第04讲 充分条件与必要条件（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第04讲 充分条件与必要条件（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断命题的真假 题型二 充分条件的判定及性质 题型三 必要条件的判定及性质 题型四 判断命题的充分不必要条件 题型五 根据充分不必要条件求参数 题型六 判断命题的必要不充分条件 题型七 根据必要不充分条件求参数 题型八 充要条件的证明 题型九 探求命题为真的充要条件 题型十 根据充要条件求参数 题型十一 既不充分也不必要条件 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【典型例题一 判断命题的真假】 1．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 4．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是 ①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个. 5．（23-24高一·江苏·课后作业）判断下列命题的真假： （1）若，则； （2）若，则； （3）全等三角形的面积相等 （4）面积相等的三角形全等. 【典型例题二 充分条件的判定及性质】 1．（2020高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）若是的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个为 ． 4．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 5．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知集合，，． (1)若是的充分条件，求实数的范围； (2)若，求实数的范围． 【典型例题三 必要条件的判定及性质】 1．（22-23高一上·全国·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·山东·期中）写出的一个必要不充分条件是 . 4．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 5．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【典型例题四 判断命题的充分不必要条件】 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2022高三·全国·专题练习）已知：函数的值恒为负，则是的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设、，则“，”是“”的 条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分也非必要”） 5．（2021高一·全国·专题练习）判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件. (1)条件：，结论：； (2)条件：是真子集，结论：. 【典型例题五 根据充分不必要条件求参数】 1．（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 5．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【典型例题六 判断命题的必要不充分条件】 1．（23-24高一下·云南·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）已知，正整数能被整除，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 4．（23-24高一上·山西晋中·阶段练习）“”是“”成立的 条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”). 5．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【典型例题七 根据必要不充分条件求参数】 1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南周口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【典型例题八 充要条件的证明】 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是 ．（填序号） ①“x>0”是“x>1”的必要不充分条件 ②“”是“a>b”的充分不必要条件； ③在△ABC中，“a>b”是“A>B”的充分必要条件. 4．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）设集合，，或，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 5．（22-23高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【典型例题九 探求命题为真的充要条件】 1．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 2．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 3．（22-23高一·全国·随堂练习）用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 4．（23-24高一上·江苏·课前预习）四种条件关系： （1）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”为假命题，那么是的 条件. （2）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”为真命题，那么是的 条件. （3）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”也为真命题，那么是的 条件. （4）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”也为假命题，那么是的 条件. 5．（2023高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【典型例题十 根据充要条件求参数】 1．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（22-23高一上·上海长宁·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 4．（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 5．（23-24高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【典型例题十一 既不充分也不必要条件】 1．（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一上·浙江·期中）已知命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 4．（23-24高一·全国·课后作业）在下列命题中，试判断是的什么条件. （1），，则是 条件； （2），，则是 条件； （3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形. 则是 条件. 5．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列命题中p是q的什么条件.（充分不必要条件必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） （1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； （2），； （3）有两个角相等，是正三角形； （4）若，，； （5），. 【变式训练1 判断命题的真假】 1．（23-24高二上·新疆喀什·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 3．（15-16高二上·江苏泰州·期末）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设，若，则或”是一个假命题；③“”是“”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是 ．（写出所有不正确命题的序号） 4．（23-24高三上·北京大兴·期末）能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题的一组整数的值依次为 . 5．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题． (1)； (2)等腰三角形两底角相等； (3)若，是任意实数且，则． 【变式训练2 充分条件的判定及性质】 1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023高一·江苏·专题练习）下列各题中，是的充分条件的是 (填序号)． （1），； （2）两个三角形面积相等，两个三角形全等； （3），方程无实根． 4．（2023高一·全国·专题练习）设四边形的两条对角线为，则“四边形为菱形”是“”的 条件. 5．（22-23高一上·河南洛阳·阶段练习）设. (1)若，求同时满足条件的实数构成的集合; (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【变式训练3 必要条件的判定及性质】 1．（23-24高一上·四川遂宁·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·福建福州·期中）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）若，则称p是q的 ；反过来说，q是p的 . 4．（22-23高一上·广东湛江·阶段练习）若，则“”是“”的 条件．（从“充分不必要”､“必要不充分”“充要”､“既不充分又不必要”中选填） 5．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知集合，，若“” 是“” 成立的必要条件，求实数的取值范围. 【变式训练4 判断命题的充分不必要条件】 1．（2024·甘肃兰州·三模）已知a，b均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·北京延庆·期中）写出成立的一个充分不必要条件 . 4．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）使不等式成立的一个充分不必要条件是 . 5．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 【变式训练5 根据充分不必要条件求参数】 1．（23-24高一下·浙江·期末）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 4．（23-24高一上·吉林·阶段练习）若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【变式训练6 判断命题的必要不充分条件】 1．（2024·海南海口·二模）已知，设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 4．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）“”的一个必要非充分条件是 . 5．（2023高一·江苏·专题练习）指出下列各题中，是的什么条件： (1)数能被6整除，数能被3整除； (2)，； (3)有两个角相等，是正三角形； (4)，． 【变式训练7 根据必要不充分条件求参数】 1．（23-24高三上·甘肃金昌·阶段练习）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24高一上·全国·课后作业）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ． 4．（2023高一·全国·专题练习）已知p：或，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 . 5．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【变式训练8 充要条件的证明】 1．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件；        ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件；    ④是的充分不必要条件. 正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 2．（23-24高一上·四川·期中）下列各题中，是的充要条件的是（    ） A． B． C．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 D．：两个三角形全等，：两个三角形三边对应相等 3．（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的 条件. 4．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）若集合，集合，则“”的充要条件是 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【变式训练9 探求命题为真的充要条件】 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，其中是的充要条件个数有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·河南·期中）已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一·上海·专题练习）不等式成立的充要条件是 . 4．（2023高三·全国·专题练习）方程 有一正一负根的充要条件是 5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求成立的充要条件． 【变式训练10 根据充要条件求参数】 1．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 4．（22-23高三上·陕西西安·期中）集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b= ；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 （答案不唯一，写出一个即可） 5．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由. 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【变式训练11 既不充分也不必要条件】 1．（23-24高一上·江苏连云港·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高一上·上海虹口·阶段练习）已知，则“”是“”的 . 4．（23-24高一·湖南·课后作业）从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空： （1）“”是“”的 ； （2）“，”是“”的 ； （3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的 ； （4）设，，都是实数，“”是“是方程的一个根”的 ． 5．（2021高一·全国·专题练习）下列各题中，试分别指出是的什么条件. （1）两个三角形相似，两个三角形全等； （2）一个四边形是矩形，四边形的对角线相等； （3），； （4），. 1．（2024·天津滨海新·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 2．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期末）对于变量，条件，条件，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知，，则是的 ．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空） 7．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 8．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 . 9．（2023高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 10．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 11．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合，，若成立的一个充分条件是，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·河北·阶段练习）设p：，q：关于x的方程有实根，试分析p是q的什么条件？ 13．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围. 14．（23-24高一上·上海松江·期末）已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·吉林通化·期中）集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 充分条件与必要条件（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断命题的真假 题型二 充分条件的判定及性质 题型三 必要条件的判定及性质 题型四 判断命题的充分不必要条件 题型五 根据充分不必要条件求参数 题型六 判断命题的必要不充分条件 题型七 根据必要不充分条件求参数 题型八 充要条件的证明 题型九 探求命题为真的充要条件 题型十 根据充要条件求参数 题型十一 既不充分也不必要条件 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【典型例题一 判断命题的真假】 1．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【分析】结合一次方程解的性质判断命题的真假即可. 【详解】当时，方程无解，当时，方程的解为， 所以命题“关于x的方程的解集为”是假命题. 故答案为：假. 4．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是 ①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个. 【答案】③④⑤ 【分析】当时即可判断①，根据空集定义判断②，根据集合相等判断③，解方程判断④，利用不等式的性质判断⑤，求出集合，即可判断⑥. 【详解】对于①：当时方程是一元一次方程，故①错误； 对于②：空集是任何非空集合的真子集，故②错误； 对于③：互相包含的两个集合相等，故③正确； 对于④：令，解得，所以函数的图像与轴有一个交点，故④正确； 对于⑤：若则，所以，故⑤正确； 对于⑥：满足的集合有，，， ，，共个，故⑥错误； 故答案为：③④⑤ 5．（23-24高一·江苏·课后作业）判断下列命题的真假： （1）若，则； （2）若，则； （3）全等三角形的面积相等 （4）面积相等的三角形全等. 【答案】（1）真；（2）假；（3）真；（4）假. 【分析】依次判断即得. 【详解】（1）当时，显然有，所以命题为真. （2）当，时，，即由，不能推出，所以命题为假. （3）由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，这两个三角形的面积一定相等，命题为真. （4）如图，直角三角形与三角形同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等，所以命题为假. 【典型例题二 充分条件的判定及性质】 1．（2020高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】依题意，，解不等式，得， 由不等式成立的充分条件是，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义求解. 【详解】， 是不等式成立的充分条件，则，解得， 故选：D． 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）若是的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】化简，写出一个范围比小的即可. 【详解】由，解得或，故， 因为是的一个充分不必要条件， 写出一个范围比小的即可， 故. 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 【答案】且 【分析】根据题意，由一次函数的意义，即可得到结果. 【详解】由一次函数可知，，图像过一，三象限，过二，四象限， 且，一次函数图像交于轴正半轴，，一次函数图像交于轴负半轴，，一次函数图像过原点，所以一次函数的图像不过第一象限的充分条件是，取且即可. 故答案为：且 5．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知集合，，． (1)若是的充分条件，求实数的范围； (2)若，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若是的充分条件，则，由子集性质计算即可得； （2）若，则，结合子集性质，对与分类讨论并计算即可得. 【详解】（1）若是的充分条件，则， 即，即实数的范围是； （2）由，故， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 综上所述，的取值范围为. 【典型例题三 必要条件的判定及性质】 1．（22-23高一上·全国·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式的性质，分别判断充分性和必要性是否满足. 【详解】由等价于， 由等价于， 由推不出，由可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可. 【详解】由，得，解得或, 所以时，具有充分性； 而时，或，不具有必要性. 故选：B 3．（23-24高一上·山东·期中）写出的一个必要不充分条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】化简条件，再利用充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】由，等价于， 则不能能推出，能推出， 则是的必要不充分条件， 即的必要不充分条件是. 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【分析】根据集合之间的关系，利用充分条件与必要条件的定义分析判断即可得解. 【详解】解：由题意，， ∴若，则；若，不一定有. ∴“”是“”的充分条件. 故答案为：充分. 5．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 【典型例题四 判断命题的充分不必要条件】 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则； 反之，当时，或，解得或， 若，，满足，若，显然满足， 因此或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】若，即可得到，从而求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（2022高三·全国·专题练习）已知：函数的值恒为负，则是的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】判断命题之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】由于函数， 当时，，而， 即此时函数的值恒为负； 当时，函数的值也恒为负， 故函数的值恒为负，推不出， 故是的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设、，则“，”是“”的 条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分也非必要”） 【答案】充分非必要 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当且时，由不等式的基本性质可得， 则“，”“”； 当时，取，，则“，” “”. 所以，“，”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要. 5．（2021高一·全国·专题练习）判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件. (1)条件：，结论：； (2)条件：是真子集，结论：. 【答案】(1)既不充分也不必要条件. (2)充分不必要条件. 【分析】根据充分条件、必要条件的判定概念和判定方法，逐个判定，即可求解. 【详解】（1）解：例如：当时，满足条件：， 此时，即结论不成立，所以充分性不成立； 反之：当时，此时结论成立，此时，所以必要性不成立， 所以条件是结论的既不充分也不必要条件. 当条件时， （2）解：当是真子集时，可得，即充分性成立； 反之：当，此时，即不一定是的真子集，所以必要性不成立， 所以条件是结论的既充分不必要条件. 【典型例题五 根据充分不必要条件求参数】 1．（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件的定义求解. 【详解】解：由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 2．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的定义求出a的取值范围. 【详解】因为p是q的充分不必要条件，则，于是， 所以a的取值范围是. 故选：C 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以有，等号不同时成立，， 当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 解析：由题意得（，）⊆（m－1，m＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤. 【考查意图】 已知充要关系求参数的取值范围． 5．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当时，求得，结合集合的交集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，集合， 因为集合或，所以或. （2）解：由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得，即实数的取值范围是. 【典型例题六 判断命题的必要不充分条件】 1．（23-24高一下·云南·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断. 【详解】若，即，则，或， 所以“”不是“”的充分条件； 若，则，所以， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）已知，正整数能被整除，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】借助充分条件与必要条件的性质判断即可得. 【详解】由题知命题表示正整数a能被2整除， 而能被4整除的正整数一定能被2整除，故能够推出， 而能被2整除的正整数不一定能被4整除，如6，故无法推出， 故是的必要不充分条件． 故选：B． 3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为 ⫋， 所以：，是：的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 4．（23-24高一上·山西晋中·阶段练习）“”是“”成立的 条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”). 【答案】充分不必要 【分析】根据绝对值的意义，求得不等式的解为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 5．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）根据补集与交集的概念直接计算； （2）根据必要不充分条件可得集合间关系，列不等式，解不等式. 【详解】（1）当时，，， 所以或，或， 所以或； （2）由已知，可知， 又是的必要不充分条件，可知， 所以，解得， 即. 【典型例题七 根据必要不充分条件求参数】 1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件. 【详解】由命题“，”为真命题， 得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件. 故选：. 2．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可. 【详解】由，解得， 所以， 又由，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件， 所以集合真包含于， 所以，解得， 经检验，时，，满足题意； 时，，满足题意； 所以实数的取值范围是. 故选:A. 3．（23-24高一上·河南周口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据必要不充分条件列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】由于“”是“”的必要不充分条件， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】化简条件，再结合必要不充分条件列出不等式即可求解. 【详解】由，得， 因为是的一个必要不充分条件，则不能推出，但能推出， 则，即. 故答案为： 5．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用并集概念求解，先求出，然后再求解即可； （2）根据题意知集合是集合的真子集，分和讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 【典型例题八 充要条件的证明】 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由求出，然后利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】若，则，或，所以，或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，故； 当时，， 故由，可得； 反之，当时，显然也成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证. 【详解】先证： 因为，所以，，故，即，故； 再证： 因为，所以，即，故； 综上：“”是“”的充分必要条件. 故选：C 3．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是 ．（填序号） ①“x>0”是“x>1”的必要不充分条件 ②“”是“a>b”的充分不必要条件； ③在△ABC中，“a>b”是“A>B”的充分必要条件. 【答案】①③ 【分析】由充分条件，必要条件的定义结合不等式性质及三角形性质即可逐项判断. 【详解】因为但，所以“x＞0”是“x＞1”的必要不充分条件，故①正确； 因为，所以“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，故②不正确； 因为在△ABC中，大边对大角，大角对大边，所以，所以“a>b”是“A>B”的充分必要条件，故③正确. 故答案为：①③ 4．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）设集合，，或，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【分析】根据集合间的并集运算求，并根据推出关系与包含关系的对应分析判断. 【详解】由题意可得：或，即， 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要. 5．（22-23高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知，先求解出集合，然后根据，将集合分为和两种情况讨论，分别列式求解即可； （2）由已知，先有或，证明至少有2个子集，即证明充分性，然后再根据至少有2个子集，求解参数的范围与或比较即可证明其必要性. 【详解】（1）由已知，集合，所以集合． 因为“，”为假命题，所以． 当时，，解得； 当时，要使，则，，且，， 即，解得或或或． 综上，实数m的取值范围为． （2）证明：充分性：若，或，则至少有2个子集． 当，或时，，方程有解， 集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证； 必要性：若至少有2个子集，则或． 若至少有2个子集，则至少有1个元素， 方程有解，，解得或， 必要性得证． 综上，至少有2个子集的充要条件是或． 【典型例题九 探求命题为真的充要条件】 1．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】分别验证充分性和必要性得到答案. 【详解】若是方程的根，则； 若，则，即是方程的根. 综上所述：关于的方程有一个根是1是的充要条件. 故选：A. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 【答案】 充分条件但不是必要条件 必要条件但不是充分条件 充要条件 必要条件但不是充分条件 【分析】由充分条件、必要条件、充要条件的概念逐一辨别即可求解. 【详解】（1）一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”； 另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”， 因为“可能是无理数”， 所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件； （2）若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件； （3）因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件； （4）一方面设， 则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则， 这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件. 故答案为：充分条件但不是必要条件；必要条件但不是充分条件；充要条件；必要条件但不是充分条件. 4．（23-24高一上·江苏·课前预习）四种条件关系： （1）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”为假命题，那么是的 条件. （2）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”为真命题，那么是的 条件. （3）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”也为真命题，那么是的 条件. （4）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”也为假命题，那么是的 条件. 【答案】 充分不必要 必要不充分 充分必要 既不充分也不必要. 5．（2023高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据集合，求出参数的取值范围， （2）由（1）即可求出的一个必要条件但不是充分条件. 【详解】（1）（1）因为集合，， 若，则， 故的一个既充分也必要条件是. （2）由（1）知的充要条件是， 所以的一个必要条件但不是充分条件可以是.（答案不唯一）. 【典型例题十 根据充要条件求参数】 1．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 2．（22-23高一上·上海长宁·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系. 【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；综上， 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件. 故选：C. 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 4．（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 5．（23-24高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 【典型例题十一 既不充分也不必要条件】 1．（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊值，利用充分和必要条件的性质判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足，故充分性不成立； 当时，满足，但不满足，故必要性不成立； 所以“” 是的既不充分又不必要条件， 故选：D. 2．（23-24高一上·浙江·期中）已知命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】由推不出，比如，故充分性不满足； 由推不出，比如，故必要性不满足； 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】 根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 4．（23-24高一·全国·课后作业）在下列命题中，试判断是的什么条件. （1），，则是 条件； （2），，则是 条件； （3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形. 则是 条件. 【答案】 充要 充分不必要 既不充分也不必要 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解:（1）因为“”是真命题，“”也是真命题， 所以是的充要条件； （2）因为“ ”是真命题，“”是假命题，如，，满足，但是； 所以是的充分不必要条件； （3）因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题， “四边形是平行四边形四边形的对角线相等”也是假命题， 所以是的既不充分也不必要条件. 故答案为：充要；充分不必要；既不充分也不必要 5．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列命题中p是q的什么条件.（充分不必要条件必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） （1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； （2），； （3）有两个角相等，是正三角形； （4）若，，； （5），. 【答案】（1）p是q的充分不必要条件（2）P是q的充分不必要条件（3）p是q的必要不充分条件（4）p是q的充要条件（5）p是q的既不充分也不必要条件 【分析】判断两个命题和是否正确，然后得结论． 【详解】解析（1）因为“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”，所以， 但“数a能被3整除”推不出“数a能被6整除”，如，所以，所以p是q的充分不必要条件. （2）因为能推出，即；但当时，如，推不出，即，所以P是q的充分不必要条件. （3）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，因此，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以p是q的必要不充分条件. （4）若，则，即；若，则，即，故，所以p是q的充要条件. （5）当，时，推不出，知，又当，时，推不出，知，所以p是q的既不充分也不必要条件. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，解题时必须判断两个命题和是否正确． 【变式训练1 判断命题的真假】 1．（23-24高二上·新疆喀什·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质知ABC正确，当时，恒成立，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 2．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论. 【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 3．（15-16高二上·江苏泰州·期末）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设，若，则或”是一个假命题；③“”是“”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是 ．（写出所有不正确命题的序号） 【答案】①② 【详解】试题分析：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真；②命题“设，，若，则或”是一个真命题；③的解集是，故“”是“”的充分不必要条件；正确；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．正确 考点：命题真假的判断 4．（23-24高三上·北京大兴·期末）能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题的一组整数的值依次为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用列举法，写出满足题意的结果即可. 【详解】当时，满足，但是，. 故答案为：（答案不唯一） 5．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题． (1)； (2)等腰三角形两底角相等； (3)若，是任意实数且，则． 【答案】(1)不是命题 (2)真命题 (3)假命题 【分析】（1）根据命题的定义进行判断即可； （2）根据命题的定义，结合等腰三角形的性质进行判断即可； （3）根据命题的定义，结合不等式的性质进行判断即可. 【详解】（1）因为不能判断真假，所以不是命题； （2）因为等腰三角形两底角相等， 所以本语句是命题，而且是真命题； （3）当时，显然成立，但是不成立， 因为本语句能判断真假， 所以本语句是命题，而且是假命题. 【变式训练2 充分条件的判定及性质】 1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件定义即得. 【详解】由，是的充分条件， 所以，故 故选：C 2．（23-24高一上·新疆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解方程求的根，根据充分、必要性定义判断它们的关系. 【详解】由，可得或， 所以是的充分不必要条件. 故选：C 3．（2023高一·江苏·专题练习）下列各题中，是的充分条件的是 (填序号)． （1），； （2）两个三角形面积相等，两个三角形全等； （3），方程无实根． 【答案】（3） 【分析】分别判断是否能推出即可． 【详解】（1）∵， ∴或，不一定能推出， ∴不是的充分条件． （2）∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等， ∴不是的充分条件． （3）∵ ，∴， ∴方程，，方程无实根， ∴是的充分条件． 故答案为：（3）. 4．（2023高一·全国·专题练习）设四边形的两条对角线为，则“四边形为菱形”是“”的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】由充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】若“四边形为菱形”，则“对角线”成立； 若“对角线”成立，则“四边形不一定为菱形”， 所以“四边形为菱形”是“”的充分条件但不是必要条件. 故答案为：充分不必要 5．（22-23高一上·河南洛阳·阶段练习）设. (1)若，求同时满足条件的实数构成的集合; (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)求集合的交集即可;(2)利用集合的包含关系可求解. 【详解】（1）由解得，所以, 当 =2 时，即 ，所以,     所以同时满足条件的实数构成的集合即为公共部分的实数构成的集合， 即为 ； （2）因为p是q的充分条件，且，,, 所以 ，所以，解得0， 故实数的取值范围是. 【变式训练3 必要条件的判定及性质】 1．（23-24高一上·四川遂宁·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】比较两个不等式表示范围的大小，即可得出答案. 【详解】因为所表示的范围要小于所表示的范围， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利充分性以及必要性的定义即可得解. 【详解】当时，取，此时不成立，故充分性不成立； 当时，，显然成立，故必要性成立； 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 3．（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）若，则称p是q的 ；反过来说，q是p的 . 【答案】 充分条件； 必要条件. 4．（22-23高一上·广东湛江·阶段练习）若，则“”是“”的 条件．（从“充分不必要”､“必要不充分”“充要”､“既不充分又不必要”中选填） 【答案】必要不充分 【分析】根据充分与必要条件的定义直接判断即可. 【详解】“”不能推出“”，“”可以推出“”，故“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 5．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知集合，，若“” 是“” 成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据必要条件转化为即可求解. 【详解】由“” 是“” 成立的必要条件可得， 故，又，所以 【变式训练4 判断命题的充分不必要条件】 1．（2024·甘肃兰州·三模）已知a，b均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式得到，，充分性成立，举出反例，故必要性不成立. 【详解】a，b均为正实数，，故， ， 充分性，，，故，充分性成立， 必要性，，不妨设，满足， 但不满足，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，所以或， 易得“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（23-24高一上·北京延庆·期中）写出成立的一个充分不必要条件 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据充分不必要条件的要求，所求应该为的真子集，根据真子集要求写出答案. 【详解】因为，所以， 所以成立的一个充分不必要条件构成的集合为的真子集， 所以充分不必要条件可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）. 4．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）使不等式成立的一个充分不必要条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的充分不必要条件构成集合得到，然后选择一个条件即可. 【详解】解不等式得， 设，不等式的充分不必要条件构成集合， 所以， 所以不等式的充分不必要条件可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 5．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 【答案】(1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的充分不必要条件 (3)p是q的充要条件 【分析】（1）（2）根据充分、必要条件分析判断； （3）根据集合的包含关系和运算结合充要条件分析判断. 【详解】（1）若可得中至少有一个不为零，即充分性成立， 但中至少有一个不为零不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （2）若可得，即充分性成立， 但不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （3）由题意可知：等价于，等价于， 所以等价于， 所以p是q的充要条件. 【变式训练5 根据充分不必要条件求参数】 1．（23-24高一下·浙江·期末）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案. 【详解】由条件，解得或； 因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件， 故是或的真子集， 则的取值范围是， 故选：B． 2．（22-23高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质，由的取值范围，可得的取值范围，结合充分不必要条件的定义，可得答案. 【详解】由，则，由是的充分不必要条件，则， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·吉林·阶段练习）若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用集合的包含关系解不等式即可. 【详解】因为“”是“”的一个充分不必要条件， 所以是的真子集，故， 故答案为： 5．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果. （2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 所以； （2）由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 【变式训练6 判断命题的必要不充分条件】 1．（2024·海南海口·二模）已知，设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先举出反例得到充分性不成立，两边平方后推出必要性成立. 【详解】不妨设，满足，此时，充分性不成立， ，两边平方得， 又，故，必要性成立， 故甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可解得且，即可判断得出结论. 【详解】“”等价于“且”， 只知道时无法保证，但且时必然有， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意，利用充分条件、必要条件的判定法方法，结合特例和不等式的性质，即可求解. 【详解】当时，满足命题甲：，此时命题乙不成立，即充分性不成立； 反之：若命题乙：成立时，可得命题甲一定成立，即必要性成立， 所以命题甲是命题乙成立的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 4．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）“”的一个必要非充分条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据的必要非充分条件构成集合得到，即可确定集合. 【详解】设，的必要非充分条件构成集合，则， 所以集合可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 5．（2023高一·江苏·专题练习）指出下列各题中，是的什么条件： (1)数能被6整除，数能被3整除； (2)，； (3)有两个角相等，是正三角形； (4)，． 【答案】(1)是的充分不必要条件 (2)是的充要条件 (3)是的必要不充分条件 (4)是的必要不充分条件 【分析】分别判断能否推出，能否推出即可． 【详解】（1）因为能被6整除的数一定能被3整除，但能被3整除的数不一定能被6整除， 所以，但， 所以是的充分不必要条件． （2）由得，或， 由得，或， 所以， 所以是的充要条件． （3）因为有两个角相等不一定是正三角形，但正三角形一定有两个角相等， 所以，， 所以是的必要不充分条件． （4）由得，， 因为不能推出，能推出， 即，但， 所以是的必要条件不充分条件． 【变式训练7 根据必要不充分条件求参数】 1．（23-24高三上·甘肃金昌·阶段练习）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意确定q可以推得P，但p不能推出q，由此可得到关于a的等式，求得答案. 【详解】p：，即或，q：∵，∴， 由题意知p：是q：（）的必要而不充分条件， 则，或，解得，或， 故选：D. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用必要不充分的定义进行判断求解即可 【详解】由“”是“”的必要不充分条件知：是的真子集，可得知 故选：C 3．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据条件转化为集合的包含关系，即可求解. 【详解】，得或， 若“”是“”的必要不充分条件，得或， 所以，即的最大值为. 故答案为： 4．（2023高一·全国·专题练习）已知p：或，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】设集合或，，根据题意转化为是的真子集，列出不等式，即可求解. 【详解】设集合或，， 因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 【变式训练8 充要条件的证明】 1．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件；        ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件；    ④是的充分不必要条件. 正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义和传递性，逐个判断，可得结论. 【详解】由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件， 可得，推不出，，， 所以，故是的充要条件，①正确； ，推不出，故是的充分不必要条件，②正确； ，故是的充要条件，③错误； ，故是的充要条件，④错误. 故选：B. 2．（23-24高一上·四川·期中）下列各题中，是的充要条件的是（    ） A． B． C．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 D．：两个三角形全等，：两个三角形三边对应相等 【答案】D 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】对于A，当时，满足，所以充分性不成立， 反之，当时，可得，所以必要性成立， 所以是的必要不充分条件，不符合题意； 对于B，当时，可得，即充分性成立， 反之，当时，可得，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，不符合题意； 对于C，若四边形是正方形，可得四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立； 反之，若四边形的对角线互相垂直且平分，但四边形不一定是正方形，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，不符合题意； 对于D，若两个三角形全等，可得两个三角形三边对应相等，即充分性成立； 反之，若两个三角形三边对应相等，可得两个三角形全等，即必要性成立， 所以是的充分必要条件，符合题意． 故选：D． 3．（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的 条件. 【答案】充要 【分析】判断“”和“”之间的推出关系，即可得答案. 【详解】当时，可得，当时，也可得出， 故“”是“”的充要条件， 故答案为：充要 4．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）若集合，集合，则“”的充要条件是 【答案】 【分析】先由交集运算可得关于的方程，解出；再由代入集合，由交集运算得. 【详解】（1），，又， 故，解得. 即. （2）当时，， 所以，，则. 即， 综上所述，“”的充要条件是. 故答案为： . 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 【变式训练9 探求命题为真的充要条件】 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，其中是的充要条件个数有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合韦恩图可直接判断集合间的关系. 【详解】U为全集，A、B为非空集合    对于（1）； 对于（2）； 对于（3）； 对于（4）. 故选：D 2．（23-24高一上·河南·期中）已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用维恩图求解. 【详解】因为，则关系如图， 由图可知BCD选项错误，正确. 故选：A 3．（2023高一·上海·专题练习）不等式成立的充要条件是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质及充要条件的定义求解． 【详解】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即 ， 所以，两边平方得，此不等式恒成立. 故答案为：． 4．（2023高三·全国·专题练习）方程 有一正一负根的充要条件是 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解. 【详解】 有一正一负根 故答案为： 5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求成立的充要条件． 【答案】 【分析】根据充要条件的定义分析求解即可 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 当时，成立， 所以在的条件下，成立的充要条件是. 【变式训练10 根据充要条件求参数】 1．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先求出一元二次方程有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故， 解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是. 故选：B. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由两个集合相等可求得参数． 【详解】由已知，， 由p是q充要条件得，因此解得， 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件与集合包含之间的关系．掌握这个关系是解题基础． 命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件． 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 4．（22-23高三上·陕西西安·期中）集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b= ；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 （答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 /0.5 【分析】分别根据充要条件以及必要不充分条件的含义即可求解. 【详解】因为A是B的充要条件，则解集相同.，得，因为，则，解得；因为A是B的充分不必要条件，即 ，又因为，且，则，需要，解得，即 故答案为：； 5．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由. 已知集合，，是否存在实数，使得是的________? 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】根据充分与必要条件的性质，确定是否为空集，再根据集合区间的取值范围求解即可. 【详解】选A：若是的充分不必要条件，则是的真子集， 故且等号不同时成立，即，无解， 故不存在实数，使得是的充分不必要条件. 选B：若是的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，，此时且等号不同时成立， 解得，故，综上有， 故若是的必要不充分条件，则. 选C：若是的充要条件，则，故，无解， 故不存在实数，使得是的充要条件. 【变式训练11 既不充分也不必要条件】 1．（23-24高一上·江苏连云港·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】举出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案. 【详解】设，此时满足，但不满足，充分性不成立， 设，此时满足，但不满足，必要性不成立， 故是的既不充分也不必要条件. 故选：D 2．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得或，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 3．（22-23高一上·上海虹口·阶段练习）已知，则“”是“”的 . 【答案】既不充分又不必要条件 【分析】根据充分性与必要性的定义即可作出判断. 【详解】若成立，如，,则不成立， 故命题：“” “”为假命题； 若，如，，则不成立， 故命题：“” “”为假命题； 故“”是“”的既不充分又不必要条件. 故答案为：既不充分又不必要条件 4．（23-24高一·湖南·课后作业）从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空： （1）“”是“”的 ； （2）“，”是“”的 ； （3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的 ； （4）设，，都是实数，“”是“是方程的一个根”的 ． 【答案】 充要条件 既不充分又不必要条件 充分而不必要条件 充要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一分析判断即可得出答案. 【详解】解：（1）若，则，则充分性成立， 若，则，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件； （2）当，则，所以充分性不成立， 当，则， 即推不出，，则必要性不成立， 所以“，”是“”的既不充分又不必要条件； （3）两个角是对顶角，则两个角相等，则充分性成立， 当两个角相等，两个角不一定是对顶角，如两角为同位角，则必要性不成立， 所以“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分而不必要条件； （4）若，则是方程的一个根成立，则充分性成立， 当是方程的一个根时，则有，则必要性成立， 所以“”是“是方程的一个根”的充要条件. 故答案为：（1）充要条件；（2）既不充分又不必要条件；（3）充分而不必要条件；（4）充要条件. 5．（2021高一·全国·专题练习）下列各题中，试分别指出是的什么条件. （1）两个三角形相似，两个三角形全等； （2）一个四边形是矩形，四边形的对角线相等； （3），； （4），. 【答案】（1）必要不充分条件；（2）充分不必要条件；（3）充要条件；（4）既不充分也不必要条件. 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （2）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （3）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （4）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】（1）两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似， 是的必要不充分条件. （2）矩形的对角线相等，， 而对角线相等的四边形不一定是矩形，，是的充分不必要条件. （3），且，是的充要条件； （4）若，则，且，是的既不充分也不必要条件. 1．（2024·天津滨海新·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和和必要条件的概念推理即可． 【详解】若，，，则，则， ∴“”是“”的不充分条件； 若，∵，∴，即， ∴“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：D． 2．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 3．（23-24高二上·四川成都·期末）对于变量，条件，条件，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的要求，分别判断能否推出，以及能否推出即得. 【详解】由，若取，则没有意义，显然不满足，即不是的充分条件； 由，若取，显然不满足，即不是的必要条件. 故选:D. 4．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】取，，则可知由“”无法推出“”． ，，两边平方化简得； 则，“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 5．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据充分条件的定义可得，结合集合间的关系即可求解. 【详解】由题意，因为“”的充分条件是“”， 所以，即， 解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 6．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知，，则是的 ．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】必要不充分条件 【分析】由必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由题意，，所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 7．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断在上的单调性，可求得集合A，进而由“”是“”的充分不必要条件，可得，求解即可． 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上递增， 当时，；当时，．所以． ，由于“”是“”的充分不必要条件， 所以，，解得或， 所以m的取值范围是． 故答案为：． 8．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由充分不必要条件的定义,知是的真子集,分情况讨论即可. 【详解】由题意知当时, 当时， 则的取值范围是 故答案为： 9．（2023高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可. 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 10．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 【答案】 【分析】解不等式，根据充分不必要条件列不等式可得解. 【详解】由已知，即， ，即， 又是的充分不必要条件， 所以， 解得， 故答案为：. 11．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合，，若成立的一个充分条件是，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据命题的充分条件以及集合的包含关系求解. 【详解】因为是的一个充分条件， 所以，所以，解得，即的取值范围为. 12．（23-24高一上·河北·阶段练习）设p：，q：关于x的方程有实根，试分析p是q的什么条件？ 【答案】充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的概念可以得到答案. 【详解】若命题q成立，则， 解得， 由可以推出， 即由p可以推出q， 因此p是q的充分条件. 13．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）带入，再直接根据补集和交集的概念计算即可； （2）先通过条件得到，进而根据和列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， 又或， ； （2）命题p：，命题q：，p是q的必要条件， ， 或， 解得 14．（23-24高一上·上海松江·期末）已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合交集和并集的概念直接计算求解即可； （2）将充分条件转化为集合包含关系进而列式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， （2）因为“”是 “”的充分条件， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以实数的取值范围为 15．（23-24高一上·吉林通化·期中）集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集和并集的概念求解即可. （2）根据题意得到，从而得到，再解不等式组即可. 【详解】（1）若，，. 则，. （2）因为是的必要条件，所以. 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$