3.1.2 椭圆的简单几何性质-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.2 椭圆的简单几何性质 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 直观想象 数学运算 课前预习 预习01 　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 预习02 直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 知识讲解 椭圆的相关性质： 椭圆 定义 1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1） 图形 方 程 标准方程 (>0) (>0) 范围 ─axa，─byb ─axa，─byb 中心 原点O（0，0） 原点O（0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (0, a), (0,─a), (b ,0) , (─b ,0) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(0,─c), F2 (0 ,c) 焦距 2c （其中c=） 2c （其中c=） 离心率 准线 x= x= 焦半径 通径 a,b,c 关系 【大招总结】 大招1由标准方程研究几何性质 　　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出a，b，c； (4)写出椭圆的几何性质． 注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． 大招2 利用几何性质求标准方程 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．　　　　 注：（1）与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： （2）有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 大招3点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 大招4　求椭圆的离心率　　 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．　　　 大招5直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． 大招6弦长及中点弦问题 解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　　 大招7　求椭圆的最值问题 求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．　　　　 大招8椭圆的实际应用问题 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． 大招9与椭圆有关的综合问题 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 典型例题 题型01由标准方程研究几何性质 【例1】已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 【解析】(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝； (2)椭圆C2：＋＝1， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e＝. 【变式】椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型02利用几何性质求标准方程 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解析】(1)设椭圆的方程为 ＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)． 由已知得2a＝10，a＝5. 又∵e＝＝，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. (2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为＋＝1. 【变式】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________． 题型03点与椭圆的位置关系 【例3】点与椭圆的位置关系为（       ） A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定 【解析】，可知点在椭圆内．故选：B. 【变式】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型04求椭圆的离心率 【例4】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】如图，△BF1F2是正三角形， ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A. 【变式】若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 题型05求椭圆的离心率的取值范围 【例5】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． 【解析】依题意可得2c≥2b，即c≥b. 所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2， 即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥. 又因为0<e<1， 所以椭圆离心率的取值范围是. 【变式】椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围． 题型06由椭圆的离心率求参数（范围） 【例6】已知椭圆＋＝1的离心率e＝.求k的值． 【解析】分两种情况进行讨论． (1)当椭圆的焦点在x轴上时，由a2＝k＋8，b2＝9，得 c2＝k－1. ∵e＝，∴＝，解得k＝4. (2)当椭圆的焦点在y轴上时， 由a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k. ∵e＝，∴＝.解得k＝－. 综上可得，k＝4或k＝－. 【变式】已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 题型07直线与椭圆的位置关系 【例7】直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【解析】，在椭圆内， 恒过点，直线与椭圆相交. 故选：A. 【变式】若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围． 题型08 弦长及中点弦问题 【例8】已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【解析】由椭圆知，，所以， 所以右焦点坐标为，则直线的方程为， 设， 联立，消y得，， 则， 所以. 即弦AB长为. 故选：C. 【变式】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点、右顶点和下顶点分别为，坐标原点到直线的距离为，则 的面积为（       ） A． B．4 C． D． 【例9】若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为(    ) A． B． C． D． 【解析】设. 则 两式相减得 即 因为,线段AB的中点为,所以 所以 所以直线的方程为,即 故选: A 【变式】若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型09求椭圆的参数或范围问题 【例9】已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】设椭圆上关于直线的对称的两点分别为， 的中点为，直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程，得， 消元可得， ， ，，， ，， 又点在直线上，， ，，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：C 【变式】已知点P是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，则当为钝角时，点P的横坐标可以为______． 题型10求椭圆的最值问题 【例10】椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由，设， 设点到直线：的距离， 所以有， 其中， 所以当时，有最小值， 故选：C 【变式】已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 题型11椭圆的定点、定值问题 【例11】已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值 【解析】（1）由题意椭圆经过点 ，离心率为， 可得，解得， 故椭圆C的方程为 （2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为， 由，可得， 由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N， 则，解得， 设,则， ， 故 ， 即为定值. 【变式】已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值． 题型12椭圆的实际应用问题 【例12】中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C.< D.> 【解析】由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确； 在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|， 在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2， 所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确； a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1， 所以a－c＋2a1c2＝a－c＋2a2c1， 即b＋2a1c2＝b＋2a2c1，由图可得，b>b， 所以2a1c2<2a2c1，<，所以C错误，D正确． 故选BD 【变式】神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为(　　) A．d1＋d2＋R　　　　　 B．d2－d1＋2R C．d2＋d1－2R D．d1＋d2 题型13与椭圆有关的综合问题 【例13】已知椭圆的左右焦点分别为，，点，均在椭圆上，且均在轴上方，满足条件，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】设，由，得，解得（舍），，则，即，设，则，因为，所以，解得，因为，，所以（舍）. 故选：D 【变式】设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得 成立的点的个数为（    ） A． B． C． D． 强化训练 1．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（    ）cm A．30 B．10 C．20 D． 2．已知椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上，直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 5．已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．点F是椭圆的一个焦点，PQ是过椭圆中心O的一条弦，则△PQF的面积的最大值是（其中）（    ） A． B．ab C．ac D．bc 7．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 8．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则下列结论中正确的是（    ）    A．轨道Ⅱ的焦距为 B．轨道Ⅱ的长轴长为 C．若不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小 D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越大 10．椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（　　） A． B． C． D． 11．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B． C． D． 12．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为 C． D．的周长为 13．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为 . 14．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是，则卫星轨道的离心率为 . 15．“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为 千米. 16．从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是 . 17．某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.如图所示，小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为，是天文学的一种长度单位）.求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位（参考数据）.    18．设直线与椭圆的方程分别为与，问为何值时， (1)直线与椭圆有一个公共点； (2)直线与椭圆有两个公共点； (3)直线与椭圆没有公共点． 19．已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 20．已知椭圆的离心率，点在上，为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)若不过原点的直线交于，两点，是线段的中点，且直线的斜率为2，求直线的斜率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 直观想象 数学运算 课前预习 预习01 　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 预习02 直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 知识讲解 椭圆的相关性质： 椭圆 定义 1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1） 图形 方 程 标准方程 (>0) (>0) 范围 ─axa，─byb ─axa，─byb 中心 原点O（0，0） 原点O（0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (0, a), (0,─a), (b ,0) , (─b ,0) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(0,─c), F2 (0 ,c) 焦距 2c （其中c=） 2c （其中c=） 离心率 准线 x= x= 焦半径 通径 a,b,c 关系 【大招总结】 大招1由标准方程研究几何性质 　　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出a，b，c； (4)写出椭圆的几何性质． 注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． 大招2 利用几何性质求标准方程 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．　　　　 注：（1）与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： （2）有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 大招3点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 大招4　求椭圆的离心率　　 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．　　　 大招5直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． 大招6弦长及中点弦问题 解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　　 大招7　求椭圆的最值问题 求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．　　　　 大招8椭圆的实际应用问题 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． 大招9与椭圆有关的综合问题 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 典型例题 题型01由标准方程研究几何性质 【例1】已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 【解析】(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝； (2)椭圆C2：＋＝1， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e＝. 【变式】椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【解析】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得． 故选：C. 题型02利用几何性质求标准方程 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解析】(1)设椭圆的方程为 ＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)． 由已知得2a＝10，a＝5. 又∵e＝＝，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. (2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为＋＝1. 【变式】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________． 【解析】∵e＝＝， ∴＝＝， ∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2. 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)， ∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1. 解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 题型03点与椭圆的位置关系 【例3】点与椭圆的位置关系为（       ） A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定 【解析】，可知点在椭圆内．故选：B. 【变式】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得, 故选：B. 题型04求椭圆的离心率 【例4】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】如图，△BF1F2是正三角形， ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A. 【变式】若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】依题意得＝，∴c＝2b，∴a＝＝b，∴e＝＝＝.故选D. 题型05求椭圆的离心率的取值范围 【例5】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． 【解析】依题意可得2c≥2b，即c≥b. 所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2， 即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥. 又因为0<e<1， 所以椭圆离心率的取值范围是. 【变式】椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围． 【解析】设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2＋y2＝2. ∴y2＝ax－x2.① 又P点在椭圆上，故＋＝1.② 把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即 (x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0， ∴x＝，又0<x<a， ∴0<<a，即2b2<a2. 由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>. 又∵0<e<1，∴<e<1. 题型06由椭圆的离心率求参数（范围） 【例6】已知椭圆＋＝1的离心率e＝.求k的值． 【解析】分两种情况进行讨论． (1)当椭圆的焦点在x轴上时，由a2＝k＋8，b2＝9，得 c2＝k－1. ∵e＝，∴＝，解得k＝4. (2)当椭圆的焦点在y轴上时， 由a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k. ∵e＝，∴＝.解得k＝－. 综上可得，k＝4或k＝－. 【变式】已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，则，所以. 故选：D 题型07直线与椭圆的位置关系 【例7】直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【解析】，在椭圆内， 恒过点，直线与椭圆相交. 故选：A. 【变式】若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围． 【解析】∵直线y＝kx＋1过定点A(0,1)． 由题意知，点A在椭圆＋＝1内或椭圆上， ∴＋≤1，∴m≥1. 又椭圆焦点在x轴上∴m<5， 故m的取值范围为[1,5). 题型08 弦长及中点弦问题 【例8】已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【解析】由椭圆知，，所以， 所以右焦点坐标为，则直线的方程为， 设， 联立，消y得，， 则， 所以. 即弦AB长为. 故选：C. 【变式】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点、右顶点和下顶点分别为，坐标原点到直线的距离为，则 的面积为（       ） A． B．4 C． D． 【解析】设， 由题意可知，其中， 所以的方程为，即 所以原点到直线的距离为，所以，即，； 所以直线的方程为， 所以到直线的距离为； 又， 所以 的面积为. 故选：C. 【例9】若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为(    ) A． B． C． D． 【解析】设. 则 两式相减得 即 因为,线段AB的中点为,所以 所以 所以直线的方程为,即 故选: A 【变式】若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设弦被点平分，弦的两个端点,为 ， 则， ， 两式作差变形可得 ,即 ， 而 ， 故，即弦的斜率为-1， 所以弦的方程为 ，即 ， 故选：B. 题型09求椭圆的参数或范围问题 【例9】已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】设椭圆上关于直线的对称的两点分别为， 的中点为，直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程，得， 消元可得， ， ，，， ，， 又点在直线上，， ，，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：C 【变式】已知点P是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，则当为钝角时，点P的横坐标可以为______． 【解析】设，由题意可知， 即． 因为点P在椭圆上，所以， 所以， 解得，可以取1（只要在内即可）． 故答案为：1（答案不唯一）． 题型10求椭圆的最值问题 【例10】椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由，设， 设点到直线：的距离， 所以有， 其中， 所以当时，有最小值， 故选：C 【变式】已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以，即为直角三角形，即，要使得最小，则最小，，则的最小值为，即的最小值为. 故选：D 题型11椭圆的定点、定值问题 【例11】已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值 【解析】（1）由题意椭圆经过点 ，离心率为， 可得，解得， 故椭圆C的方程为 （2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为， 由，可得， 由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N， 则，解得， 设,则， ， 故 ， 即为定值. 【变式】已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值． 【解析】（1）依题意，又，所以， 所以， 所以椭圆方程为. （2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形， 且，所以，即， 又，，所以， 若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合， 则，所以， 所以， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得， 所以，，， 所以 所以， 整理得， 又， 又原点到的距离， 所以， 将代入得， 所以， 综上可得，四边形的面积为定值. 题型12椭圆的实际应用问题 【例12】中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C.< D.> 【解析】由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确； 在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|， 在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2， 所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确； a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1， 所以a－c＋2a1c2＝a－c＋2a2c1， 即b＋2a1c2＝b＋2a2c1，由图可得，b>b， 所以2a1c2<2a2c1，<，所以C错误，D正确． 故选BD 【变式】神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为(　　) A．d1＋d2＋R　　　　　 B．d2－d1＋2R C．d2＋d1－2R D．d1＋d2 【解析】设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.故选D 题型13与椭圆有关的综合问题 【例13】已知椭圆的左右焦点分别为，，点，均在椭圆上，且均在轴上方，满足条件，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】设，由，得，解得（舍），，则，即，设，则，因为，所以，解得，因为，，所以（舍）. 故选：D 【变式】设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得 成立的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【解析】设， ∵分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点， ∴，， ∵， ∴，即①， 又∵为椭圆上任意一点，∴②， 联立①②得，或， ∴使得成立的点P的个数为2. 故选：B. 强化训练 1．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（    ）cm A．30 B．10 C．20 D． 【答案】C 【分析】求出大椭圆的离心率，根据两椭圆离心率相同，结合小椭圆短半轴长即可求得其长半轴长，即得答案. 【详解】在大椭圆中，，，则，则椭圆离心率为． ∵两椭圆扁平程度相同，∴离心率相等，∴在小椭圆中，， 结合题意知，得，∴小椭圆的长轴长为20． 故选：C 2．已知椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上，直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程得到的坐标，再结合斜率公式即可求解 【详解】由题意知． 设，则， 为椭圆上一点， ，即， 即． 故选：A 3．下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将曲线方程化为，结合椭圆对称性判断①②③，根据直线对称的特征判断④. 【详解】曲线方程可化为，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆， 由椭圆的性质，知该曲线关于x轴对称、y轴对称、原点对称. 将曲线方程中的x换成y，y换成x，得，与原曲线方程不同， 故该曲线不关于直线对称. 即正确的为①②③，④错误. 故选：C. 4．若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【分析】 根据椭圆的对称性可判断. 【详解】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C 5．已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解. 【详解】设，则， 因为P点在椭圆上，则，记， 所以， 又因为开口向上，对称轴， 且，所以当时，取到最小值. 故选：B. 6．点F是椭圆的一个焦点，PQ是过椭圆中心O的一条弦，则△PQF的面积的最大值是（其中）（    ） A． B．ab C．ac D．bc 【答案】D 【分析】利用椭圆的对称性及范围即得. 【详解】由椭圆的对称性可知P、Q关于原点对称， 所以， 故当时，△PQF的面积最大，最大值为. 故选：D. 7．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将方程化为标准式，即可求出焦点坐标，设所求椭圆方程为，由焦点的坐标和点在椭圆上建立关于、的方程组，解之即可得到、的值，从而得到所求椭圆的方程． 【详解】解：因为椭圆，即， ，，可得，椭圆的焦点为， 设椭圆方程是，则，解得 所求椭圆的方程为. 故选：A． 8．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项. 【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 故选：D. 9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则下列结论中正确的是（    ）    A．轨道Ⅱ的焦距为 B．轨道Ⅱ的长轴长为 C．若不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小 D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越大 【答案】ABD 【分析】设椭圆方程，根据椭圆的性质得到，判断选项A，B；由判断选项C；由判断选项D. 【详解】解：设椭圆方程， 由椭圆的性质知，，， 则，，故选A，B正确； ，，所以， 若不变，越大，越大，即轨道Ⅱ的短轴长越大，故C的错误； ， 若不变，越大，则越小，越大，即轨道Ⅱ的离心率越大，故D正确． 故选：ABD． 10．椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，结合椭圆的离心率定义和计算方法，即可求解. 【详解】根据椭圆的离心率为，可得， 因为，可得，所以， 所以. 故答案为：AD. 11．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据椭圆的离心率相等可得所以，可判断B；再由可判断A；设，可判断C；根据可判断D. 【详解】依题意，，即， 所以，所以，因此B正确； 又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确； 设，其中，则有， 即有，则，因此C错误； ， 即有，则，因此D错误． 故选：AB． 12．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为 C． D．的周长为 【答案】AC 【分析】AB选项，根据短轴长，离心率和求出，，焦点在y轴上，所以求出椭圆方程；C选项，求出P，Q两点的横坐标，进而得到通径长；D选项利用椭圆的定义进行求解. 【详解】由题意得：，所以，因为，，解得：，，因为焦点在y轴上，所以椭圆C的方程为，A正确，B错误；不妨设，则P，Q两点的纵坐标也为，令中，解得：，所以不妨令，，所以，C正确；根据椭圆的定义可知，的周长为，故D错误. 故选：AC 13．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义求解即得. 【详解】椭圆的半焦距，其焦点坐标为， 由椭圆的定义得所求长轴长 . 故答案为： 14．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是，则卫星轨道的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而确定椭圆的离心率，得到答案. 【详解】如图所示，可得，即， 又由， 所以椭圆的离心率为， 故答案为：. 15．“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为 千米. 【答案】 【分析】设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，根据已知条可得出关于、、的等式，求出的值，即可得解. 【详解】设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，则， 两式作差，可得，椭圆形轨道的焦距为千米. 故答案为：85. 16．从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为，即可求解. 【详解】由题意，椭圆C在点处的切线，且， 所以切线的斜率为，而角的角平分线的斜率为， 又由切线垂直角的角平分线，所以， 即. 故答案为：. 17．某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.如图所示，小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为，是天文学的一种长度单位）.求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位（参考数据）.    【答案】3.5245，2.8752 【分析】依题意设椭圆的焦点为，，焦距为，太阳位于焦点处，则，从而求出、、，即可得解. 【详解】如图，设椭圆的焦点为，，焦距为，太阳位于焦点处， 小行星位置到两焦点的距离之和等于一个固定值. 要使最大，必须距离之差最大， 但，仅当，，成一条直线且在和之间时，达到最大值，达到最大值. 而仅当达到最大值时，达到最小值， 可见， 解得，， 因此， 故椭圆的长半轴长为天文单位，短半轴长为天文单位. 18．设直线与椭圆的方程分别为与，问为何值时， (1)直线与椭圆有一个公共点； (2)直线与椭圆有两个公共点； (3)直线与椭圆没有公共点． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】联立直线与椭圆方程，分别根据判别式等于，大于，小于可求出结果. 【详解】（1）由直线方程得，代入椭圆方程后整理得． 上述方程的判别式． 由此可知： 当时，，直线与椭圆只有一个公共点． （2）当时，，直线与椭圆有两个公共点． （3）当或时，，直线与椭圆无公共点．    19．已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程中，利用一元二次方程根的判别式进行求解判断即可； （2）根据椭圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）将直线的方程代入椭圆方程中，得 ， 该一元二次方程根的判别式， 所以直线与椭圆总有两个不同交点； （2）设，则有， 因为，所以 ， 所以的值为. 20．已知椭圆的离心率，点在上，为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)若不过原点的直线交于，两点，是线段的中点，且直线的斜率为2，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率定义和点代入可解得，得解； （2）设直线的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得线段的中点为的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【详解】（1），， 椭圆的方程可化为，又点在椭圆上，， 椭圆的标准方程为. （2）由题意知直线不过原点且斜率存在， 设直线的方程为，，，， 联立，整理得， 则， ，， 又直线的斜率为，，解得. 即直线的斜率为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$