第06讲 等式性质与不等式性质（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第06讲 等式性质与不等式性质（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数（式）的大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 用不等式表示不等关系 题型七 等式性质与不等式性质的综合运用 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【典型例题一 由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知实数，则下列不等式中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·浙江·学业考试）下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 3．（23-24高一上·河南郑州·期中）如果实数对满足，则实数对可以为 （写一对即可） 4．（23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习）给出下列条件： ①或，； ②，； ③且，． 其中是的必要不充分条件的序号为 5．（23-24高一·湖南·课后作业）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例． (1)如果，那么； (2)若，，则； (3)若，则； (4)若，，则． 【典型例题二 由不等式的性质比较数（式）的大小】 1．（2024高二上·福建·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·北京·学业考试）已知，且，则 （填“>”或“<”）. 4．（23-24高一上·云南曲靖·期中）若且，则 0．（填“”、“”或“”） 5．（23-24高一上·云南红河·阶段练习）已知． (1)若，求证：； (2)求证：． 【典型例题三 作差法比较代数式的大小】 1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则 .（填“”，“”，或“”） 4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）设，，则、的大小关系是 . 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知均为正实数，且． (1)证明：； (2)比较和的大小． 【典型例题四 作商法比较代数式的大小】 1．（2023高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 2．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 4．（2023高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 5．（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【典型例题五 由不等式的性质证明不等式】 1．（22-23高一上·浙江宁波·期中）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·甘肃金昌·期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 3．（22-23高一·江苏·假期作业）设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 （填序号）． 4．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 5．（23-24高一上·黑龙江鸡西·期末）已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【典型例题六 用不等式表示不等关系】 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 2．（23-24高一上·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元. 5．（2024高一上·全国·专题练习）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【典型例题七 等式性质与不等式性质的综合运用】 1．（22-23高二下·北京延庆·期末）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 3．（2023高二·全国·竞赛）已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 4．（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 5．（2023高二·全国·竞赛），求证：． 【变式训练1 由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一·江苏·专题练习）给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③对于正数a，b，m，若，则． 其中真命题的序号是 ． 4．（23-24高一上·上海普陀·期中）对于实数、、中，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则﹔ ⑥若，则﹔ ⑦若﹐则； ⑧若，，则，． 其中正确的命题是 ． 5．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 【变式训练2 由不等式的性质比较数（式）的大小】 1．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则； C．若，则 D．若，则； 3．（2023高一·全国·竞赛）已知不等式的解集是，则不等式的解集是 . 4．（2023高一·江苏·专题练习）下列命题中真命题的序号是 ． ①；②； ③；④； ⑤． 5．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）（1）设，，比较，大小； （2）设，，比较，的大小． 【变式训练3 作差法比较代数式的大小】 1．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 2．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ． 4．（23-24高一上·云南曲靖·期中）能够说明“若均为正数，则”是真命题的一组数依次可以为 .（写出一组即可） 5．（2024高一上·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 【变式训练4 作商法比较代数式的大小】 1．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 4．（23-24高一·全国·课后作业）比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 5．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练5 由不等式的性质证明不等式】 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·全国·课后作业）对于实数a，b，“”是“”的 条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 4．（23-24高一上·北京朝阳·期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 5．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式训练6 用不等式表示不等关系】 1．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 . 4．（22-23高二下·辽宁铁岭·期末）李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付x元．方案二：每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额，则x的最大值为 元． 5．（2024高一上·全国·专题练习）一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 【变式训练7 等式性质与不等式性质的综合运用】 1．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2022高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 4．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ． 5．（2023高一·上海·专题练习）比较下列各组中两数的大小： (1)已知为正数，且，比较与的大小； (2)已知，比较与的大小； (3)已知均为正数，设，，比较和的大小. 1．（23-24高二下·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）如果，那么下列不等式成立的是 ． ①    ②    ③    ④ 7．（23-24高三下·广西南宁·阶段练习）设．将这三者中的最大值记为．当变化时，的最小可能值是 ． 8．（23-24高三下·上海·开学考试）已知，若对任意，，则的取值范围是 ． 9．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 10．（2022高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 . 11．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：. 12．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 13．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 14．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 15．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 等式性质与不等式性质（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数（式）的大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 用不等式表示不等关系 题型七 等式性质与不等式性质的综合运用 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【典型例题一 由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知实数，则下列不等式中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A；根据不等式的基本性质得到，即可判断B；利用作差法比较出大小关系，即可判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，又，故， 从而，故B错误； 对于C，， 因为，所以，故， 故，故C错误； 对于D， ， 因为，故， 所以，即，故D正确. 故选：D 2．（2024高二下·浙江·学业考试）下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】B 【分析】利用作差法可求得A错误，B正确，D错误，取特殊值可证明C错误，可得结论. 【详解】对于A，易知， 又，所以，，所以，即，A错误； 对于B，， 又，可得，所以，即，可得B正确； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，易知，又，所以，即， 可得，因此D错误. 故选：B 3．（23-24高一上·河南郑州·期中）如果实数对满足，则实数对可以为 （写一对即可） 【答案】 【分析】按条件取一对满足条件的实数对即可. 【详解】取，则， 故实数对可以为. 4．（23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习）给出下列条件： ①或，； ②，； ③且，． 其中是的必要不充分条件的序号为 【答案】② 【分析】 直接利用充分条件和必要条件的定义逐一分析①、②、③，即可得出结论． 【详解】 对于①，或；，解得或；， 所以为的充要条件； 对于②，，解得， ；解得，所以是的必要不充分条件； 对于③，由且可得成立， 但当时，可令，不满足． 所以是的充分不必要条件. 故答案为：②. 5．（23-24高一·湖南·课后作业）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例． (1)如果，那么； (2)若，，则； (3)若，则； (4)若，，则． 【答案】(1)成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)不成立，理由见解析； (4)不成立，理由见解析； 【分析】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立. 【详解】（1）， ， ， 故成立. （2），, , 即. （3）取时，满足，但是不成立. （4）取，满足，，但是不成立. 【典型例题二 由不等式的性质比较数（式）的大小】 1．（2024高二上·福建·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 3．（2024高二上·北京·学业考试）已知，且，则 （填“>”或“<”）. 【答案】< 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以，即. 故答案为：< 4．（23-24高一上·云南曲靖·期中）若且，则 0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据条件判断的符号，再结合，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：. 5．（23-24高一上·云南红河·阶段练习）已知． (1)若，求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用作差法证明不等式关系； （2）由分析法，化为证，结合题设即可证结论. 【详解】（1）由，且，， 所以且，则， 故，得证. （2）要证，只需证，而， 所以，得证. 【典型例题三 作差法比较代数式的大小】 1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论. 【详解】由于，则成立，等价于成立， 充分性：若，且，则，则， 所以成立，满足充分性； 必要性：若，则成立， 其中，且， 则可得成立，即成立，满足必要性； 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D. 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，则，所以，故C错误； 对于D，若，，则，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】借助作差法计算即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）设，，则、的大小关系是 . 【答案】/ 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知均为正实数，且． (1)证明：； (2)比较和的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）采用作差法可证得结论； （2）采用作差法可得大小关系. 【详解】（1），，， ，. （2），. 【典型例题四 作商法比较代数式的大小】 1．（2023高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 2．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 3．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 4．（2023高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 5．（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 【典型例题五 由不等式的性质证明不等式】 1．（22-23高一上·浙江宁波·期中）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合特值，排除法得到正确选项；作差比较法或利用不等式的性质分析也可以解决问题. 【详解】法一：已知，， 令，，，， 则，，，故A项不正确； 又，，，故B项不正确； 而，故C项也不正确； 所以排除ABC. 法二：在两边同除以负数得，与A项矛盾； ，与B项矛盾； 由，又，， 故不一定小于，故C项不正确； 由得，，又，两式相乘得， 两边同除以负数可得，，故D项正确. 故选：D. 2．（22-23高一上·甘肃金昌·期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质或使用特例，判断命题的真假. 【详解】当，时，满足，但，故A选项错误； 当时，，故B选项错误； 当，时，满足且，但，故C选项错误； 若，，则，故D选项正确． 故选：D． 3．（22-23高一·江苏·假期作业）设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 （填序号）． 【答案】① 【分析】由反证法判断①；利用特值法判断②. 【详解】对于①，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与已知条件a＋b＞2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确； 对于②，若a＝－2，b＝－3，则成立，故由②不能推出“a，b中至少有一个大于1”． 故答案为：①. 4．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确； 对于②，；，∴②正确； 对于③，若，如，但，∴③不正确； 对于④，，∴，， 又∵，∴，∴，∴，∴④正确． 故答案为：②④. 5．（23-24高一上·黑龙江鸡西·期末）已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【答案】答案见解析 【分析】结合不等式的性质即可证明. 【详解】方案一：条件：①②  结论：③ 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明： ∵a，b，x均为正数， ∴， ∴，即 方案二：条件①③  结论：② 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明：∵即化简得 又∵a，b，x均为正数 ∴ ∴即 方案三：条件②③  结论：① 若，且，则a，b，x均为正数，假命题 例如：，，，满足且，但a，b，x并不全为正数. 三种方案选一种作答即可. 【典型例题六 用不等式表示不等关系】 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解出符合题意的组合即可. 【详解】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 2．（23-24高一上·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】依题意列出不等式，结合其整数的性质依次从小到大分析即可得解. 【详解】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c， 则，又， 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，满足； 则，，，则. 故选：C. 3．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【答案】 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元. 【答案】201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 【分析】设购买的商品的标价为元，根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】设购买的商品的标价为元，， 使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元， 由题意，且，解得． 故答案为：201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 5．（2024高一上·全国·专题练习）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【分析】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆，再根据题意列出不等式组即可. 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. 【典型例题七 等式性质与不等式性质的综合运用】 1．（22-23高二下·北京延庆·期末）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知A正确，通过反例可知BCD错误. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），又，，故A正确； 对于B，当，时，，，则，故B错误； 对于C，当，时，，，则，故C错误； 对于D，当，时，，故D错误. 故选：A. 2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 3．（2023高二·全国·竞赛）已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 【答案】112 【分析】先将不等式变形为，然后根据求出的范围，进而验证即可. 【详解】由得，，即. 又由整数k的唯一性知，，解得， 而时，，，满足的整数k只有97，故符合. 故答案为：. 4．（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 5．（2023高二·全国·竞赛），求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作差，分与两种情况讨论，得到，同理得到，，累加即可证明结果. 【详解】因为， 当时，，又，所以， 当时，，又，所以． 综合上两式，， 同理可得，， 累加得，， 取等号时，故不等式得证． 【变式训练1 由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】对于A项，，因为0，所以，即，A项错误； 对于B项，例如，，而，B项错误； 对于C项，由，得，所以，C项正确； 对于D项，例如，，但，D项错误． 故选：C． 2．（2024·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D. 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 3．（2023高一·江苏·专题练习）给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③对于正数a，b，m，若，则． 其中真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】①③可利用不等式基本性质推出；②可举出反例. 【详解】对于①，若，则，又，所以，所以，所以①正确； 对于②，若，则,即，②错误； 对于③，对于正数a，b，m，若，则，所以， 所以，又，所以，③正确． 综上，真命题的序号是①③． 故答案为：①③ 4．（23-24高一上·上海普陀·期中）对于实数、、中，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则﹔ ⑥若，则﹔ ⑦若﹐则； ⑧若，，则，． 其中正确的命题是 ． 【答案】②③⑥⑦⑧ 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法、作差法逐项判断，可得出结果. 【详解】对于①，取，则，①错； 对于②，若，则，由不等式的基本性质可得，②对； 对于③，若，则，，即，③对； 对于④，若，则，由不等式的基本性质可得，即，④错； 对于⑤，若，则，即，⑤错； 对于⑥，若，则，即，⑥对； 对于⑦，因为，则，， 所以，，即，⑦对； 对于⑧，若，，所以，，则，⑧对. 故答案为：②③⑥⑦⑧. 5．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 【分析】（1）取即可判断， （2）根据不等式的性质即可求解， （3）（4）举反例即可求解. 【详解】（1）若，当时，则；故为假命题， （2）由于，故，则，进而可得；故为真命题， （3）若，，则， 此时满足，，但是无法得到，故为假命题 （4）若，不妨取，则无意义，故无法得到，故为假命题 【变式训练2 由不等式的性质比较数（式）的大小】 1．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则； C．若，则 D．若，则； 【答案】B 【分析】对ACD举反例即可，再利用不等式的运算法则与同向可加性的性质即可判断B. 【详解】对于A：当，，故A错误； 对于B：，，因为，所以，故B正确； 对于C：当，时，则，，， 则，故C错误； 对于D：当时，，，则，故D错误； 故选：B. 3．（2023高一·全国·竞赛）已知不等式的解集是，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由不等式的解集求出参数的关系，代入不等式求解即可. 【详解】的解集为， ，且，， ，所以. 故答案为： 4．（2023高一·江苏·专题练习）下列命题中真命题的序号是 ． ①；②； ③；④； ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据题意，由不等式的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】①当时，结论不成立．②．③．④取，得，∴结论不成立．⑤由可得，故正确； 故答案为：②③⑤ 5．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）（1）设，，比较，大小； （2）设，，比较，的大小． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据不等式的性质比较大小. 【详解】解：（1）因为， 所以． （2），， 因为，所以，所以． 【变式训练3 作差法比较代数式的大小】 1．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、C，利用作差法判断B、D. 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以， 所以，故B错误； 对于C：当，，，时满足，，但是，故C错误 对于D：因为， 所以，当时取等号，故D正确． 故选：D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由作差法比较大小. 【详解】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 3．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ． 【答案】a＜b 【详解】 解析：因为b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b. 【考查意图】 作差比较法比较大小． 4．（23-24高一上·云南曲靖·期中）能够说明“若均为正数，则”是真命题的一组数依次可以为 .（写出一组即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用差比较法的知识求得正确答案. 【详解】要使，由于均为正数， 所以只需，即. 所以依次可以为. 故答案为：（答案不唯一） 5．（2024高一上·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解. 【详解】由， 因为，，可得， 所以. 【变式训练4 作商法比较代数式的大小】 1．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．（2023高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 4．（23-24高一·全国·课后作业）比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 【答案】 5．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 【变式训练5 由不等式的性质证明不等式】 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】应用不等式的性质，结合特值排除法判断即可. 【详解】A项，由，知，即，不等式两边同除以正数，则，故A正确； B项，若，不一定成立，如：，但，故B错误； C项，若，也不一定成立，如：，但，故C错误； D项，若，当时，，故D错误. 故选：A. 2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 3．（22-23高一·全国·课后作业）对于实数a，b，“”是“”的 条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 【答案】充要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可. 【详解】当成立时，由可知与同号，再由可知与同为正，即； 当时，由不等式的性质可知且，即成立. 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要. 4．（23-24高一上·北京朝阳·期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【解析】利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可. 【详解】由知，，，故，得，故①正确； 取，满足，但，不满足，故②错误； 由指数函数单调递增可知，，则，故③正确； 由知，，，根据不等式性质可知，，故，故④正确. 故答案为：①③④. 5．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【变式训练6 用不等式表示不等关系】 1．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案. 【详解】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得． 故选：B． 3．（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 . 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 4．（22-23高二下·辽宁铁岭·期末）李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付x元．方案二：每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额，则x的最大值为 元． 【答案】24 【分析】根据条件比较两种方案所付的金额，即可求解. 【详解】由题意可得％，解得． 所以的最大值为元. 故答案为： 5．（2024高一上·全国·专题练习）一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 【答案】 【分析】由题意根据题中给的不等关系直接转换成相应的不等式组，注意球的个数应为自然数，由此即可得解. 【详解】由题意黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的 ，所以， 又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以， 而注意到球的个数应为自然数， 故满足题意的不等关系为. 【变式训练7 等式性质与不等式性质的综合运用】 1．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 3．（2022高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件推导出，，，再分别由与求得的取值范围，从而得解. 【详解】因为，， 则，且，即，，， 由得，则，即，即， 又，则， 因此的取值范围是. 故答案为：. 4．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 根据不等式的性质即可求解. 【详解】 正数、、满足，， ，所以 同理：有得到，所以 两式相加： 即 又,即 即． 故答案为： 5．（2023高一·上海·专题练习）比较下列各组中两数的大小： (1)已知为正数，且，比较与的大小； (2)已知，比较与的大小； (3)已知均为正数，设，，比较和的大小. 【答案】(1)； (2)； (3)（当时，等号成立）； 【分析】利用作差法，将式子整理变形并根据已知数据的范围即可判断出所得式子的符号，即可得出（1）（2）（3）中的结论. 【详解】（1）易知 ； 又因为为正数，且，所以； 即可得， 即； （2）易得 ； 又因为，所以，显然； 所以，即； （3）因为； 又均为正数，所以， 所以， 即，当且仅当时，等号成立； 1．（23-24高二下·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的等价思想，作差分析，结合充分性与必要性进行推理即可. 【详解】由，得， 所以，充分性成立； 由，得，不妨取满足不等式， 所以推不出，从而得不到，必要性不成立. 故选:A. 3．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解. 【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变， 所以，故A正确； 对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变， 所以，故B错误； 对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变， 所以，故C错误； 对于D，若，，此时，故D错误. 故选：A. 4．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先给出作为A，C，D的反例，再直接证明B正确. 【详解】当时，有，，但，，，故A，C，D错误； 由于 ，当且仅当时等号成立，故B正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用不等式的性质证明不等式. 5．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得. 【详解】当时，，所以A错. 当时， ，所以B错. 当时，，所以C错. 若，则，则成立，所以D正确. 故选：D 6．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）如果，那么下列不等式成立的是 ． ①    ②    ③    ④ 【答案】④ 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得， 对于①中，由，所以，所以①不正确； 对于②中，由，所以，所以②不正确； 对于③中，由，所以，所以③不正确； 对于④中，由，所以，所以④正确. 故答案为：④. 7．（23-24高三下·广西南宁·阶段练习）设．将这三者中的最大值记为．当变化时，的最小可能值是 ． 【答案】 【分析】设，然后分和两种情况分析即可. 【详解】不妨设，则只需考虑及两种情形． 若，则，则； 若，即，即，则， 所以当时，取到最小值． 故答案为：. 8．（23-24高三下·上海·开学考试）已知，若对任意，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先举反例说明不成立，得到，再检验即可. 【详解】若，则取，此时，与已知矛盾， 故， 当时，有，满足题意， 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 9．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先得到，并根据得到，从而求出. 【详解】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为： 10．（2022高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用待定系数法得到，再结合同向不等式的可加性求解即可. 【详解】设，可得， 解得，， 因为可得， 所以. 故答案为：. 11．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用作差法比较大小即可证明. 【详解】 ， 因为，所以， 所以. 12．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质推理即得. （2）由（1）的结论，结合不等式的性质推理即得. 【详解】（1）， 由，得，而，，，则， 所以． （2）为的三边长，则有，，， 由（1）知：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以． 13．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 14．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 15．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用作差比较法比较大小即可； （2）先利用表示出，结合的范围可得答案. 【详解】（1）. 因为，所以，， 所以. 因为，都为正数，所以， 因此，当且仅当时等号成立. （2）由题意可设， 则，解得，， 因为， 所以，， 则，故答案为. 学科网（北京）股份有限公司 $$