期末预测能力卷 -2023-2024学年高一年级数学必修第二册单元复习（新高考人教A版专用）

期末预测能力卷（新高考人教A版专用） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·山东·模拟预测）已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，，649，650．从中抽取50个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（    ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78  90  56  42 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68  96  08  04 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77  89  23  45 A．007 B．253 C．328 D．860 3．（20-21高一·全国·课后作业）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（    ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 6．（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图所示，中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·四川成都·期中）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． 10．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A．若，，，则符合条件的有两个 B．若，，，则符合条件的有且只有一个 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则一定是等腰三角形 11．（2024·浙江·三模）在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当，四棱锥的外接球的表面积是 C．周长的最小值为 D．若，则点的轨迹长为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 13．（2024高一下·全国·专题练习）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为 . 14．（23-24高二下·重庆·期中）已知平面非零向量满足:，且与的夹角为，则在所有的情况中，的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高一下·全国·专题练习）设锐角的内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求. 16. (15分) （23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算） 17. (15分) （23-24高一下·浙江衢州·期末）2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中. (1)求图中的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？ (3)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差. 18. (17分) （ 23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在棱长均为2的正三棱柱 中， E为 的中点．过AE的截面与棱 分别交于点F， G．    (1)若F为 的中点，求三棱柱被截面AGEF分成上下两部分的体积比 (2)若四棱锥的体积为 求截面 AGEF 与底面ABC所成二面角的正弦值； (3)设截面AFEG的面积为 面积为S₁，△AEF面积为 当点F在棱 上变动时，求 的取值范围． 19. (17分) （23-24高二上·浙江杭州·期中）在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； (2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末预测能力卷（新高考人教A版专用） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·山东·模拟预测）已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，，649，650．从中抽取50个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（    ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78  90  56  42 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68  96  08  04 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77  89  23  45 A．007 B．253 C．328 D．860 3．（20-21高一·全国·课后作业）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（    ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 6．（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图所示，中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·四川成都·期中）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． 10．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A．若，，，则符合条件的有两个 B．若，，，则符合条件的有且只有一个 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则一定是等腰三角形 11．（2024·浙江·三模）在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当，四棱锥的外接球的表面积是 C．周长的最小值为 D．若，则点的轨迹长为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 13．（2024高一下·全国·专题练习）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为 . 14．（23-24高二下·重庆·期中）已知平面非零向量满足:，且与的夹角为，则在所有的情况中，的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高一下·全国·专题练习）设锐角的内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求. 16. (15分) （23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算） 17. (15分) （23-24高一下·浙江衢州·期末）2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中. (1)求图中的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？ (3)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差. 18. (17分) （ 23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在棱长均为2的正三棱柱 中， E为 的中点．过AE的截面与棱 分别交于点F， G．    (1)若F为 的中点，求三棱柱被截面AGEF分成上下两部分的体积比 (2)若四棱锥的体积为 求截面 AGEF 与底面ABC所成二面角的正弦值； (3)设截面AFEG的面积为 面积为S₁，△AEF面积为 当点F在棱 上变动时，求 的取值范围． 19. (17分) （23-24高二上·浙江杭州·期中）在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； (2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 参考答案： 1．D 【分析】设，然后由已知条件列方程组可求出，,从而可求出 【详解】设，则由，得， 由，得，即， 所以，化简整理得，得， 所以，得， 所以， 故选：D 2．A 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次，读取到第4个即可. 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313， 第三个数是457，下一个数是860，不符合要求， 下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，故A正确. 故选：A. 3．B 【分析】AD选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B选项，求出两事件的概率；C选项，两事件不是同一事件，C错误. 【详解】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误； B选项，，故B正确； C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误． 故选：B． 4．B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 5．D 【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中心，再求出三棱锥的高,利用勾股定理即可求解外接球半径. 【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为 ， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点， 如图，过球心作的垂线交于， 则， 又因为，所以， 又与相似，所以， 所以， 因为外接圆的半径为， 正三棱锥外接球的球心在上，设半径为， 所以，即， 解得. 故选：. 6．A 【分析】根据题意，把为基底，用它表示，再由余弦定理可求，从而由平面向量的数量积求解即可. 【详解】由题意， ， . 在中，由余弦定理得. 所以 . 故选：A. 7．D 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 【点睛】关键点睛：将甲最终获胜事件拆解为互斥事件的和，利用加法公式、乘法公式进一步得解. 8．C 【分析】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D. 【详解】如图， 连接，由分别为中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点， 所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，， 设确定平面为，则，所以，所以， 则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点， 因为平面，平面， 又平面平面，所以，所以与重合， 即、、三线共点于，故D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用共面的判定，结合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截面的图形，是解决C选项的关键所在，需要有较强的推理能力. 9．ABC 【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误. 【详解】对于A: 从中任取100件，可能有10件，A错误； 对于B: 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误； 对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误； 对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确. 故选: ABC. 10．AB 【分析】对于A，解出可能的即可；对于B，求出可能的即可；对于C，给出反例即可；对于D，给出反例即可. 【详解】对于A，由余弦定理可知，即. 所以或，经验证和均满足条件，从而的三边共有两种可能的取值情况，所以A正确； 对于B，由余弦定理可知，即，且经验证符合条件，从而的三边有唯一的取值情况，所以B正确； 对于C，若，则是直角三角形，但，所以C错误； 对于D，若，则不是等腰三角形，但此时由可知，故，所以D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用余弦定理确定三角形的三边取值情况数量，进而确定满足条件的三角形数量. 11．ABD 【分析】A选项，先得到，故点在线段上，证明出，所以三棱锥为定值；B选项，点为线段的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径和外接球面积；C选项，取线段的中点，由对称性知，，数形结合得到，从而得到周长的最小值；D选项，由得到点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，求出圆的半径，得到轨迹长度. 【详解】A选项，当时，， 故，即， 故点在线段上， 连接，与相交于点，则为的中点，连接， 因为为的中点，所以，故三棱锥的体积为定值，A正确； B选项，当时，由A选项可知，，点为线段的中点， 连接相交于点，则⊥平面， 设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线， 其中，设，则， 由勾股定理得，即， 解得， 则表面积是，B正确； C选项，点在矩形及其内部，取线段的中点， 由对称性知，， ，此时三点共线， 又， ，C错误； D选项，因为 ，又点在矩形及其内部， 点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形， 又⊥平面，且， 故 ， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分， 如图，其中，， 故， 则， 则， 则轨迹长为，D正确. 故选：ABD 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 12．1 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 13． 【分析】根据极差求得的值，计算，根据百分位数的含义即可确定答案即可. 【详解】由题意得，数据的极差为，因为数据中最小值为， 故应为最大值，为81，则 ， 将数据从小到大排列为： ， 故这组数据的第百分位数为第九个数据. 故答案为：79 14．2 【分析】建立如图平面直角坐标系，设．根据向量数量积的坐标表示求得，进而或，分类讨论结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】令．建立如图平面直角坐标系，    不妨设． ， ，则， ． ．由，得或， 根据对称性，只研究的情况，因为，要求的最小值， 只需求，当时，， 当时，， 综上，的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键是先确定出或，分情况讨论，求得. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及角的取值范围，即可求解； （2）根据（1）的结论，再结合余弦定理，即可求解． 【详解】（1）， 由正弦定理可得，则， 又在中，，， 又为锐角三角形，． （2）在中，，， 由（1）知，， 所以由余弦定理，， 则． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造底面的中心并证明，再使用线面平行的判定定理； （2）证明，，然后直接计算即可. 【详解】（1） 已知底面是菱形，如图，设其中心为，则是线段和的中点. 由于是的中点，故，而在平面内，不在平面内，所以平面. （2）我们有，. 而是的中点，所以，，从而二面角的正切值就是. 而由于，， 故. 所以二面角的正切值为. 17．(1)，79.5 (2)合格 (3)平均值为86，方差为96 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求出a，进而即可求出平均数； （2）先确定40%分位数的位置，再由频率分布直方图求出百分位数，即可下结论； （3）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差. 【详解】（1）由题意知， 估计满意度得分的平均值 （2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75 又由满意度在的频率为，满意度在的频率为 知40%分位数位于 由 可以估计40%分位数为 有超过60%的人满意度在75分及以上，衢州市5月份文旅成绩合格了 （3）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数 由方差的定义，总样本方差为 总样本平均值为86，总样本方差为96 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）可以连接，并延长，通过三角形相似得出为靠近的三等分点，然后将要求的几何体分割成几个锥体，转换底面计算即可； （2）先求出点到平面的距离，得到为靠近的四等分点．然后通过平面与平面垂直的性质证所做出的角是二面角的平面角，在直角三角形中用三边关系求解即可； （3）可以设，，先表示与的关系，再用表示. 【详解】（1）连接，并延长，交于点，交的延长线于点，连接交于点，连接，.    易得. 故为靠近的三等分点. 得到，. 下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比． 三棱柱的体积. 连接，，由平面知，. . . 故. （2）由及可得，可得； 即点到平面的距离为，即到的距离为，为靠近的四等分点． 因为平面平面， 所以截面与平面所成角即为截面与平面所成角，在中，，，故. 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面，平面，，则即为截面与底面所成的二面角的平面角． 在直角中，，，；. 因此，截面与平面所成二面角的正弦值为. （3）设，，. 设的面积为，可得.又因为，所以. 令则，； 当时，单调递减，，. 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：用几何法求锥体的体积时，有两个很实用的方法： 方法一：可以用转换底面的方法将锥体转换到较为容易计算的底面和高； 方法二：当锥体的顶点在与锥体的底面平行的直线上运动时，则锥体的体积是不变的. 19．(1)； (2)事件A与事件B不互相独立，证明见解析. 【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率； （2）利用事件的相互独立性计算，，，利用独立事件的概率公式验证. 【详解】（1）重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为： (1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 故“至少收到两次1”的概率为：. （2）事件A与事件B不互相独立，证明如下： 若依次发送1，1， 0， 则三次都没收到正确信号的概率为， 故至少收到一个正确信号的概率为； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为： (0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故， 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为： (0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故， 因为，所以事件A与事件B不互相独立. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$