第一章 集合与常用逻辑用语单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知，若且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知全集，集合，，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·上海松江·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东潍坊·三模）已知集合 ，则的子集个数是（      ） A．3 个 B．4 个 C．8 个 D．16 个 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 8．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ）． A．命题p：“，”的否定是：“，” B．已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．若是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 11．（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2024·上海·三模）若集合，，则 ． 13．（2024高一上·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ． 14．（23-24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合，，． (1)求，； (2)若，求实数m的取值范围． 16．（23-24高一上·山东济南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 17．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 18．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知集合． (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答． 问题：当集合满足______时，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (2)若，求的取值范围． 19．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合所满足的条件即可直接得出答案。 【详解】因为，且，所以. 故选：C 2．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知全集，集合，，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定阴影部分表示的集合为，再根据补集与交集定义求解. 【详解】全集，集合，， 图中阴影部分的集合是. 故选：D. 4．（22-23高二下·上海松江·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由得，推不出来， 由得或，推不出来，排除A，B； 由可得，解得或， 所以是的既不充分也不必要条件，排除C； 由，反之不成立，D正确， 故选：D. 5．（2024·山东潍坊·三模）已知集合 ，则的子集个数是（      ） A．3 个 B．4 个 C．8 个 D．16 个 【答案】C 【分析】由交集的定义求得，根据子集个数的计算方法即可求解． 【详解】由题意得，，则的子集有个， 故选：C． 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以， 所以. 故选：D 7．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B.    8．（23-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数. 【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先由题意求出，然后根据必要条件的定义逐个分析判断即可. 【详解】因为条件，所以， 对于A，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以A错误； 对于B，因为能推出，所以是的必要条件，所以B正确； 对于C，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以C错误； 对于D，因为能推出，所以是的必要条件，所以D正确． 故选：BD． 10．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ）． A．命题p：“，”的否定是：“，” B．已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．若是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p：“，”的否定为“，”所以A正确； 对于B中，由且，可得“，即充分性成立； 反正：例如：，满足，但且不成立，即必要性不成立， 所以且是的充分而不必要条件，所以B正确； 对于C中，由，可得且， 所以是的必要不充分条件，所以C不正确； 对于D中，根据充分条件、必要条件的关系，可得p是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD. 11．（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于ABC，举例分析判断，对于D，利用直积的定义分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2024·上海·三模）若集合，，则 ． 【答案】; 【分析】根据集合并集的定义即可求解. 【详解】由集合的并集定义可得，因为，， 所以， 故答案为：. 13．（2024高一上·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意知集合，利用分类讨论及集合元素的互异性从而可求解. 【详解】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合，，． (1)求，； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）先化简集合，利用交集和补集运算可得答案； （2）由，列出限制条件可得答案. 【详解】（1）因为或， 所以. 因为或， 所以或. （2）因为， 所以或， 解得或. 16．（23-24高一上·山东济南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解不等式确定集合A，根据集合的交集以及并集运算，即可求得答那； （2）由题意可得⫋，列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）解可得， 故可知， 当时，， 所以，； （2）因为是的充分不必要条件， 所以⫋，则， 解得. 17．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知； （2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求. 【详解】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 18．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知集合． (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答． 问题：当集合满足______时，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的包含关系分和两种情况求参； （2）根据交集分和两种情况求参. 【详解】（1）选择①②③，都有． 当时，，解得． 当时，解得． 综上，的取值范围为． （2）当时，由，解得，符合题意． 当时，或解得． 综上，的取值范围为． 19．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【答案】(1)，，， (2)4 (3)证明见详解 【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合. 【详解】（1）所有可能的集合为：，，，. （2）不妨设：，由于，且， 所以. 由题意，是12的倍数时，或. 当时，因为， 所以当且仅当时，成立，故符合题意. 当时， 若，则，故或符合题意； 若，则，故符合题意； 若，则，无解. 综上，所有可能的集合为，，，. 故满足条件的集合的个数为. （3）（1）当时，设，则 ， 这个数取个值，故其中有两个数相等. 又因为，于是， 从而互不相等，互不相等， 所以存在，使得. 又因，故. 则，则，结论成立. （2）当时，不妨设， 则（），在这个数中任取3个数，. 若与都是的倍数，， 这与矛盾. 则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数. 考虑这个数：，，，，，. ①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. ②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. 综上，存在非空集合，使得是的倍数. 【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$