第07讲 基本不等式（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第07讲 基本不等式（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式求积的最大值 题型四 基本不等式求和的最小值 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型六 条件等式求最值 题型七 基本不等式的恒成立问题 题型八 对勾函数求最值 题型九 基本（均值）不等式的应用 题型十 基本不等式的内容及辨析 题型十一 基本不等式“1”的妙用求最值 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【典型例题一 由基本不等式比较大小】 1．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一·江苏·专题练习）比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 4．（2023高一·上海·专题练习）已知，其中，，其中，则之间的大小关系是 . 5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 【典型例题二 由基本不等式证明不等关系】 1．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）设，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·全国·课后作业）若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）当时，下列不等关系成立的是 ． ①；②； ③；④. 5．（22-23高一·全国·课堂例题）设，为正数，证明下列不等式： (1)； (2)． 【典型例题三 基本不等式求积的最大值】 1．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 2．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 4．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）． 5．（22-23高一·全国·随堂练习）设x，y是满足的正数，求的最大值． 【典型例题四 基本不等式求和的最小值】 1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 2．（23-24高二·全国·竞赛），则两数中（    ）. A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 3．（2024高二下·天津河东·学业考试）已知，的最小值为 ． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）利用基本不等式求最值 已知，，则： （1）如果和等于定值s，那么当时，积xy有最大值 ； （2）如果积xy等于定值p，那么当时，和有最小值 ． 5．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）当时，求函数最小值. 【典型例题五 二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 3．（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 . 4．（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 5．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【典型例题六 条件等式求最值】 1．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 5．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）若正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【典型例题七 基本不等式的恒成立问题】 1．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2024高二上·广东·学业考试）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 4．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知，且 (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【典型例题八 对勾函数求最值】 1．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 2．（23-24高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 3．（22-23高二下·福建三明·期中）已知实数，，则的最小值是 . 4．（2023高三·全国·专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 5．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数x，y满足，求的最小值. 【典型例题九 基本（均值）不等式的应用】 1．（23-24高二上·江苏苏州·期中）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 3．（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元. 4．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 5．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【典型例题十 基本不等式的内容及辨析】 1．（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 2．（23-24高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一·上海·专题练习）已知正数a、2b的算术平均值是2，则a、b的几何平均值的最大值为 . 4．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则 ． 5．（23-24高一·江苏·课后作业）甲、乙两同学分别解“设，求函数的最小值”的过程如下： 甲：，又，所以. 从而，即y的最小值是. 乙：因为在区间上的图象随着x增大而逐渐上升，即y随x增大而增大，所以y的最小值是. 试判断谁错，错在何处？ 【典型例题十一 基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高一下·湖南·期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 4．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若，，且，则的最小值为 ． 5．（22-23高一上·陕西西安·期末）求下列式子的最小值. (1)已知，求； (2)已知，且，求的最小值. 【变式训练1 由基本不等式比较大小】 1．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 3．（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 【变式训练2 由基本不等式证明不等关系】 1．（2023高二上·新疆·学业考试）若，且，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知且，下列各式中最大的是 .(填序号) ①；②；③；④. 3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【变式训练3 基本不等式求积的最大值】 1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 2．（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 3．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）已知. (1)若，求b的取值范围； (2)求的最大值. 【变式训练4 基本不等式求和的最小值】 1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ． 3．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【变式训练5 二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 3．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【变式训练6 条件等式求最值】 1．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知，，，则的最小值是 ． 3．（2024·全国·二模）已知实数，满足. (1)求证：； (2)求的最小值. 【变式训练7 基本不等式的恒成立问题】 1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 2．（23-24高一上·陕西汉中·期中）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是 3．（22-23高一上·陕西安康·期末）已知，，. (1)求的最小值并说明取得最小值时，满足的条件； (2)，恒成立，求的取值范围. 【变式训练8 对勾函数求最值】 1．（23-24高一上·山东青岛·期中）若使得不等式成立，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三·全国·课后作业）设，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·山东枣庄·期中）求下列各式的最小值： (1)已知正实数，满足，求的最小值. (2)设，求函数的最小值. 【变式训练9 基本（均值）不等式的应用】 1．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    3．（23-24高一上·上海·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 【变式训练10 基本不等式的内容及辨析】 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）对于给定的正数，如果，则有最小值 ，当且仅当 时取最小值. 3．（23-24高一上·全国·期中）已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值.下面是某位同学的解答过程： 解：因为，所以，根据均值不等式有 其中等号成立当且仅当，即，解得或（舍）， 所以的最小值为， 因此，当时，取得最小值. 该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程. 【变式训练11 基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为 3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）（1）设，且，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 1．（23-24高二上·广东湛江·期中）若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 6．（上海市奉贤区2023-2024学年高三下学期高三三模数学试卷）若，则有最大值为 ． 7．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）若，且，则的最小值为 . 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 9．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为 . 10．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为 . 11．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，求证： (1)； (2)． 12．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由． (2)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值． 13．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 14．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 15．（23-24高一上·青海海东·期中）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 基本不等式（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式求积的最大值 题型四 基本不等式求和的最小值 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型六 条件等式求最值 题型七 基本不等式的恒成立问题 题型八 对勾函数求最值 题型九 基本（均值）不等式的应用 题型十 基本不等式的内容及辨析 题型十一 基本不等式“1”的妙用求最值 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【典型例题一 由基本不等式比较大小】 1．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出平均速度可判断AB；利用基本不等式可判断CD. 【详解】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式的推导式结合作差法可直接判定结果.其余选项可用举反例和做差法来判定. 【详解】由于，可得，可知选项A错误，选项B正确； 可得则，可知选项C错误； 正负不定， 则大小不定，可知选项D错误. 故选项：B. 3．（2023高一·江苏·专题练习）比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 4．（2023高一·上海·专题练习）已知，其中，，其中，则之间的大小关系是 . 【答案】 【分析】分别求得的范围即可比较之间的大小关系. 【详解】因为,所以， 又因为， 所以，当且仅当时取等号， 由，得， 所以， 综上可知. 故答案为： 5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 【答案】(a-c)≥4 【分析】由a-c=(a-b)+(b-c)得(a-c)＝[(a-b)+(b-c)]，利用基本不等式求得最小值即可判断． 【详解】(a-c)≥4，理由如下： 因为a-c=(a-b)+(b-c)， 所以[(a-b)+(b-c)] =2++， 又a>b>c，所以+≥2， 故(a-c)≥4， 当且仅当=时，取等号. 【典型例题二 由基本不等式证明不等关系】 1．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，利用基本不等式进行求解. 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，，B错误； C选项，当时，，，C错误； D选项，当时，，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到， 故，D正确. 故选：D 2．（22-23高一上·全国·课后作业）若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可. 【详解】因为，显然有，故A正确； 而，所以，故B正确； 又，所以，故C正确； 不妨令则，故D错误. 故选：D. 3．（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）当时，下列不等关系成立的是 ． ①；②； ③；④. 【答案】③ 【分析】①根据基本不等式的性质进行判断；②④可举出反例；③可由推出. 【详解】①根据基本不等式，只有当时，才有，①错误； ②当时，，故②错误； ③因为，所以，③正确； ④当时，，④错误． 故答案为：③ 5．（22-23高一·全国·课堂例题）设，为正数，证明下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】运用基本不等式对（1）（2）进行证明即可. 【详解】（1）因为，均为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立． （2）因为，为正数，所以，也为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立． 【典型例题三 基本不等式求积的最大值】 1．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用基本不等式直接求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 2．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式直接计算即可. 【详解】由题意得，，则， ，即， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 3．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用已知条件结合基本不等式即可求解． 【详解】正实数x，y满足，所以，解得. 当且仅当，即时取等号，所以最大值为． 故答案为：． 4．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】因为是正实数，，所以， 当且仅当时取等号，于是， 所以的最大值为. 故答案为： 5．（22-23高一·全国·随堂练习）设x，y是满足的正数，求的最大值． 【答案】50 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为x，y是正数，且， 所以，即，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为50. 【典型例题四 基本不等式求和的最小值】 1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 2．（23-24高二·全国·竞赛），则两数中（    ）. A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得，可得结论. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以至少有一个不小于2. 故选：C. 3．（2024高二下·天津河东·学业考试）已知，的最小值为 ． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）利用基本不等式求最值 已知，，则： （1）如果和等于定值s，那么当时，积xy有最大值 ； （2）如果积xy等于定值p，那么当时，和有最小值 ． 【答案】 5．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）当时，求函数最小值. 【答案】 【分析】利用基本不等式，结合添项减项法即可得解. 【详解】因为，则， 则. 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数的最小值为. 【典型例题五 二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 3．（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 5．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）二次除一次后，可直接用基本不等式求最值； （2）配凑法形成积定后即可用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为且, 所以， 当且仅当，即时，y取到最小值. （2），，， ， 当且仅当时，即时取得等号， ，即最大值为. 【典型例题六 条件等式求最值】 1．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 2．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用不等式求解的最大值. 【详解】因为，， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合换元法解一元二次方程即可. 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 5．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）若正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用基本不等式进行求解即可； （2）根据已知等式，进行常值代换、结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为正数满足， 所以有，当且仅当时取等号， 即当时，有最大值 （2）因为正数满足， 所以有， 于是有， 当且仅当时取等号， 即当且仅当时，有最小值. 【典型例题七 基本不等式的恒成立问题】 1．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以有最小值为， 因为不等式在上恒成立， 所以，解得，所以的最小值为4， 故选:C. 2．（2024高二上·广东·学业考试）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为18，可得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 【答案】1或2 【分析】利用基本不等式求得的最小值，结合不等式恒成立，即可求得. 【详解】当时，，当且仅当时，取得等号； ，若恒成立，即，又为正整数，故或. 故答案为：或. 4．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为，再利用基本不等式求的最小值可得答案. 【详解】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 5．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知，且 (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）由题意可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值， （2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， （2）因为（）恒成立， 所以恒成立， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 所以，所以的最大值为. 【典型例题八 对勾函数求最值】 1．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据函数形式结合基本不等式求解函数最小值即可. 【详解】解：函数中 所以，当且仅当时，即时取等号. 所以函数的最小值为. 故选：C. 3．（22-23高二下·福建三明·期中）已知实数，，则的最小值是 . 【答案】3 【分析】构造成对勾函数的形式,结合基本不等式来解. 【详解】,令,则, 当且仅当即时等号成立.故的最小值为3. 故答案为：3 4．（2023高三·全国·专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 5．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数x，y满足，求的最小值. 【答案】（1）0；（2）. 【分析】（1）由，应用基本不等式求函数最大值，注意取值条件； （2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由，则 当且仅当时等号成立， 所以函数最大值为0. （2）由， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 【典型例题九 基本（均值）不等式的应用】 1．（23-24高二上·江苏苏州·期中）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克， ，解得， ，当且仅当时，取到等号， 由于，所以. 故选：B 2．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由不等式的性质以及基本不等式即可求解. 【详解】由题意均为正实数，， 所以， 左边第一个不等号成立的条件是，右边第二个不等号成立的条件是， 综上所述，当且仅当时，取最小值，且. 故选：B. 3．（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元. 【答案】 【分析】设水池池底的一边长为，则另一边长为，由题意表示出总造价的函数式，化简后可利用基本不等式求出最小值，注意判断取最值时的取值是否存在. 【详解】因为水池的容积为，深为，所以底面积为， 设水池池底的一边长为，则另一边长为， 则总造价 （元）. 当且仅当，即时，取最小值为. 所以水池的最低造价为元. 故答案为：. 4．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】是的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 故答案为：. 5．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【典型例题十 基本不等式的内容及辨析】 1．（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 【答案】A 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，当时，，所以B选项错误. C选项，当时，，所以C选项错误. D选项，当时，，不成立，所以D选项错误. 故选：A 2．（23-24高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 3．（2023高一·上海·专题练习）已知正数a、2b的算术平均值是2，则a、b的几何平均值的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，结合几何平均值和算术平均值的定义，即可求解． 【详解】a、2b，均为正数，∴是a、2b的算术平均值， 则有，即，∴， 即，，当且仅当a＝2b，且a+2b＝4，即a＝2，b＝1时取等号， 是a、b的几何平均值，则a、b的几何平均值的最大值为． 故答案为：. 4．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则 ． 【答案】6 【分析】化简不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值. 【详解】由题意，由，得， 即，故． 又，所以， 当且仅当即时，等号成立， 此时，解得或，则， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一·江苏·课后作业）甲、乙两同学分别解“设，求函数的最小值”的过程如下： 甲：，又，所以. 从而，即y的最小值是. 乙：因为在区间上的图象随着x增大而逐渐上升，即y随x增大而增大，所以y的最小值是. 试判断谁错，错在何处？ 【答案】甲错乙对，理由见解析. 【分析】由基本不等式成立的条件可得甲的解法是错误的，由单调性的知识可得乙的解法是正确的. 【详解】对于甲，，等号成立的条件是，即， 又 是在时取到，所以等号不能同时成立， 所以时，利用基本不等式得是错误的，故甲的解法是错误的； 对于乙，在区间上单调递增，所以当时，，故乙的解法是正确的. 【典型例题十一 基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选项A，将平方后与相乘，化简后利用基本不等式可求出最小值；选项B，利用不等式可求出的最大值；选项C和D，将选项与题设条件相乘，化简后利用基本不等式可求出最小值. 【详解】对于选项A， ， 当且仅当且即时，等号成立， 所以，， 故A正确； 对于选项B，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以，解得， 故B正确； 对于选项C，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 故C错误； 对于选项D，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 故D正确； 故选：C. 2．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解. 【详解】，， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 3．（23-24高一下·湖南·期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 【答案】 / / 【分析】巧用“1“可得答案. 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值16. 故答案为：①，②. 4．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用“1”的变形，结合基本不等式即可求解. 【详解】， 当，即，联立，得到时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9 5．（22-23高一上·陕西西安·期末）求下列式子的最小值. (1)已知，求； (2)已知，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为； （2）解：由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 【变式训练1 由基本不等式比较大小】 1．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 2．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确. 【详解】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 3．（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 【答案】 【分析】先利用基本不等式判断最大数为或，再做差判断正负可得出最大的数. 【详解】因为，，所以，， 所以四个数中最大的数应为或； 又因为，，所以 所以，所以最大. 【变式训练2 由基本不等式证明不等关系】 1．（2023高二上·新疆·学业考试）若，且，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，由重要不等式，三个同向不等式相加可得；选项B，由可得；选项CD，特值法排除. 【详解】选项A，∵，，， ∴， ∴， ∴．当且仅当时取等号，故A错误； 选项B，由， 则，故B正确； 选项C，当时，， 但，不满足，故C错误； 选项D，当时，， 但，不满足，故D错误. 故选：B. 2．（2023高三·全国·专题练习）已知且，下列各式中最大的是 .(填序号) ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】根据不等式的性质和基本不等式可以得到相关结论. 【详解】因为，所以，，，， 所以，，当时， 由基本不等式可知，所以， 由上可知，，，所以四个式子中最大． 故答案为：④. 3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【变式训练3 基本不等式求积的最大值】 1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 2．（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解. 【详解】设，则，， 当且仅当，时，等号成立， 故. 令，解得，， 所以，当，时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 3．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）已知. (1)若，求b的取值范围； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，消元可得关于的不等式，求解即可； （2）根据均值不等式可得，再由均值不等式可得，注意等号成立条件即可求出最值. 【详解】（1）因为，所以且， 所以，则，解得， 又，所以的取值范围为. （2）， 即， 当且仅当，时，等号成立. ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为. 【变式训练4 基本不等式求和的最小值】 1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 故. 故选：C 2．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得. 【详解】由，则， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 3．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 【变式训练5 二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 3．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）3. 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9. （2）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3. 【变式训练6 条件等式求最值】 1．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围. 【详解】因为，，则，所以． 又， 即，即，解得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为. 故选：D． 2．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知，，，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】可通过基本不等式将等式转化为不等式，然后解不等式即可. 【详解】因为，，所以，即； 可解得，或，因为，，舍去.的最小值为8. 故答案为：8 3．（2024·全国·二模）已知实数，满足. (1)求证：； (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边平方后利用基本不等式证明； （2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由得， 当且仅当时等号成立， 所以； （2）由已知，则， 则 ， 当且仅当，即一个为，一个为时等号成立. 所以的最小值. 【变式训练7 基本不等式的恒成立问题】 1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【详解】，，变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中      当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2．（23-24高一上·陕西汉中·期中）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是 【答案】 【分析】利用基本不等式 求出在上的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（22-23高一上·陕西安康·期末）已知，，. (1)求的最小值并说明取得最小值时，满足的条件； (2)，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)最小值，当，满足时取得最小值. (2)实数的取值范围是. 【分析】（1）将化为，展开后由基本不等式进行求解； （2）将化为，使用基本不等式求出最小值即可求解 【详解】（1）∵， ∴， ∵，，∴，， ∴由基本不等式，有， 当且仅当，即时，等号成立， ∴， 即的最小值为，当且仅当时，取得最小值. （2）由已知， ， 当时，由基本不等式，有， 当且仅当，即时等号成立， ∴， 即已知，当且仅当时，取最小值，， 又∵恒成立， ∴， ∴实数的取值范围是. 【变式训练8 对勾函数求最值】 1．（23-24高一上·山东青岛·期中）若使得不等式成立，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知只需即可. 【详解】由题意知使得不等式成立，只需即可，当时，故 当且仅当即时取“=”，故 故应选：A 2．（22-23高三·全国·课后作业）设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性，分别求得和时的取值范围，即可得答案. 【详解】设函数，则当时，单调递增，此时； 当时，单调递减，此时， 故，则的取值范围是， 故答案为： 3．（23-24高一上·山东枣庄·期中）求下列各式的最小值： (1)已知正实数，满足，求的最小值. (2)设，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由已知可得，，展开后利用基本不等式可求； (2)根据函数的形式，换元：设，将原函数变为对勾函数类型进行求解﹒ 【详解】（1）正实数，满足， ， 当且仅当且即，时取得最小值； （2）令，则，当且仅当时取最小值﹒ 【变式训练9 基本（均值）不等式的应用】 1．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据杠杆原理可得，，进而可根据基本不等式求解. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，则有，，即 ，， 所以，， 又因为，所以. 故选：A 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    【答案】 【分析】先求出面积的表达式，再根据基本不等式即可得解. 【详解】由题意米， 则直角梯形花坛的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当米时，直角梯形花坛的面积最大． 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 【答案】(1)， (2)当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围； （2）由基本不等式求出总面积最小值. 【详解】（1）单个矩形栏目的长度为， ， （2）由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 【变式训练10 基本不等式的内容及辨析】 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）对于给定的正数，如果，则有最小值 ，当且仅当 时取最小值. 【答案】 . 3．（23-24高一上·全国·期中）已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值.下面是某位同学的解答过程： 解：因为，所以，根据均值不等式有 其中等号成立当且仅当，即，解得或（舍）， 所以的最小值为， 因此，当时，取得最小值. 该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程. 【答案】有错误；答案见解析. 【解析】由基本不等式适用的条件：“一正、二定、三相等”即可求解. 【详解】错误原因表述为：不是定值，所以取得最小值不一定在处取得， 或举反例当时，，说明是最小值是错误的都可以. 正确解答为： 因为，所以， 由均值不等式有 其中等号成立当且仅当，解得或（舍）， 因此，当时，取得最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【变式训练11 基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 2．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为 【答案】 【分析】先对进行等式变形，利用把原式化简为，再利用均值不等式可得，然后由函数在区间上是单调递减，即可得到最小值为. 【详解】由， 因为，所以上式， 又因为，，由均值不等式得：， 利用函数在区间上是单调递减可知： ， 当且仅当时取到最小值. 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）（1）设，且，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）利用基本不等式“1”的妙用即可得解； 【详解】（1），，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2），，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 1．（23-24高二上·广东湛江·期中）若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式可得，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】因为，即， 当且仅当时等号成立， 所以． 故选：C． 3．（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意知，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 6．（上海市奉贤区2023-2024学年高三下学期高三三模数学试卷）若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 7．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）若，且，则的最小值为 . 【答案】/0.8 【分析】运用基本式中的“1”的活用，即可得出结果． 【详解】，，， ， ， ，当且仅当时，即时取等号． 故答案为：． 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 9．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 10．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 11．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式先证，然后变形即可得证； （2）将已知变形为，然后利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）∵， ∴，即， 当且仅当，即，时取等号． 又，∴． （2）∵， ∴，即， 当且仅当，即，时取等号． 故． 12．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由． (2)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)最小值为8，此时 【分析】（1）利用作差法得到，进而即可比较； （2）依题意可得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）由， 又，， 则， 所以． （2）由， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8，此时． 13．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）利用基本不等式，结合换元法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 则，当且仅当，即时，取到等号， 所以的最大值为； （2）因为，所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取到等号， 所以的最小值为. 14．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 【答案】（1）5；（2）9 【分析】（1）通过配凑，然后利用基本不等式直接求解可得. （2）利用基本不等式“1”的妙用求解可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最小值为5； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为9. 15．（23-24高一上·青海海东·期中）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1，分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可. 【详解】（1）由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； （2）由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 学科网（北京）股份有限公司 $$