专题3 全等三角形的常见模型-【中考123】2024-2025学年八年级上册数学全程导练（人教版）黑龙江专版

第十二章全等三角形 专题3全等三角形的常见模型 [答案PII 类型①平移模型 类型3旋转模型 【模型展示】 【模型展示】 C■ △ 基本模型 P B 两个等边二角形 基木模型 A B.CEF 两个等腰直角三角形 1.如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC,且OD=BC. (1)求证：△AOD≌△OBC: 必 (2)若∠AD0=35°，求∠D0C的度数. 两个正方形 3.已知△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE ∠ACB=∠DCE=a,AE与BD交于点F. (1)如图①，当a=90时，求证： ①△ACE≌△BCD: 1题图 ②AE⊥BD: (2)如图②，当a=60时，直接写出∠AFB的度 数为 (3)如图③，直接写出∠AFD的度数为 类型2对称模型 (用含a的式子表示) 【模型展示】 基本模型 共边AB 3题图① 3题图②3题图③ 共边AE 对顶角∠ABC=∠DB历 以D 共∠书 2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AD=CD, 2题图 见此闲标鼠补音/薇信牡码领取你的考场冲刺政蹈！ 31 八年级数学（上册）m 类型④一线三等角模型 5.如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD= 【模型展示】 120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上 的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD 之间的数量关系 王蓓同学探究此问题的方法：延长FD到点G,使 DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 锐角一线二等角 钝角一线一等角 明△AEF≌△AGF,即可得出BE,EF,FD之间的 变形 数量关系，他的结论应是 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一 38 直角一线三等角 半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称 为半角模型。 4.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过 【拓展】如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD 点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. ∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，试 问DE,AD,BE具有怎样的等量关系？并加以 ∠EMF=之∠BAD,则BE,EF,FD之间的数量关 证明： 系是 请证明你的结论， (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，DE, 【实际应用】如图③，在某次军事演习中，舰艇甲 AD,BE具有怎样的等量关系？（请直接写出 在指挥中心(0处)北偏西30°的A处，舰艇乙在 这个等量关系，不需要证明) 指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中 心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲沿正东 方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以80海里/时的速度前进，1.2小时 后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F 4题图①D 4题图② 处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇 之间的距离是 海里，（直接写出答案）》 5题图① 5题图② 5题图3 类型5半角模型 【模型展示】 等腰直角二角形含半 正方形含半角 见此闲标鼠孙音/隧信甘码领取你的考场冲刺政路！参考答案及解析 AB=DE. .∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， 在Rt△ABG和Rt△DEH中， AG DH, .∠ACD=∠CBE. ∴.R△ABG≌Rt△DEH(HL), ∠ADC=∠CEB. ∴.∠B=LE. 在△ADC和△CEB中 ∠ACD=∠CBE, ∠B=∠E LAC=CB. 在△ABC和△DEF中 ∠ACB=∠DFE, .△ADC≌△CEB(AAS), AB DE, .AD =CE,DC=BE. ∴.△ABC≌△DEF(AAS). ∴.DE=CE-CD=AD-BE. 当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方法类似， (2)DE=BE-AD. ∴.李乐的说法正确 5.解：EF=BE+DF 专题3全等三角形的常见膜型 【拓展】EF=BE+DF 1.(1)证明：：点0是线段AB的中点， 证明如下：如答图，延长FD到点G,使DG=BE.连 ∴A0=0B 接AG. OD∥BC. ∴，∠AOD=∠OBC. 又：O0D=BC, ,△AOD≌△OBC. (2)解：.△AOD≌△0BC. .∴.∠.AD0=∠0CB=35°. 5题答图 OD∥BC, ∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， .,∠D0C=∠0CB=35. ∴.∠B=∠ADG 2.证明：∠3=∠4. BE =DG. ∠BEA=∠BEC 在△ABE和△ADG中， ∠B=∠ADG, 又：BE=BE,∠1=∠2， AB AD, .△BAE≌△BCE, ∴.△ABE≌△ADG(SAS), ,∴AE=CE. ..AE=AG, 又：∠3=∠4，ED=ED, ∠BAE=∠DAGA .△AED≌△CED, :AD =CD. ∠EF=3∠BMD. 3.(1)证明：①.·∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF= .∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE, ∠BAD-∠EAF=∠EAF, 即∠ACE=∠BCD. ∴.∠EAF=∠GAF 又AC=BC,CE=CD. AE=AG, .△ACE≌△BCD. 在△AEF和△AGF中 ∠EAF=∠GAF. ②.·△ACE≌△BCD LAF =AF, ∠CAE=∠CBD. .△AEF≌△AGF(SAS), :∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°， ..EF GF. .∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°， 又GF=DC+DF=BE+DF, .∠AFB=90°， .EF BE DF. .AE⊥BD 【实际应用】168 (2)解：60 12.3角的平分线的性质 (3)解：180°-x 第1课时 角的平分线的性质 4.解：(1)DE=AD-BE. 【知识要点分类练】 证明：：AD⊥MN,BE⊥MN, 1.A ·11