第07讲 基本不等式（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第07讲 基本不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解基本不等式的证明过程； 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小； 3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题. 知识点 1 基本不等式 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）常见变形：； （3）常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 知识点 2 最值定理 1、最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 知识点 3 基本不等式的变式与拓展 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 考点一：对基本不等式的理解 例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（    ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 考点二：利用基本不等式比较大小 例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若，则，中不可能是最大值的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 考点三：利用基本不等式求最值 例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 考点四：利用基本不等式证明不等式 例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a，b，c均为正数，求证：． 【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数. (1)证明：； (2)若，证明：. (3)已知是正数，且，求证：． 考点五：基本不等式恒成立问题 例5. （23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 考点六：基本不等式在实际中的应用 例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计） 【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 3．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 6．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 三、填空题 9．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 . 10．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台. 11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 13．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为，且直角三角形的周长为2.（已知正实数，都有，当且仅当时等号成立） (1)求直角三角形面积的最大值； (2)求正方形面积的最小值. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 基本不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解基本不等式的证明过程； 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小； 3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题. 知识点 1 基本不等式 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）常见变形：； （3）常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 知识点 2 最值定理 1、最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 知识点 3 基本不等式的变式与拓展 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 考点一：对基本不等式的理解 例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（    ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【答案】B 【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数， 所以不等式成立的前提条件为，即.故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 【答案】A 【解析】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，当时，，所以B选项错误. C选项，当时，，所以C选项错误. D选项，当时，，不成立，所以D选项错误. 故选：A 【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，当为负数时不成立，故A错误， 对于B，，则，故B正确， 对于C，，则都为正数，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确， 对于D，， 当且仅当和同时成立，即时等号成立，故D正确，故选：BCD 【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可知，， 因为，， 则，所以， ，即，所以； 在中，，即 当时，、点重合， ，此时， 则，所以A正确； 对于C选项，在中，，则， 又因为，所以，， 可得，即，所以， 由于，所以， 当时，，此时， 综上，，所以C正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应， 故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：AC. 考点二：利用基本不等式比较大小 例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】、为互不相等的正实数，则， 所以，，时，， 所以．故选：A． 【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由基本不等式得，故， 因为，， 两式相减得，， 故，所以，故， 所以.故选：B 【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若，则，中不可能是最大值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由于，则， 故，，则，不可能是最大值，B，C符合题意； 由于， 当时，，， 故， 即，故不可能是最大值，A符合题意，故选：ABC 【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A，因为，则， 所以，故选项A正确； 因为，所以，，又，得到 故，所以选项B和D正确， 对于选项C，取，满足，但，所以C错误，故选：ABD. 考点三：利用基本不等式求最值 例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【解析】，当且仅当，即取得等号，满足题意.故选：B. 【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以.故选：A. 【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为， 当且仅当时取等号，所以的最小值为8.故选：C. 【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为．故选：B 【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且，，所以， 则， 当且仅当时，即当，时，等号成立. 因此，的最小值是.故选：C. 考点四：利用基本不等式证明不等式 例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即，故； （2）因为，所以， 因为，，所以，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，即． 【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a，b，c均为正数，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】∵a，b，c均为正数， ∴， 当且仅当，即时，等号成立． ， 当且仅当，即时，等号成立． ∴， 故， 当且仅当时，等号成立． 【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数. (1)证明：； (2)若，证明：. (3)已知是正数，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1）由， 当且仅当时等号成立，即，得证. （2）由 ， 当且仅当时等号成立，则，得证. （3）由， 当且仅当时等号成立，不等式得证. 考点五：基本不等式恒成立问题 例5. （23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【解析】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9.故选：D 【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】A 【解析】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立.故选：A. 【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是，故选：B. 【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错；故选：ACD 考点六：基本不等式在实际中的应用 例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为，故选：B． 【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【解析】设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计） 【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【解析】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【解析】设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意可知，， ，当且仅当，即时，等号成立， 即取最小值时的取值为．故选：． 2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题意，解得，等号成立当且仅当.故选：B. 3．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是.故选：C. 4．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4.故选：C 5．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【答案】B 【解析】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3．故选：B. 6．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即，故选：D. 二、多选题 7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【解析】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：CD. 8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】ACD 【解析】由，则，得，A正确； 由，取，则，故B错误； 由于，则，则，故C正确； 由于，故D正确，故选：ACD． 三、填空题 9．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 . 【答案】9 【解析】由，得，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 10．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台. 【答案】300 【解析】购买台机器人的总成本为， 则平均成本， 当且仅当，即时，平均成本最低为2万元. 故答案为：300. 11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】若关于的不等式恒成立，则， 因为，故， 当且仅当时取等，故得，解得. 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）  ；（3）． 【解析】（1）， 当且仅当，即时取等号． 故取得最大值时，的值为． （2）．（） 当且仅当，即时取等号． 故函数的最小值为． （3）x，，． 当且仅当，即，时取等号． ∴的最小值为． 13．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为，且直角三角形的周长为2.（已知正实数，都有，当且仅当时等号成立） (1)求直角三角形面积的最大值； (2)求正方形面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得：， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以直角三角形面积的最大值为； （2）因为， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以正方形面积的最小值为. 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