第06讲 等式性质与不等式性质（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第06讲 等式性质与不等式性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养； 2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养； 3．运用不等式的性质解决有关问题． 知识点 1 不等关系与不等式 1、不等式的概念 （1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式； 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 3、用不等式组表示不等式关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系． 知识点 2 等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 知识点 3 不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点 4 比较大小的方法 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 3、平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质． 考点一：用不等式（组）表示不等式关系 例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 考点二：比较实数（代数式）的大小 例2. （23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设，比较与的大小 【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知，，试比较与的大小； 考点三：利用不等式的性质判断命题真假 例3. （23-24高一上·河北石家庄·月考）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 考点四：利用不等式的性质求范围 例4. （23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五：利用不等式的性质证明不等式 例5. （23-24高一上·河北保定·月考）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 考点六：不等式性质的实际应用 例6. （23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h；生产每袋需用原料20kg，年底库存原料600t，明年可补充1200t；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（    ） A．70000到75000袋之间 B．70000到80000袋之间 C．80000到85000袋之间 D．80000到90000袋之间 【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 一、单选题 1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知，则 .（填“”，“”，或“”） 10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 . 11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 四、解答题 12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. （2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 等式性质与不等式性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养； 2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养； 3．运用不等式的性质解决有关问题． 知识点 1 不等关系与不等式 1、不等式的概念 （1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式； 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 3、用不等式组表示不等式关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系． 知识点 2 等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 知识点 3 不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点 4 比较大小的方法 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 3、平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质． 考点一：用不等式（组）表示不等式关系 例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，，所以有.故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D． 【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得， 由体积不超过得.故选：C. 【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D 考点二：比较实数（代数式）的大小 例2. （23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】由题意可得，，，， ，， ， ．故选：C． 【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【解析】由，且，即， 可得，即，故选：A. 【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设，比较与的大小 【答案】 【解析】， ， ， . 【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】由题意，由立方和公式， 可得分子， 将其代入原式得， 进一步对其分子利用基本不等式可得，且等号成立当且仅当， 将其代入原式得， 综上所述（当且仅当时取等号）. 考点三：利用不等式的性质判断命题真假 例3. （23-24高一上·河北石家庄·月考）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确；故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】取可得，，但，A错误； 取可得，，但，B错误； 因为，又，所以，故，C正确； 由，可得，所以，D正确；故选：AB. 【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对A, ，，由不等式性质易知 ，故A正确； 对B, ，,则，故B正确； 对C, ，，由不等式性质易知，故C错误； 对D, 若，则, 故D正确.故选：ABD. 考点四：利用不等式的性质求范围 例4. （23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，所以，故选：D 【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则有， 将不等式的两边同时乘，可得，所以.故选：B． 【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，， 得，即， ， 所以，即，故选：D 【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，解得， 于是 又，， 所以，即. 故．故选：D． 考点五：利用不等式的性质证明不等式 例5. （23-24高一上·河北保定·月考）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1），即， ，则. （2），， ， 则， 【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）， 由，得，而，，， 则，所以． （2）为的三边长，则有，，， 由（1）知：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以． 【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：因为， 又因为，所以，所以． （2）证明：由， 因为，， 所以，，，， 所以，． 因为，所以 又因为， 所以，即． 考点六：不等式性质的实际应用 例6. （23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足；故选：C. 【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h；生产每袋需用原料20kg，年底库存原料600t，明年可补充1200t；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（    ） A．70000到75000袋之间 B．70000到80000袋之间 C．80000到85000袋之间 D．80000到90000袋之间 【答案】D 【解析】设明年的产量为袋，则， 所以， 故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间，故选：D. 【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【答案】C 【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且， 于是，则， 又，解得，因此，此时， 所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C 【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】(1)，，证明见解析；(2)证明见解析； 【解析】（1）糖水变甜了得出不等式，. 证明：. .， ，. （2）设的三边长分别为，则有， 由（1）已证不等式可得：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以，. 一、单选题 1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得.故选：B. 2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确.故选：D. 4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误； 对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误，故选：C. 5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误；故选：D. 6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以，故选：A． 二、多选题 7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，所以，因为，所以，所以B正确， 对于C，因为，，，所以，， 所以， 所以，所以C正确， 对于D，若，则，所以D错误，故选：BC 8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A，由，，知，得，故A正确； 对于B，当时，故B错误； 对于C，当时，由，得， 又，则，故有，故C正确； 对于D，当，时，，D中不等式不一定成立，故D错误．故选：AC. 三、填空题 9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【解析】，故.故答案为：. 10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 . 【答案】，，(答案不唯一) 【解析】当时，，， 此时满足，但是. 故答案为：(答案不唯一). 11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【答案】 【解析】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1），则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. （2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 【答案】（1）；证明见解析；（2）小东买到的糖的平均价格较高，证明见解析； 【解析】（1）糖水变甜了得出不等式 设的三边长分别为，则有， 由上述不等式可得：， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以：. （2）对于小东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克）， 对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克， 故小华买到的糖的平均价格为（元/千克）， ，即小东买到的糖的平均价格较高. 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