则有最大值. 令（），则.令，. 当时，在，，此时，必有成立； 故考虑，则在上单调递减，在上单调递增，故有最小值. 则，即.两边取自然对数可得，即求最大的使得.因，则上述不等式可转化为. 令，本题即求使得的最大的正整数. 恒成立，则在上单调递减. 因为，，则使成立的最大正整数为4. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：本题涉及恒成立问题，常利用最值解决问题.本题将不等式两边作为整体所构造函数较为复杂，故适当变形后，不等式两边分别构造函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$