专题1.2 集合间的基本关系【6题型2角度】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修第一册）

1.2 集合间的基本关系（原卷版） 知识点1：子集与真子集 2 知识点2：集合相等与空集 3 知识点3：集合间关系的性质 3 题型1：集合间关系的表示及判断 3 角度1：用恰当的符号表示集合间的关系 3 角度2：集合间关系的判断 4 题型2：集合相等的判断 5 题型3：确定集合的子集、真子集 6 题型4：空集的判断及应用 8 题型5：由集合间关系求参数 9 题型6：集合间关系的探索问题 10 学习目标导航 关键词 1.理解集合之间的包含与相等的含义（重点）. 2.能识别给定集合的子集，了解空集的含义（难点）. 3.能进行自然语言、图形语言（ Venn 图）符号语言间的转换 ① Venn 图 ② 包含、相等 ③ 空集、子集、真子集 知识点1：子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作（或)，读作“A包含于B”（或“B包含A”） 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即； （2）对于集合A，B，C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作（或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. （2）不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. （3）特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. （4）对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. （5）若AB，且A≠B，则AB. 知识点2：集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 （1）定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. （2）规定：空集是任何集合的子集. 3．Venn图的优点及其表示 （1）优点：形象直观. （2）表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 知识点3：集合间关系的性质 集合间关系的性质： （1）任何一个集合都是它本身的子集，即AA. （2）对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. （3）若AB，A≠B，则AB. 题型1：集合间关系的表示及判断 角度1：用恰当的符号表示集合间的关系 【典例1】设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 方法总结：正确区别两种关系，恰当使用两类符号 1. 元素与集合间的关系是属于关系，应用符号“∈”与“”来表示； 2. 集合与集合间的关系是包含关系，应用符号“”与“”来表示 【变式1-1】若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【变式1-3】以下五个式子中，错误的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．5 B．2 C．3 D．4 角度2：集合间关系的判断 【典例2】若集合，，则集合M、N之间的关系是 ． 方法总结：判断集合间关系的常用方法 1. 列举观察法：当集合中元素较少时，可列出其全部元素，依据定义得出集合之间的关系 2. 集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系，一般地，设A={x|p(x)}，B={x|q（x）}，①若由p(x)可推出q(x)，则AB；②若由q(x)可推出p(x)，则BA；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A=B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A、B无包含关系 3. 数形结合法：利用Venn图、数轴和平面直角坐标系等图示形象直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴 【变式2-1】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】集合A＝{y|y＝x2+3x+1}，B＝{y|y＝x2﹣3x+1}，则集合A与集合B之间的关系是 （用⊆、⊂、＝来表示） 【变式2-3】若集合，，则集合A与B的关系是 ． 题型2：集合相等的判断 【典例3】设 (1)证明： (2)证明 方法总结：判断两个集合是否相等 1.若两集合A，B均为有限集，只要两集合的元素个数相等，且元素相同，则两集合相等 2.若两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，一致，则两集合相等，即A=B. 3.利用子集关系，证明AB，且BA 【变式3-1】设集合，，求证：. 【变式3-2】已知集合，集合，试证明． 【变式3-3】已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，，使. 题型3：确定集合的子集、真子集 【典例4】已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 方法总结：子集、真子集个数的确定方法 1. 当一个集合的元素个数较少时，我们可以一一列举出子集，从而求出子集与真子集的个数，注意别漏掉空集. 2. 当一个集合的元素个数比较多时，一一列举子集不太现实，对于其子集个数有如下结论： ①含n个元素的集合有2n个子集，有（2n-1）个真子集，有（2n-1）个非空子集，有（2n-2）个非空真子集. ②若集合A有n（n>1）个元素，集合C有m(m>n）个元素，且ABC，则符合条件的集合B有2m-n个 【变式4-1】已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【变式4-2】已知全集，集合． (1)若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M； (2)集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由． 【变式4-3】已知集合，.若，求实数的取值范围. 题型4：空集的判断及应用 【典例5】已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 方法总结：空集的性质及理解 1. 空集的性质 （1）空集是任何集合的子集，即ØA(A是任意集合，包括空集） （2）空集是任何非空集合的真子集，即Ø≤A(A是非空集合） 【特别提示】根据以上对空集的规定，所以在遇到“AB”或“AB且B≠∅”时，一定要注意分A=∅和A≠Ø两种情况讨论，这里A=Ø的情况易被忽视，因此应注意理解式子： 2. 辨析 Ø与0 Ø与｛0｝ Ø与｛Ø｝ 相同点 都表示无的意义 都是集合 都是集合 不同点 Ø是集合，0是实数 Ø表示不含有任何元素； ｛0｝含有1个元素0 Ø不含任何元素； ｛∅｝含有一个元素，该元素是∅ 关系 0∈Ø ØÞ｛0｝ ØÞ｛Ø｝或Ø∈｛Ø｝ 【变式5-1】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【变式5-2】已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【变式5-3】已知集合，或 . (1)若为非空集合，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型5：由集合间关系求参数 【典例6】已知集合. (1)若，求，的值； (2)若，且，求，的值. 方法总结：已知两个集合之间的关系求参数的策略 1. 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解 2. 若集合为不等式的解集，常借助数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意区间端点处的值是否可取；若集合用列举法表示，可依据元素间的关系转化为方程（组）求解 3. 要注意验证结果 （1）分类讨论求得的参数值，需要代入原集合中看是否满足互异性； （2）要检验所求参数能否取到端点值. 【变式6-1】已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式6-2】已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，则p= ，q= ． 【变式6-3】若某含有三个元素的集合可表示为，也可表示为，求实数a和b的值． 题型6：集合间关系的探索问题 【典例7】已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． 方法总结：探索存在型问题的思路 （1）明确探究的目标是什么，其中哪一个集合是确定的，哪一个集合是需要探索其存在的； （2）重视对空集的讨论； （3）依据集合间的关系对参数进行分类讨论； （4）对结果进行验证. 【变式7-1】集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 【变式7-2】已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【变式7-3】关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的基本关系（解析版） 目录 知识点1：子集与真子集 1 知识点2：集合相等与空集 2 知识点3：集合间关系的性质 3 题型1：集合间关系的表示及判断 3 角度1：用恰当的符号表示集合间的关系 3 角度2：集合间关系的判断 5 题型2：集合相等的判断 6 题型3：确定集合的子集、真子集 9 题型4：空集的判断及应用 11 题型5：由集合间关系求参数 14 题型6：集合间关系的探索问题 16 学习目标导航 关键词 1.理解集合之间的包含与相等的含义（重点）. 2.能识别给定集合的子集，了解空集的含义（难点）. 3.能进行自然语言、图形语言（ Venn 图）符号语言间的转换 ① Venn 图 ② 包含、相等 ③ 空集、子集、真子集 知识点1：子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作（或)，读作“A包含于B”（或“B包含A”） 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即； （2）对于集合A，B，C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作（或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. （2）不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. （3）特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. （4）对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. （5）若AB，且A≠B，则AB. 知识点2：集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 （1）定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. （2）规定：空集是任何集合的子集. 3．Venn图的优点及其表示 （1）优点：形象直观. （2）表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 知识点3：集合间关系的性质 集合间关系的性质： （1）任何一个集合都是它本身的子集，即AA. （2）对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. （3）若AB，A≠B，则AB. 题型1：集合间关系的表示及判断 角度1：用恰当的符号表示集合间的关系 【典例1】设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系； （2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 方法总结：正确区别两种关系，恰当使用两类符号 1. 元素与集合间的关系是属于关系，应用符号“∈”与“”来表示； 2. 集合与集合间的关系是包含关系，应用符号“”与“”来表示 【变式1-1】若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可得. 【详解】因为，所以，，， 集合的关系是集合间的包含关系，用符号是错误的，故ABD错误，C正确. 故选：C 【变式1-2】下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 【变式1-3】以下五个式子中，错误的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系以及空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集选择即可. 【详解】对于①，集合与集合的关系是包含和包含于的关系，根据子集的定义知，错误； 对于②，两集合元素相同，所以两集合相等，即，正确； 对于③，由子集性质知，任意集合是本身的子集，所以，正确； 对于④⑤，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以，，错误， 综上，五个式子中错误的个数为3个. 故选：C 角度2：集合间关系的判断 【典例2】若集合，，则集合M、N之间的关系是 ． 【答案】 【分析】从两个集合的元素特征入手整理化简，再判定两集合的包含关系进行求解. 【详解】因为， ， 若，则， 因为，所以，所以，所以， 又因为，，所以. 故答案为：. 方法总结：判断集合间关系的常用方法 1. 列举观察法：当集合中元素较少时，可列出其全部元素，依据定义得出集合之间的关系 2. 集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系，一般地，设A={x|p(x)}，B={x|q（x）}，①若由p(x)可推出q(x)，则AB；②若由q(x)可推出p(x)，则BA；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A=B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A、B无包含关系 3. 数形结合法：利用Venn图、数轴和平面直角坐标系等图示形象直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴 【变式2-1】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式2-2】集合A＝{y|y＝x2+3x+1}，B＝{y|y＝x2﹣3x+1}，则集合A与集合B之间的关系是 （用⊆、⊂、＝来表示） 【答案】＝ 【分析】根据配方法求出一元二次函数的值域，进而判定两集合的关系． 【详解】因为， 且， 所以， 即集合A与集合B之间的关系是＝. 故答案为：＝． 【变式2-3】若集合，，则集合A与B的关系是 ． 【答案】（或BA） 【分析】化简可得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以. 故答案为：（或BA）. 题型2：集合相等的判断 【典例3】设 (1)证明： (2)证明 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据集合B，C中元素的性质，利用真子集的概念证明； （2）由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合得证. 【详解】（1）令，则， 即B为被3整除余2的整数构成的集合， 而，即C中元素都可以表示为的形式，其中， 所以C中任意元素都属于集合B, 又B中存在不属于C的元素，例如, 所以. （2）由（1）知， 又， 所以. 方法总结：判断两个集合是否相等 1.若两集合A，B均为有限集，只要两集合的元素个数相等，且元素相同，则两集合相等 2.若两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，一致，则两集合相等，即A=B. 3.利用子集关系，证明AB，且BA 【变式3-1】设集合，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据集合相等定义证明，即证和．任取中元素，把它改写成中元素形式，再任取中元素，把它改写成中元素形式．从而完成证明． 【详解】（1）任取，即. 当m，n同奇或同偶时，； 当m，n一奇一偶时，. ∵，∴（m，n同奇或同偶）， 且（m，n一奇一偶）. ∴，∴，∴. （2）任取，即， ∴. ∵，∴， ∴， ∴，∴. 由（1）（2）可知. 【点睛】本题考查集合相等的定义，解题方法是证明两个包含关系：和．本题属于基础题． 【变式3-2】已知集合，集合，试证明． 【答案】证明见解析 【分析】证明且，即得证. 【详解】证明：设，则存在，使得，因为，所以，因此，故． 设，则存在，使得，因为，所以，因此，故． 综上，． 【变式3-3】已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，，使. 【答案】（1）；（2）不存在. 【解析】（1）转化条件为或，验证元素的互异性即可得解； （2）按照、讨论，验证即可得解. 【详解】（1）由题意，或，解得或， 当时，，不成立； 当时，，成立； ∴. （2）由题意，， 若，则，，不合题意； 若，则，，不合题意； ∴不存在实数，，使得. 题型3：确定集合的子集、真子集 【典例4】已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 方法总结：子集、真子集个数的确定方法 1. 当一个集合的元素个数较少时，我们可以一一列举出子集，从而求出子集与真子集的个数，注意别漏掉空集. 2. 当一个集合的元素个数比较多时，一一列举子集不太现实，对于其子集个数有如下结论： ①含n个元素的集合有2n个子集，有（2n-1）个真子集，有（2n-1）个非空子集，有（2n-2）个非空真子集. ②若集合A有n（n>1）个元素，集合C有m(m>n）个元素，且ABC，则符合条件的集合B有2m-n个 【变式4-1】已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1)2； (2)； (3)或. 【分析】（1）把代入，求出值即得. （2）求出集合，进而求出其子集即得. （3）按值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的值为2. （2）当时，， 所以集合的所有子集是：. （3）当时，方程的根为，符合题意，因此； 当时，集合仅只一个元素，则，解得， 所以实数a的值或. 【变式4-2】已知全集，集合． (1)若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M； (2)集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，. 【分析】（1）当时，由，得到，求得，结合条件即可求解； （2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解 【详解】（1）解：当时，可得， 因为，所以， 又由， 又因为AMB， 所以这样的集合M共有如下6个：. （2）解：能； 由，可得， 若时，此时满足是的一个子集，此时，解得； 若时，由（1）知， 当时，，此时，此时不是的一个子集； 当时，，此时，此时是的一个子集； 当时，，此时，此时是的一个子集， 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为. 【变式4-3】已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】或. 【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案． 【详解】由，则. ， 为方程的解集. ①若，则， 或或， 当时有两个相等实根，即不合题意，同理， 当时，符合题意； ②若则，即， 综上所述，实数的取值范围为或[footnoteRef:2] [2: ] 题型4：空集的判断及应用 【典例5】已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 方法总结：空集的性质及理解 1. 空集的性质 （1）空集是任何集合的子集，即ØA(A是任意集合，包括空集） （2）空集是任何非空集合的真子集，即Ø≤A(A是非空集合） 【特别提示】根据以上对空集的规定，所以在遇到“AB”或“AB且B≠∅”时，一定要注意分A=∅和A≠Ø两种情况讨论，这里A=Ø的情况易被忽视，因此应注意理解式子： 2. 辨析 Ø与0 Ø与｛0｝ Ø与｛Ø｝ 相同点 都表示无的意义 都是集合 都是集合 不同点 Ø是集合，0是实数 Ø表示不含有任何元素； ｛0｝含有1个元素0 Ø不含任何元素； ｛∅｝含有一个元素，该元素是∅ 关系 0∈Ø ØÞ｛0｝ ØÞ｛Ø｝或Ø∈｛Ø｝ 【变式5-1】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 【变式5-2】已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 【变式5-3】已知集合，或 . (1)若为非空集合，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由条件可知，，即可求解不等式； （2）分和两种情况，列不等式求解. 【详解】（1）若为非空集，则，解得：； （2）若，则， 当时，，解得：， 当时， ，解得： 或，解得： 所以实数的取值范围是或 题型5：由集合间关系求参数 【典例6】已知集合. (1)若，求，的值； (2)若，且，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案； （2）易得，再根据，列出方程组，解之即可得解. 【详解】（1）解：若， 则有，解得； （2）解：， 因为， 所以，解得. 方法总结：已知两个集合之间的关系求参数的策略 1. 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解 2. 若集合为不等式的解集，常借助数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意区间端点处的值是否可取；若集合用列举法表示，可依据元素间的关系转化为方程（组）求解 3. 要注意验证结果 （1）分类讨论求得的参数值，需要代入原集合中看是否满足互异性； （2）要检验所求参数能否取到端点值. 【变式6-1】已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出值. 【详解】由有，解得，. 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意. 故选：C. 【变式6-2】已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，则p= ，q= ． 【答案】 -4 4 【分析】根据A={x|x2+px+q=0}={2}，由2是方程x2+px+q=0的等根求解. 【详解】因为A={x|x2+px+q=0}={2}， 所以， 解得， 故答案为：-4，4 【变式6-3】若某含有三个元素的集合可表示为，也可表示为，求实数a和b的值． 【答案】a＝－1，b＝0． 【分析】由可得，则，进而可得，即，最后根据集合中元素的互异性分析即可得. 【详解】解：由题意，则有或， 又由可得，则， 所以，， 所以，即， 若，则，与集合中元素互异性相矛盾，不合题意； 若，则，，，符合题意. 综上，a＝－1，b＝0． 题型6：集合间关系的探索问题 【典例7】已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在a＝2，b＝3或满足要求． 【解析】先解出集合A，由且，可得B集合中只有一个元素1，即可求出a的值；由C⊆A，可得或{1}或{2}或{1，2}，分别检验C集合的取值，即可得答案. 【详解】A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}， ∴. 又，∴a－1＝1，即a＝2. ∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A， ∴或{1}或{2}或{1，2}． 当C＝{1，2}时，b＝3； 当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去； 当时，Δ＝b2－8<0，即， 综上可知，存在a＝2，b＝3或满足要求． 【点睛】本题考查集合的包含关系，易错点为：当C⊆A，且C集合带参数，需讨论C集合是否为空集，考查分析计算的能力，分类讨论的思想，属中档题. 方法总结：探索存在型问题的思路 （1）明确探究的目标是什么，其中哪一个集合是确定的，哪一个集合是需要探索其存在的； （2）重视对空集的讨论； （3）依据集合间的关系对参数进行分类讨论； （4）对结果进行验证. 【变式7-1】集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和. 【分析】（1）若，对应的方程没有实数根，可求实数的取值范围； （2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数的值． 【详解】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得. 所以实数的取值范围为 （2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根， 当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和； 当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和. 【变式7-2】已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 【变式7-3】关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可； （2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设，∴，将带入方程等式成立． ∴是方程的解， ∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论 且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵， ∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据集合相等的定义判断出无实根或其根为方程的根. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$