13.3.2 等边三角形-【中考123】2024-2025学年八年级上册数学全程导练（人教版）黑龙江专版

八年级数学（上册）D 13.3.2等边三角形 第1课时 等边三角形的性质和判定 [答案21] 知识要点分类练典： 知识点2等边三角形的判定 7.下列关于等边三角形的描述，错误的是 () 知识点1等边三角形的性质 A.三边相等的三角形是等边三角形 1.(哈尔渎通河县期末)如图，将一个等边三角形纸 B.三个角相等的三角形是等边三角形 片剪去一个角后变成了一个四边形，则图中∠1+ C.有一个角是60°的三角形是等边三角形 ∠2的度数为 () D.有两个角是60的三角形是等边三角形 A.180° B.220° C.240° D.300° 8.如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC的中点， D DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE=DF 求证：△ABC是等边三角形. 1题图 2题图 2.(福建中考)如图，点F在正五边形ABCDE的内 部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于() 8题图 A.108°B.120° C.126° D.132° 3.(阜新中考)如图，直线a,b分别过等边△ABC的 顶点A和C,且a∥b,∠1=42°，则∠2的度数为 知识点3等边三角形的性质和判定的综合应用 9.新情境如图①，衣架杆0A=0B=18em.若衣架 收拢时，∠AOB=60°，如图②，则此时A,B两点之 3题图 4题图 5题图 间的距离是 cm. 4.如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD 为BC边上的中线，AD,BE相交于点F,若∠AEB =100°，则∠AFB的度数为 5.(常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线 分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角 9题图① 9题图2 形，则∠B= 10.如图，A,B分别为CD,CE的中点，AE⊥CD于点 6.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC A,BD⊥CE于点B. 到点E,使CE=CD,连接DE,求∠BDE的度数. (I)求证：CD=CE: (2)求∠AEC的度数 6题图 10题图 见此闲标乱孙音/隧信甘码领取你的考场冲刺政路！ 第十三章轴对称 能力提升综合练学， 素养探究创新练中： 1L.已知，在△ABC中，AB=AC,如图，(1)分别以B,15.在等边三角形ABC中，E是边AB上的动点，点E C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D: 与点A,B不重合，点D在CB的延长线上，且 (2)作射线AD,连接BD,CD.根据以上作图过程 EC=ED. 及所作图形，下列结论中错误的是 () (1)如图①，若E是边AB的中点，求证：BD=AE: A.∠BAD=∠CAD (2)如图②，若E不是边AB的中点，(1)中的结 B.△BCD是等边三角形 论“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接 C.AD垂直平分BC 写出BD与AE的数量关系；若成立，请给予 D.S网边形Ac=AD·BC 证明. D. 11题图 12题图 15题图①D 15题图2 12.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠EDC=∠BAC, 且D为边BC的中点，DE=CE,则AE:AB的值 为 13.如图，在△ABC中，AB=4cm,BC=6cm,∠B= 60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2cm后，得 到△A'B'C,连接A'C,则△A'BC的周长是 13题图 14.(怀化中考)如图，在等边三角形ABC中，点M 为AB边上任意一点，延长BC至点N,使CN= AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H. (1)求证：MP=NP: (2)若AB=a,求线段PH的长.（结果用含a的 式子表示) 14题图 见此阁标鼠补音/薇信牡码领取你的考场冲刺政蹈！ 65 八年级数学（上册）0 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 [答案P22] 知识要点分类综单 6.新考法（聊城中考）如图，在△ABC中，若∠BAC= 80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断， @知识点1含30°角的直角三角形的性质 以下结论错误的是 ( 1.(大庆大同区期中)在Rt△ABC中，∠C=90°， A.∠BAQ=40 E.DE-TRD ∠B=30°，则 A.AB=2AC B.AC =2AB C.AF=AC D.∠EQF=25 C.AB=AC D.AB =3AC 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交 能力提升综合练弹： AC于点D,交AB于点E.若∠A=30°，CD=2. 7.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边 (1)求∠BDC的度数： BC,AC上，且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC (2)求BD的长. 的延长线于点F. (1)求∠F的度数： (2)若CD=4,求DF的长 2题图 7题图 ●知识点2有一个角为30的直角三角形的性质的 简单应用 3.如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地 面3m处折断，树顶B恰好碰到地面.经测量， ∠ABC=30°，则树高为 A.6m B.9 m C.10m D.12m C D 素养探究创新练中， 8.如图，轮船从A港出发，以28海里/时的速度向正 h 150 北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30的方 向上.半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M 3题图 4题图 在北偏东60的方向上 4.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意 (1)求轮船在B处时与灯塔M的距离： 图，其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平 (2)轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小 线，∠ABC=150°，BC的长是8m,则乘电梯从点 时后到达C处.此时轮船与灯塔M的距离是 B到点C上升的高度h是 ( 多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ A.2 m B.4 m C.6 m D.8m 北 ©知识点3在综合题中的运用 60°，M 5.如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点 B 30° C,∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2, 则线段PC的长度为 8题图 A.3 B.2 C.1 0.2 5题图 6题图 66 见此闲标鼠孙音/隧信甘码领取你的考场冲刺政路！ 第十三章轴对称 专题5等腰三角形中的分类讨论思想 [答案P22] 类型①与角度有关的分类讨论 类型4与高有关的分类讨论 1.(绍兴中考)如图，在△ABC中，AB= 7.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这 AC,∠B=70°，以点C为圆心，CA长为 个等腰三角形底角的度数为 半径作弧，交直线BC于点P,连接AP, 8.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 则∠BAP的度数是 1题图 36°，求这个等腰三角形的底角的度数 2.等腰三角形的一个外角等于110°，求此三角形的 各内角的度数. 类型5与线段垂直平分线有关的分类讨论 9.在△ABC中，AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线 相交所得的锐角为50°，则底角∠B= 类型2与点的位置有关的分类讨论 类型6与等腰三角形个数有关的分类讨论 3.在平面直角坐标系xOy中，点A(4,3),点B(3,0), 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为边画等 点C(5,3),点E在x轴上，当CE=AB时，点E的 腰三角形BCP,使点P在△ABC的边上，则符合 坐标为 条件的点P有 () 4.(鸡西鸡东县期末)在平面直角坐标系x0y中， A(2.0),C(0,-4),AB=AC,∠BAC=90°，则点B 的坐标为 类型3与中线有关的分类讨论 B口G 5.等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周 10题图 长分成差为5cm的两部分，则此三角形的底边长 A.2个B.3个 C.4个D.5个 为 11,如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，点D为 6.等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两 AC边上任意一点（不与点A,C重合），当△BCD 部分，求该三角形三边的长 为等腰三角形时，求∠ABD的度数， 11题图 见此阁标图孙音/藏信扫码领取你的考场冲刺政蹈！ 57参考答案及解析 .∴.∠FOC=∠OCG ∴.∠C=60° C0平分∠ACG, ∴.∠AEC=90°-∠C=30°. .∴.∠AC0=∠OCG=∠F0C, 【能力提升综合练】 ,∴，FO=FC,故△FOC是等腰三角形 .EF E0 FO BE CF. 1.D12213.12m 微专题4角平分线+平行线→等腰三角形 14.(1)证明：如答图所示，过点M作MQ∥CN. 【例】2 :△ABC为等边三角形，MQ∥CV, 【变式训练】 .∠AMQ=∠B=60°， (1)证明：BD平分∠ABC..∠ABD=∠CBD. ∠AQM=∠ACB=60°， 且∠A=60°， DE∥BC,∴.∠EDB=∠CBD ∴.∠EBD=∠EDB,.BE=DE. ∴.△AMQ为等边三角形，则MQ=AM=CV. (2)解：30° 又：MQ∥CN, 13.3.2等边三角形 .∠QMP=∠CNP 在△MQP和△NCP中， 第1课时等边三角形的性质和判定 ,∠MPQ=∠NPC, 【知识要点分类练】 ∠QMP=∠CNP. 1.C2.C3.102°4.130°5.30 OM=CN, 6.解：：△ABC是等边三角形，BD是中线， △MQP≌△NCP(AAS). ∴.∠ACB=60°，BD⊥AC, 14题容图 则MP=NP. ∴.∠BDC=90°. (2)解：：△AMQ为等边三角形，且MH⊥AC CE =CD. ·AH=HQ, ÷LCDE=∠E=7∠ACB=30. 又由(I)得△MQP≌△NCP,则PQ=PC. ∴.∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°. .AC=AB=a, 7.C ÷PH=0+P0=(a0+cQ)=4c=a 8.证明：，AB=AC, 【素养探究创新练】 ∴∠B=∠G. 15.(1)证明：，△ABC是等边三角形， DE⊥AB,DF⊥BC, ∴.∠DEA=∠DFC=90. ∠ABC=∠ACB=60 :D为AC的中点， :E是边AB的中点， ∴.CE平分∠ACB,AE=BE,∴.∠BCE=30. ∴DA=DC 又，DE=DF, ED=EC.∴.∠D=∠BCE=30 :∠ABC=∠D+∠BED ∴.Rt△ADE≌Rt△CDF, ,∠BED=30°，∴.∠D=∠BED,∴.BD=BE. ·∠A=∠C, 又：AE=BE,BD=AE .∠A=∠B=∠C (2)解：成立.证明如下： ,△ABC是等边三角形 9.18 如答图，过点E作EF∥BC,交AC于点F, 10.(1)证明：如答图，连接DE. ∴∠AEF=∠ABC ∠AFE=∠ACB. :A,B分别为CD,CE的中点， ,△ABC是等边三角形， AE⊥CD于点A,BD⊥CE于点B, ∴，∠ABC=∠ACB=∠A=60, .CE=DE,CD DE, AB=AC=BC, ∴.CD=DE=CE. ∴.∠AEF=∠ABC=60°， 15题答图 (2)解：CD=DE=CE, I0题答图 ∠AFE=∠ACB=60°， ∴.△CDE为等边三角形. 即∠AEF=∠AFE=∠A=6O°， ·21 八年级数学（上册）在 ∴.△AEF是等边三角形 (2)因为BC=14.BM=BC.且∠CBM=60°. ∴.AE=EF,∠DBE=∠EFC=I20°， 所以△BMC是等边三角形， ∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=6O 所以CM=BC,∠BCM=60°，所以CM=14。 DE=EC,∴.∠D=∠ECD 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮 ∴.∠BED=∠ECF 船的南偏东60方向上 ∠DEB=∠ECF 专题5等腰三角形中的分类讨论思想 在△DEB和△ECF中，∠DBE=∠EFC, 1.15或75° DE EC. 2.解：·等腰三角形的一个外角等于110°， .△DEB≌△ECF(AAS), ∴.与这个外角相邻的内角是180°-110°=70. .BD=EF. ①当70的角是顶角时， 又AE=EF,.BD=AE. 底角是7(180°-70)=550 第2课时含30°角的直角三角形的性质 此时该等腰三角形的三个内角分别是55°，55°，70°： 【知识要点分柒练】 ②当70°的角是底角时， 1.A 顶角是180°-70°×2=40. 2.解：(1)·DE垂直平分AB, 此时该等腰三角形的三个内角分别是70°，70°，40 .DA DB, 综上所述，此三角形的三个内角分别是55°，55°， ∴∠DBE=∠A=30°， 70°或70°，70°，40 ,∠BDC=∠A+∠DBE=60° 3.(4.0)或(6.0) (2)在Rt△BDC中， 4.(6.-2)或(-2,2) ∠BDC=60°， .∠DBC=30°， 55m的m ∴.BD=2CD=4. 6.解：在△ABC中，AB=AC,BD是中线. 3.B4.B5.C6.D 设AB=x,BC=y 【能力提升综合练】 +2x=12, 7.解：(1).△ABC是等边三角形. 当AB+AD=12时，则 .∠B=60° +2=15, DE∥AB, ,.∠EDC=∠B=60°. 解得/=8， y=11 EF⊥DE, 三角形三边的长分别为8,8,11. ∴.∠DEF=90° ∴.∠F=180°-∠DEF-∠EDC=30° [x+2=15, 当AB+AD=15时，则 (2),∠ACB=60°，∠EDC=60°， y+2=12, ,.△EDC是等边三角形， ∴ED=CD=4 解得/10， ly=7, :∠DEF=90°，∠F=30°， .三角形三边的长分别为10,10,7. .DF =2DE=8. 经检验，两种情况均符合三角形的三边关系定理， 【素养撫究创新练】 因此这个三角形三边的长分别为8,8,11或10.10,7. 8.解：(1)根据题意，得∠CBM=60°，∠BAM=30 7.15或75° 因为∠CBM=∠BAM+∠BMA, 8.解：分两种情况讨论 所以∠BMA=30°，所以∠BMA=∠BAM, ①若顶角A<90°，如答图①. 所以AB=BM. ,BD⊥AC, 因为AB=28×0.5=14,所以BM=14. ∴.∠A+∠ABD=90 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里。 ∠ABD=36°， ·22·