3.2.1 双曲线及其标准方程-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.1双曲线及其标准方程 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 数学抽象 直观想象 课前预习 预习01 双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 预习02双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 知识讲解 知识点01双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)若a<c，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为两条射线； (3)若a>c，则集合P为空集. 【特别注意】概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于” 在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 知识点02 双曲线的标准方程的特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,). (2)有关系式成立，且 其中a与b的大小关系:可以为 （3）焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上 【大招总结】 大招1双曲线标准方程的认识 　双曲线方程的辨识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　 大招2 求双曲线的标准方程 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　　　 大招3双曲线的焦点三角形 在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　 大招4　双曲线定义的应用 求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决 大招5双曲线的实际应用 1、双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题． 2、利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程． (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 典型例题 题型01双曲线标准方程的认识 【例1】“k<2”是“方程表示双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】∵方程为双曲线，∴， ∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式】已知方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2) 题型02求双曲线的标准方程 【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝3，c＝4； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)． 【解析】(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2， 得b2＝c2－a2＝42－32＝7. 故双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上． 因为点A(－5,6)在双曲线上，所以 2a＝|－| ＝|13－5|＝8， 则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是－＝1. 【变式】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)； (2)双曲线过两点P，Q. 题型03双曲线的焦点三角形 【例3】如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 【解析】双曲线的标准方程为－＝1， 故a＝3，b＝4，c＝＝5. (1)由双曲线的定义得＝2a＝6， 又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16， 假设点P到另一个焦点的距离等于x， 则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 故点P到另一个焦点的距离为10或22. (2)将＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos ∠F1PF2＝ ＝＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 【变式】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 题型04双曲线定义的应用 【例4】已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．9 B．2＋6 C．10 D．12 【解析】设点C(1,4)，点B在圆上，则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1， 由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点， 设A′为双曲线右焦点， 所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6， 所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10.故选C 【变式】已知定点A(3,1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A. B．5＋4 C．5－4 D.＋4 题型05双曲线的轨迹方程 【例5】设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3) 【解析】由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D 【变式】已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 题型06双曲线的实际应用 【例6】A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远．因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角． 【解析】如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2)．因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为(x，y)，BC的中点为D.因为kBC＝－，D(－4，)，所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．① 又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为－＝1(x≥2)．② 联立①②，得x＝8，y＝5，所以P的坐标为(8,5)． 因此kPA＝＝. 故炮击的方向角为北偏东30°. 【变式】某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工． 强化训练 1．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 2．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 3．与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 4．若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（　　） A． B．t C．2t D．4t 5．已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．前三个答案都不对 8．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．10 C．22 D．32 10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 11．已知关于的方程 (其中为参数)表示曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示圆 B．若，则曲线表示椭圆 C．若，则曲线表示双曲线 D．若，，则曲线表示四条直线 12．已知曲线C：，则下列结论正确的是（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 13．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴为8，焦距为10，那么双曲线的标准方程是 ． 14．若点P是双曲线上一点，，分别为C的左、右焦点，，则 . 15．若方程表示双曲线，则m的取值范围是 ． 16．双曲线的共轭双曲线的标准方程为 ；设A、B是双曲线C的左右顶点，P为C上一点，若，则 ． 17．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 18．已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值. 19．已知双曲线：的右焦点为，离心率. (1)求的方程； (2)若直线过点且与的右支交于M，N两点，记的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 20．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直. (1)求的标准方程； (2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1双曲线及其标准方程 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 数学抽象 直观想象 课前预习 预习01 双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 预习02双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 知识讲解 知识点01双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)若a<c，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为两条射线； (3)若a>c，则集合P为空集. 【特别注意】概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于” 在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 知识点02 双曲线的标准方程的特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,). (2)有关系式成立，且 其中a与b的大小关系:可以为 （3）焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上 【大招总结】 大招1双曲线标准方程的认识 　双曲线方程的辨识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　 大招2 求双曲线的标准方程 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　　　 大招3双曲线的焦点三角形 在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　 大招4　双曲线定义的应用 求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决 大招5双曲线的实际应用 1、双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题． 2、利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程． (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 典型例题 题型01双曲线标准方程的认识 【例1】“k<2”是“方程表示双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】∵方程为双曲线，∴， ∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式】已知方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2) 【解析】∵方程＋＝1表示双曲线，∴(m－2)(m＋1)<0，解得－1<m<2， ∴m的取值范围是(－1,2)．故选D 题型02求双曲线的标准方程 【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝3，c＝4； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)． 【解析】(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2， 得b2＝c2－a2＝42－32＝7. 故双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上． 因为点A(－5,6)在双曲线上，所以 2a＝|－| ＝|13－5|＝8， 则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是－＝1. 【变式】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)； (2)双曲线过两点P，Q. 【解析】(1)设双曲线的标准方程为 －＝1(－4<k<16)． 将点(3，2)代入，解得k＝4或k＝－14(舍去)， ∴双曲线的标准方程为－＝1. (2)设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． ∵点，在双曲线上， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. 题型03双曲线的焦点三角形 【例3】如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 【解析】双曲线的标准方程为－＝1， 故a＝3，b＝4，c＝＝5. (1)由双曲线的定义得＝2a＝6， 又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16， 假设点P到另一个焦点的距离等于x， 则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 故点P到另一个焦点的距离为10或22. (2)将＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos ∠F1PF2＝ ＝＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 【变式】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】由双曲线的方程可知a＝1，c＝.设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则 ∴ ∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.故选B 题型04双曲线定义的应用 【例4】已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．9 B．2＋6 C．10 D．12 【解析】设点C(1,4)，点B在圆上，则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1， 由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点， 设A′为双曲线右焦点， 所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6， 所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10.故选C 【变式】已知定点A(3,1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A. B．5＋4 C．5－4 D.＋4 【解析】设F1是双曲线的左焦点， 根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a， 所以|PF|＝|PF1|－2a， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4， 结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5， 当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P′处取得最小值， 所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4，所以|PA|＋|PF|的最小值为5－4.故选C 题型05双曲线的轨迹方程 【例5】设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3) 【解析】由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D 【变式】已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【解析】设A(1,0)，B(－1,0)，则由已知得||PA－|PB||＝，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|＝2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线．故选B 题型06双曲线的实际应用 【例6】A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远．因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角． 【解析】如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2)．因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为(x，y)，BC的中点为D.因为kBC＝－，D(－4，)，所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．① 又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为－＝1(x≥2)．② 联立①②，得x＝8，y＝5，所以P的坐标为(8,5)． 因此kPA＝＝. 故炮击的方向角为北偏东30°. 【变式】某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工． 【解析】如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25. 在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500， 从而c2＝2＝4 375，b2＝3 750， 故所求分界线的方程为－＝1(x≥25)． 即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工． 强化训练 1．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】先由双曲线方程求出，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果. 【详解】双曲线中，得，则， 由双曲线的定义可得， 因为，所以，解得， 故选：B 2．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解. 【详解】由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为. 故选:A. 3．与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】B 【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 圆化为标准方程， 圆心，半径， 因此圆心距，所以两圆相离， 设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为， 则满足，所以， 即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离， 根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支， 即圆心在双曲线的一支上. 故选：B. 4．若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（　　） A． B．t C．2t D．4t 【答案】B 【分析】设，，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得，可得是直角三角形，再根据可得面积. 【详解】设，，不妨设交点P在第一象限，分别为左右焦点， 则①，②，， 可得①②2：， ∴是直角三角形， ①②：，． 故选：B 5．已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用双曲线的定义求出 ， ， ，利用余弦定理得出结果即可. 【详解】由题意可得 ， 由双曲线的定义得 ，而 ， 解得 ， 由余弦定理得 所以 . 故选：A. 6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值. 【详解】因为，所以要求的最小值， 只需求的最小值. 如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时， 最小，最小值为. 故的最小值为.    故选：C 7．已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．前三个答案都不对 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可求圆心轨迹. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 设动圆圆心为，半径为r，则，且， 可得为定值，且， 所以动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支. 故选：B. 8．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线右焦点为C，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差大于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设C为双曲线右焦点，则，， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 9．已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．10 C．22 D．32 【答案】BC 【分析】利用双曲线定义即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，根据双曲线的定义知， 即，解得或； 故选：BC. 10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答. 【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误； 对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确； 对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确； 对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误． 故选：BC. 11．已知关于的方程 (其中为参数)表示曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示圆 B．若，则曲线表示椭圆 C．若，则曲线表示双曲线 D．若，，则曲线表示四条直线 【答案】ACD 【分析】就满足的不同条件逐项讨论对应的方程的形式，故可得正确的选项. 【详解】若，则，表示圆，故A正确； 若，满足，方程无解， 故不表示任何曲线，故B错误； 若，则表示焦点在x轴或y轴上的双曲线，故C正确； 若，，则或， 则或，表示四条直线，故D正确. 故选：ACD. 12．已知曲线C：，则下列结论正确的是（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【答案】ACD 【分析】根据不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断可得正确的选项. 【详解】对于选项A，∵，∴，方程可变形为， ∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于选项B，∵，∴方程可变形为，该方程表示半径为的圆，故B错误； 对于选项C，∵，∴该方程表示双曲线，故C正确； 对于选项D，∵，，∴方程变形为，该方程表示两条直线，故D正确. 故选：ACD. 13．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴为8，焦距为10，那么双曲线的标准方程是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分双曲线的焦点在轴，与焦点在轴，结合条件，即可得到结果. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设其标准方程为， 由题意可得，解得，则 则双曲线方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，设其标准方程为， 由题意可得，解得，则 则双曲线方程为； 故答案为：或 14．若点P是双曲线上一点，，分别为C的左、右焦点，，则 . 【答案】5或13 【分析】根据双曲线的定义分析求解. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 因为， 解得或， 经检验均符合题意； 所以或13. 故答案为：5或13. 15．若方程表示双曲线，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程定义可知与异号即可，解出实数m的取值范围是. 【详解】根据双曲线标准方程可得， 解得； 所以m的取值范围是. 故答案为： 16．双曲线的共轭双曲线的标准方程为 ；设A、B是双曲线C的左右顶点，P为C上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】由共轭双曲线的概念可直接得结果；设点，计算得出，再利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】在双曲线中，，， 所以其共轭双曲线为； 设，由题设，， 又，，即，即， ，， . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：根据双曲线上点的坐标满足双曲线的方程结合两点间斜率计算公式得到是解题的关键. 17．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线的方程，求得，即可求解； （2）设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，设双曲线标准方程为，代入点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （2）解：设双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为， 所以可设双曲线标准方程为，其中， 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 18．已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支； （2）设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证为定值，之后求出定值即可. 【详解】（1）由题可知，则的轨迹是实轴长为， 焦点为即的双曲线的右支，则， 所以曲线的方程为：(或). （2）由题可知过点的动直线斜率存在且不为，则设斜率为， 所以直线的方程为：，设，，    联立 ，可得， 则 ，可得，即或， 则 ， 所以为定值，定值为. 19．已知双曲线：的右焦点为，离心率. (1)求的方程； (2)若直线过点且与的右支交于M，N两点，记的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】 （1）利用离心率的概念求出即可； （2）根据直线过定点设出直线，联立，分别求出斜率，最后得到斜率的比值即可. 【详解】（1）因为的右焦点为，所以的半焦距， 又离心率为，所以，所以，所以， 故的方程为. （2）易知，. 设，，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，消去x可得， ，且 又因为直线与的右支交于M，N两点，所以 所以 ， 即为定值. 20．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直. (1)求的标准方程； (2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析. 【分析】（1）利用焦距求c，利用渐近线与直线垂直求出a、b关系，再利用求解； （2）设直线的方程与双曲线联立，得到韦达定理，利用点M在曲线上满足消元，分别得到，，将韦达定理代入求定值. 【详解】（1）因为，所以， 因为双曲线的渐近线与直线：垂直， 所以，② 又，③ 解得，， 所以双曲线的方程为. （2）设，则，， 设，， 所以，， 因为，所以，所以， 同理可得，所以， 直线的方程为， 联立双曲线的方程可得， 所以，所以，所以， 因为，即，所以 同理， ， 所以是定值，定值为.    【点睛】点斜式设直线方程为形式，与双曲线联立消x，得到y的二次方程，计算方便，再利用向量关系得到，同理求，利用韦达定理求定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$