1.1 一元二次方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.1 一元二次方程 学习目标 1. 理解一元二次方程的概念, 会判断一个方程是不是一元二次方程； 2. 会将一元二次方程化为一般形式, 知道各项及其系数； 3. 能够从实际问题中抽象出一元二次方程，进一步感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 2 知识回顾 什么叫方程？ 我们学过哪些方程？ 问题情境 问题1 正方形桌面的面积是2m2. 设正方形桌面的边长是xm，我们可以用什么式子描述这个问题？ x2＝2 4 问题情境 问题2 如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2. 请你猜一猜，花园的长和宽分别是多少？ 如果设花圃的宽是x m，你能用方程描述这个问题吗？ xm (19-2x)m x(19－2x)＝24 5 问题情境 问题3 2018~2022年，我国农村居民人均可支配收入在两年内从14 617.0元增加到17 131.5元. 如果设农村居民人均可支配收入平均每年增长的百分率是x，你能用方程描述这个问题吗？ 分析：2019年我国农村居民人均可支配收入为_________________元，2020年为_________________________元. 14 617.0(1+x) [14 617.0(1+x)](1+x) 14 617.0(1＋x)2 ＝17 131.5 6 如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙面的距离比梯子顶端到地面的距离多1m．设梯子底端到墙面距离是xm，怎样用方程来描述其中的数量关系？ 5 m x m (x－1)m x 2＋(x －1)2 ＝52 思考与探索 7 尝试与交流 14617.0(1＋x)2＝17131.5 x(19－2x)＝24 x2＝2 x2＋(x－1 )2＝25 这些方程是一元一次方程吗？ 只含有1个未知数 未知数的最高次数是2 都是整式方程 19x-2x2=24 1+2x+x2= 2x2-2x+1=25 这些方程有哪些共同的特征？ 概念引入 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2. 像这样的方程叫做一元二次方程． 一元 二次 一元二次方程必须同时满足哪些条件？ 1. 原方程是整式方程； 2. 化简后只含有一个未知数； 3. 化简后未知数的最高次数是2. 讨论与交流 10 新知应用 判断下列方程是否为一元二次方程. (1) 1-x3=0 (2) 2(x2-1)=3y (3) y(y-3)=-4 (4) (x+1)(x-2)=x2 (5) 3x2= (6) ax2+bx+c=0(a、b、c为常数) 否 否 是 否 否 a ≠ 0 否 获取新知 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为a x 2 + b x + c = 0 (a、b、c为常数，a≠0)的形式，我们把这种形式称为一元二次方程的一般形式. a≠0 ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0) 特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 12 新知应用 方 程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 x(19－2x)＝24 x2＝2 x2＋(x－1 )2 ＝25 x2-2=0 试一试： 1 0 -2 2x2-19x+24=0 2 -19 24 2x2-2x-24=0 2 -2 -24 13 讨论与交流 想一想： 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 14 例题讲解 例1 关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0， 当k_______时，是一元二次方程； 当k_______时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 15 例题讲解 变式 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0， ∴当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由+1 =2，且a－1≠0得， 当a=－1时，原方程是一元二次方程. 16 例题讲解 例2 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 二次项是3x2，系数是3；一次项是-8x，系数是-8；常数项是-10. 17 归纳总结 确定一元二次方程各项及其系数的“两点注意”: (1)一定要先把方程化为一般形式； (2)确定各项及其系数时，不能忽略前面的符号. 18 新知巩固 1.若关于x的方程(m－2)x2＋mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是(　　) A.m≠2   B.m＝2   C.m＞2   D.m≠0 A 变式 如果方程(m－2)xm2－2－mx＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为_________. －2 19 新知巩固 2. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1) x2-x=2； (2) 4x+1=x2； 解：(1)将方程化成一般形式，得x2－x－2=0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、-1、-2. (2)将方程转化成一般形式，得x2－4x－1=0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、-4、-1. 20 (3) 2x2=-3x+1； (4) x(x+3)=-2. 新知巩固 2. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：(3)将方程化成一般形式，得2x2+3x－1=0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、3、-1. (4)将方程转化成一般形式，得x2+3x+2=0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、3、2. 21 例题讲解 例3 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x. 整理，得 25x2＋50x－11＝0 根据题意得 75(1＋x)2＝108 22 新知巩固 用方程方程描述下列问题中的数量关系： (1)一张面积是240 cm2的长方形彩纸，长比宽多8cm，设它的宽为xcm，可得方程_______________. x(8＋x)＝240 23 新知巩固 (2)一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm 的正方形孔，已知正方形面积是圆面积的 ，设圆的半径为xcm，可得方程___________. πx2＝9 用方程方程描述下列问题中的数量关系： 24 新知巩固 (3)两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为x，可得方程__________________________. x(x＋2)＝323或x(x-2)＝323 用方程方程描述下列问题中的数量关系： 25 新知巩固 (4)某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14 400台提高到16 900台，设平均每年增长的百分率为x，可得方程______________________. 14 400(1+x)2＝16 900 你能找到第4(2)所列方程的解吗？试一试. 用方程方程描述下列问题中的数量关系： 26 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 从实际问题中抽象出一元二次方程 课堂总结 当堂检测 1. (2024·河南安阳·一模)下列方程中一定是一元二次方程的是( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m> D. <m> (a为常数) A 基础过关 28 当堂检测 基础过关 2.关于x的方程(a－3)x2＋3x－2＝0是一元二次方程的条件是(　　) A．a≠0 B．a＝3 C．a≠3 D．a为任意实数 C 29 当堂检测 3.将一元二次方程 <m></m> 写成一般形式，下列等式正确的是 ( ) A. </m> B. </m> C. </m> D. </m> C 基础过关 30 当堂检测 4. 一元二次方程 <m></m> 的二次项系数、一次项系数及常数项分别是( ) A. 2，5，6 B. 5，2，6 C. 2，5，－6 D. 5，2，－6 C 基础过关 31 当堂检测 5. 某小区准备在每两幢楼房之间开辟一块面积为300平方米的矩形绿地，且长比宽多7米.设矩形绿地的宽为x米，则可列方程为_______________. x(x＋7)＝300 基础过关 32 当堂检测 1.已知关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ( ) A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 D 综合提升 33 当堂检测 2.关于x的一元二次方程(m－1)x2＋(m2－1)x＋3＝0的一次项系数为0，则m的值为 ( ) A．±1 B．1 C．－1 D．0 C 综合提升 34 当堂检测 3.如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 (墙长35m) ，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是(    ) 综合提升 A．x(69+1－2x)＝600 B．x(69－1－2x)＝600 C．x(69－2x)＝600 D．x(35＋1－2x)＝600 A 35 当堂检测 4. 已知关于x的方程(m－1)＋(m－2)x－1＝0，回答下面的问题： (1) 若方程是一元二次方程，求m的值. 解：(1)根据题意，得m2＋1＝2，且m－1≠0，解得m＝－1. 综合提升 36 当堂检测 综合提升 (2)若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解. 解：(2) 存在　有两种情况： ① 当满足m2＋1＝1，且(m－1)＋(m－2)≠0时，解得m＝0， 则方程变为－3x－1＝0，解得x＝－； ② 当满足m－1＝0，且m－2≠0时，解得m＝1， 则方程变为－x－1＝0，解得x＝－1 37 2021 Blues 4800.0 $$