专题4 构造全等三角形的常用方法-【中考123】2024-2025学年八年级上册数学全程导练（人教版）黑龙江专版

第十二章全等三角形 专题4构造全等三角形的常用方法 [答案PI4 类型①利用“截长补短法”构造全等三角形 类型2利用“角平分线”构造全等三角形 方法指导：戴长补短法的具体做法：在某一条线段上 方法指导：因为角平分线本身已经具备全等三角形 载取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延 的三个条件中的两个（角相等和公共边相等），故 长，使之与特定线段相等，再利用全等三角形的性 在处理角平分线间题时，常作以下辅助线构造全 质加以说明.这种方法适用于证明线段的和、差、 等三角形： 倍、分等关系. (1)在角的两边截取两条相等的线段： 1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是∠BAC的平 (2)过角平分线上的一点作角两边的垂线段. 分线.求证：AC=AB+BD. 3.如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE,垂足 为D,求证：∠2=∠1+∠C. 1题图 3题图 2.如图，AB∥CD.CE,BE分别是∠BCD和∠CBA的 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平 平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD. 分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上，试 探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的 结论 2题图 4题图 见此闲标围补音/低信牡码领取你的考场冲刺政略！ 2八年级数学（上册）@ 5.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定7.如图，已知CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是 点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P △ABD的中线.求证：AC=2AE. 旋转的过程中，其两边分别与OA,OB相交于M, N两点，求证：PM=PN 7题图 N 5题图 类型3利用“倍长中线法”构造全等三角形 8.如图，在△ABC中，D为BC的中点 方法指导：将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三 (1)求证：AB+AC>2AD: 角形全等， (2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围. 6.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M 为BC的中点，求证：DE=2AM. D 8题图 6题图 38 见此阁标鼠补音/餐信牡码领取你的考场冲刺政暗！”八年级数学（上册）在 (2)如答图②，点0在∠C的角平分线上.由此可 ∴.∠5+∠D=180 以得到点O到三角形三条边的距离相等， 又…∠5+∠6=180°， .∠6=∠D ∠D=∠6， 在△CDE和△CFE中， ∠4=∠3， CE =CE, H ∴.△CDE≌△CFE(AAS). 11题答图② 11题答图3 .CF=CD, (3)如答图③，符合条件的点有4个：点G,H,1,J. .BC BF +CF =AB +CD. 微专题3与角平分线有关的面积计算 3.证明：如答图，延长AD交BC于点F 【例】6：7：5 ,AD⊥BE 【变式训练】1.6cm2.2 .∠ADB=∠FDB=90 专题4构造全等三角形的常用方法 BE是角平分线， D 1.证明：如答图，在AC上截取AE=AB,连接DE. ∴∠ABD=∠FBD. :AD是∠BAC的平分线， 在△ABD和△FBD中， ∠EAD=∠BAD. r∠ABD=∠FBD, 3题答图 在△AED和△ABD中. BD=BD. AE=AB, ∠ADB=∠FDB, ∠EAD=∠BAD. ∴.△ABD≌△FBD(ASA), LAD =AD. ∴∠2=∠AFB. 1题答图 ,∴.△AED≌△ABD(SAS). 又：∠AFB=∠1+∠C, ,ED=BD,∠AED=∠B. ∠2=∠1+∠C. *∠B=2∠C, 4.解：CD=2BE.理由如下： ,∠AED=2∠C 如答图，延长BE交CA的延长线于点F 又，∠AED为△CED的外角， CD平分∠ACB, F .∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠FCE=∠BCE .∠C=∠EDC, BE⊥CD, ∴EC=ED.,EC=BD ,∴.∠CEB=∠CEF=90° .AC=AE+EC =AB BD. 在△CEF和△CEB中， 4题答图 2.证明：如答图，在BC上取点F, LFCE=∠BCE, 使BF=BA,连接EF CE=CE, ,BE,CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∠CEF=∠CEB=90°， .△CEF≌△CEB(ASA), ∴FE=BE. 56 '∠DAC=∠CEF=90°， F C ∴.∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°， 2愿答图 .∠ACD=∠ABF ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. 在△ACD和△ABF中， AB FB. LACD=∠ABF, 在△ABE和△FBE中，{∠1=∠2 AC =AB. BEBE, L∠CAD=∠BAF=90°， ∴，△ABE≌△FBE(SAS), ∴.△ACD≌△ABF(ASA), .∠A=∠5. ∴CD=BF, AB∥CD. ∴.CD=2BE. ∴∠A+∠D=180° ·14· 参考答案及解析 5.证明：过点P作PE⊥OA于点E, .,BF=DA.∠FBE=∠ADE PF⊥OB于点F,如答图. ,∠ABF=∠ABD+∠FBE, .∠PE0=∠PF0=90°， ,.∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC. .∠EPF+∠AOB=180. AB=CD. '∠MPN+∠A0B=180°， 在△ABF和△CDA中， ∠ABF=∠CDA, ∴，∠EPF=∠MPN, BF DA, .∠EPIM=∠FPN ∴.△ABF≌△CDA(SAS), B OP平分∠AOB, 5题答图 ∴AC=AF PE⊥OA,PF⊥OB, .AF =2AE, ∴.PE=PF .AC =2AE. ∠EPM=∠FPN. 8.(1)证明：如答图，延长AD到点E,使DE=AD,连 在△PEM和△PFN中， PE=PF, 接BE. ∠PEM=∠PFN, .△PEM≌△PFN(ASA), ∴PM=PN 6.证明：如答图，延长AM至点N,使MN=AM,连接BV D 点M为BC的中点， .CM BM. 在△AMC和△NMB中， E AM =NM. 8题答图 ∠AMC=∠NMB. D为BC的中点，∴DB=CD. CM BM, AD ED. ,∴.△AMC≌△NMB(SAS). 6题答图 在△ADC和△EDB中， ∠ADC=∠EDB. .AC=BN,∠C=∠NBM. CD=BD. .·AB⊥AE,AD⊥AC, ∴△ADC≌△EDB(SAS),∴.AC=BE. ÷∠EAB=∠DAC=90°， 在△ABE中，AB+BE>AE, ,∠EAD+∠BAC=18O°， AE =2AD,..AB +AC>2AD. ∴，∠ABN=∠ABC+∠NBM (2)解：AB=5,AC=3, =∠ABC+∠C ∴.5-3<2AD<5+3, =180°-∠BAC=∠EAD. .1<AD<4. AE=BA. 第十二章 易错强化训练 在△EAD和△ABN中.∠EAD=∠ABN, 1.D2.C3.1 (AD BN, 4.解：△4BC与△FDE不全等.理由：相等的两边不是 ,∴.△EAD≌△ABN(SAS), 相等的两角的对边，不符合全等三角形的判定条件。 .'DE =AN =2AM. 5.D6.5或47.C8.A 7.证明：延长AE至点F,使EF=AE, 第十二章 章末复习 连接BF,如答图. 【知识体系构建】 AE是△ABD的中线， ①完全重合2≌3相等4相等⑤相等 .BE DE. 6相等 在△ADE和△FBE中， 【黑龙江常考题型训练】 AE FE, 1.C ∠AED=∠FEB, DE BE, 2.BC=EF(答案不唯-)3.55°4.45.116.4 7.证明：BE=CF, ∴.△ADE≌△FBE(SAS). 7题答图 ∴.BE-CE=CF-CE,即BC=EF ·15·