精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一下学期期中考试数学试卷 一：单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数二倍角公式即可求解. 【详解】由题意得，故A正确. 故选：A. 2. 设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求出共轭复数再判断结果. 【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C． 【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目． 3. 的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】诱导公式变形后由两角差的正弦公式计算． 【详解】． 故选：D． 4. 在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，即， 由余弦定理， 又，所以. 故选：C 5. 已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D 6. 设O在的内部，D为的中点，且，则的面积与的面积的比值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算结合已知可推出，即可判断是的中点，由此可推出三角形面积之间的关系，即可得答案. 【详解】为的中点， ，由得， 是的中点， ， 故的面积与的面积的比值为4. 故选：B 7. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件求出，再由二倍角公式直接求解. 【详解】因为，所以，则. 所以. 故选：D 8. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状. 【详解】在中，由正弦定理得，而， ∴ ，即， 又∵、为的内角，∴， 又∵，∴， ∴由余弦定理得：，∴， ∴为等边三角形. 故选：B. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D. 【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误； 选项B，若，则，解得， 则，故B项正确； 选项C，若，则，所以，故C项正确； 选项D，，则，，， 所以，所以与的夹角不是，故D项错误， 故选：BC 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正余弦定理和已知条件，解三角形，验证各个选项. 【详解】由，有，得，选项A正确． 因为，由正弦定理有，，得，选项B正确． 的面积为，选项C错误． 因为，由余弦定理， 解得，故的周长为，选项D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图像可知：，周期，从而利用周期公式可求出的值，再将点坐标代入解析式可求出的值，从而可得函数解析式，然后利用三角函数的图像和性质逐个分析判断即可 【详解】由图像可知：，周期，∴； 由解得： 故函数 对于A：，故A正确； 对于B：故B正确； 对于C：当时，所以在上不单调．故C错误； 对于D：向右平移个单位得到，再把横坐标伸长为原来的2倍，可得的图象，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加、减法法则及运算律计算可得. 【详解】 . 故答案为： 13. 设，是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量的加法以及共线向量基本定理，求解即可. 【详解】由题意可得. ∵，，三点共线 ∴， ∴ ∴解得 故答案为： 【点睛】本题考查向量的加法以及共线向量基本定理.属于较易题. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，若BC边上的中线长，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据和正弦定理边化角可求cosA，从而求得A、B、C；在△ADC中，利用余弦定理可求CD，从而可求AC、AB，根据即可求得答案． 【详解】∵， ∴由正弦定理得， ∵，∴， ∵，∴，∴，． 设，则DC=DB=x， 在中，由余弦定理得，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 四.解答题：（本题共5小题，共77分.） 15. 若复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（，i是虚数单位）． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1）-3 （2） 【解析】 【分析】（1）由纯虚数的定义建立方程，求解即可； （2）由第二象限的点的特征建立不等式组，求解即可. 【小问1详解】 解：因为z是纯虚数，所以，解得 所以m的值为-3； 【小问2详解】 解：因为z在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 所以m的取值范围为． 16. 已知向量与的夹角，且，． （1）求； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果； （2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值. 【小问1详解】 已知向量与的夹角，且，， 则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 17. （1）已知均为锐角，求的值； （2）在正方形中，为的中点，若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式求出，结合、的范围，求出； （2）用，表示，再由平面向量基本定理计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， 又、为锐角，所以，则， 所以； （2）依题意，， 又， 又，不共线， 所以，所以，即. 18. 已知函数，最小正周期是. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）求在最值及相应的值. 【答案】（1） （2） （3）当时，取得最大值，最大值为1；当时，取得最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）首先根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简函数,利用周期公式求出，得函数解析式； （2）解不等式 ,可得单调增区间； （3）由,结合函数的单调性可得在上的最大值和最小值，及对应的自变量取值. 【小问1详解】 由已知得， 因为最小正周期是， 所以， 所以； 【小问2详解】 令，因为的单调递增区间是，则由，解得， 所以的单调递增区间是； 【小问3详解】 由（2）可知在单调递增，则在单调递减， 又因为， 所以当时，取得最大值，最大值为1，当时，取得最小值，最小值为. 19. 已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，求的面积的最大值； （3）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，即可得解； （2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得； （3）结合（2）的结论求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 因为，，且， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以； 小问2详解】 因为，， 由余弦定理，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的面积的最大值为； 【小问3详解】 由（2）可知， 则，又， 所以，即，显然， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即的周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期中考试数学试卷 一：单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. （　　） A. B. C. D. 2. 设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的值为（　　） A. B. C. D. 4. 在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ） A B. C. D. 6. 设O在的内部，D为的中点，且，则的面积与的面积的比值为( ) A. 3 B. 4 C 5 D. 6 7. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数单调递减 D. 该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______ 13. 设，是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则_______. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，若BC边上的中线长，则的面积为________． 四.解答题：（本题共5小题，共77分.） 15. 若复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（，i是虚数单位）． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围． 16. 已知向量与的夹角，且，． （1）求； （2）与的夹角的余弦值． 17. （1）已知均为锐角，求的值； （2）在正方形中，为的中点，若，求的值. 18. 已知函数，最小正周期是. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）求在最值及相应的值. 19. 已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求的周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$