13.3.1 等腰三角形-【中考123】2024-2025学年八年级上册数学全程导练（人教版）黑龙江专版

八年级数学（上册）⑦ 133》等腰三角形 13.3.1等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 [答案PI9] 知识要点分类综单， 知识点2等腰三角形的“三线合一 7.(福建中考)如图，AD是等腰△ABC的顶角平分 知识点1①等边对等角 线，BD=5,则CD= 1,(教村P81T1变式)等腰三角形的一个角是70° A.10 B.5 C.4 D.3 则它的底角是 ( A.55 B.70 C.55°或70 D.30°或70° 2.(缁博中考)某城市几条道路的位置关系如图所示， 道路AB∥CD,道路AB与AE的夹角∠BAE=50°，城 7题图 8题图 9题图 市规划部门想新修一条道路CE,要求CF=EF,则 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,有以下 ∠E的度数为 结论： (1)△ABD≌△ACD: (2)D为边BC的中点； (3)∠B=∠C: 2题图 (4)AD是△ABC的一条角平分线. A.230 B.25 C.27 D.30° 其中，正确的有 () 3.(哈尔渎南岗区期末)已知等腰三角形的一个外 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 角为130°，则它的顶角的度数为 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高， 4.(鹄岗兴山区期中)如图，在△ABC中，AB,AC的 点E,F是AD的三等分点，若△ABC的面积为 垂直平分线分别交BC于点E,F若∠BAC= 12,则图中△BEF的面积为 130°，则∠EAF= 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=I00°，AD是 边BC上的中线，E是边AB上的一点，且BD= BE,求∠ADE的度数. 4题图 5题图 5.(滨州中考)如图，在△ABC中，点D是边BC上的 10题图 一点.若AB=AD=DC,∠BAD=44°，则∠C的度 数为 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC内一点， 且BD=CD.求证：∠ABD=∠ACD. 6题图 50 见此闲标鼠孙音/隧信牡码领取你的考场冲刺攻路！ 第十三章轴对称 能力提升综合练单' 18.如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD=DE,EF垂直 平分AC,交AC于点F,交BC于点E. 11.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D, (1)若∠BAE=32°，求∠C的度数； △ABC的周长为32cm,△ABD的周长为24cm. (2)若AC=6cm,DC=5cm,求△ABC的周长. 则AD的长为 A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 20 18题图 11题图 12题图 12.(哈尔滨道里区期末)如图，△ABC中，AB=AC 点D在AC上，BC=BD,∠A=2∠ABD,则∠A度 数为 ( A.30 B.45 C.36 D.40° 13.跨学科（绵阳中考）在螳螂的示意图中，AB∥DE, 素养探究创新练中 △ABC是等腰三角形，∠ABC=124°，∠CDE=72°， 19.【问题情境】已知在△ABC中，∠BAC=100°， 则∠ACD= ( ∠ABC=∠ACB,点D为直线BC上的动点（不与 A.16° B.28 C.44 D.45° 点B,C重合)，点E在直线AC上，且AE=AD, 设∠DAC=L. (1)如图①，若点D在BC边上，当n=36时，求 ∠BAD和∠CDE的度数： 【拓广探索】 13题图 (2)如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，AC的垂 条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关 直平分线I交BC于点D,则∠BDA的度数为 系，并说明理由： ( (3)如图③，当点D运动到点C的右侧时，其他 A.30° B.60° C.90° D.110° 条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数 量关系 14题图 15题图 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D, 19题图①D 19题图2 DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=4,则BF 的长为 A.5 B.6 C.7 D.8 16.(娄底中考)如图，△ABC中，AB=AC=2,P是 BC上任意一点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点 19题图3 F,若SaBc=1,则PE+PF= 16题图 17题图 17.(佳木斯东风区期末)如图，在△ABC中，∠ACB= 2∠A,过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三 角形，则∠A的度数为 见此闲标宝补音/藏信牡码领取你的考场冲剌改蹈！ 51 八年级数学（上册）0 第2课时 等腰三角形的判定 [答案P20] 知识要点分类练典： 知识点2用尺规作等腰三角形 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，以点B为 食知识点1等腰三角形的判定 圆心，BC长为半径画弧，分别交AC,AB于D,E两 1.如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的 点，连接BD,DE,则除△ABC外，图中是等腰三角 是 形的还有 () A.∠B=∠C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAID C.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD D.AD⊥BC,BD=CD 6题1图 7题图 7.(哈尔滨南岗区期来)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=50°，以点B为圆心，BC长为 半径画弧，交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度 1题图 2题图 4题图 数是 2.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=36°，BD平分 ∠ABC,则图中等腰三角形的个数为( 能力提升综合练尊 A.4 B.3 C.2 D.1 8.在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格 3.(教材P83T11变式)（济宁中考）一条船从海岛A 点.已知A,B是两格点，如果点C也是图中的格 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后 点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点 到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方 C的个数是 ( 向上，在海岛B的北偏西84°方向上.则海岛B到 A.6 B.7 C.8 D.9 灯塔C的距离是 () A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里 4.(社丹江海林市期中)如图，在△ABC中，AD为 ∠BAC的平分线，作BD⊥AD于点D,△ABC的面 积为8，则△ACD的面积为 8题图 9题图 5.(教材P92T6变式)如图，在△ABC和△DCB中， 9.(深圳中考)如图，在△ABC中，D,E分别为BC ∠A=∠D=90°，AC=BD,AC与BD相交于点O. AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE,连 (1)求证：△ABC≌△DCB: 接BF,CF,∠BFC=90°，若EF∥AB,AB=43, (2)△OBC是何种三角形？证明你的结论. EF=10,则AE的长为 10.已知等腰三角形的底边长为a,顶角的平分线的 长为b,求作这个等腰三角形。 5题图 10题图 52 见此闲标鼠孙音/隧信甘码领取你的考场冲刺政路！ 第十三章轴对称 素养探究创新练单 OE∥BC交AB于点E,交AC于点F.这时图 中还有等腰三角形吗？EF与BE,CF关系 11.如图①，在△ABC中，AB=AC,∠ABC,∠ACB的 又如何？说明你的理由。 平分线交于点O,过点O作EF∥BC交AB,AC 于点E,F 11题图① 11题图② 11题图③ (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与 BE,CF之间有怎样的关系； (2)如图②，若AB≠AC,其他条件不变，图中还 有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们 在第(1)问中EF与BE,CF间的关系还存 在吗？ (3)如图③，若△ABC中∠ABC的平分线B0与 三角形外角平分线C0交于点O,过点0作 微专题4角平分线十平行线→等腰三角形 【模型展示】 【变式训练】 常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型 (淄博中考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线 有以下两种： 交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E. (1)求证：BE=DE: (2)若∠A=80°，∠C=40°，则∠BDE= 图① 图② (1)如图①，BC平分∠ABD,AC∥BD.则AB=AC 2)如图②，AE∥BC,AE平分∠DAC,则△ABC 变式题图 是等腰三角形 【例】（教村P83T10变式）如图，在△ABC中，∠B, ∠C的平分线交于点O,过点O作EF∥BC分 别交AB,AC于点E,F.已知EF=6,BE=4,则 CF的长为 见此闲标鼠补音/薇信牡码领取你的考场冲刺政蹈！ 】参考答案及解析 6.解：(1)点M,N关于x轴对称， 【素养撫究创新练】 2a-6=26-,解得三-8 16.解：(1)如答图，直线1即为所求. l5+a-a+b=0. f1lb=-5. (2)点M,N关于y轴对称， 2a-6+2弘-1=0解得三-， 六5+a=-a+b: 1b=3, 3i-2 23 .(4a+b)24=1. 7.B 8.解：(1)△AB,C,如答图所示.(-4,2) -3 16题答图 (2)P(0,-1),P(-1,-1).(答案不唯一) 13.3等腰三角形 2 13.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 43210i2345 【知识要点分菜练】 1.C2.B3.50或80°4.80°5.34 6.证明：AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. 8题答图 BD CD, (2)存在.设Q(0,m), .∠CBD=∠BCD, :Sw=3x3-7x2x3-7x3x1-7×1× ∴.∠ABC-∠CBD=∠ACB-∠BCD, 7 即∠ABD=∠ACD 7.B8.D9.2 sam=+×3-m+x1 1.1 10.解：AB=AC,∠BAC=100°， .∠B=∠C=40% 4或、9 +-子解得m BD=BE, 4 ,∠BDE=∠BED=70. 点0的坐标为0，成(0.-) .AB=AC, 【能力提升综合练】 ∴.△ABC是等腰三角形. 9.A10.A11.C12.D13.-5 又：AD是边BC上的中线， 14.(1)(4.4)(3,1) ∠ADB=90°， (2)(-2,-6)（-1,-2) ∴，∠ADE=∠ADB-∠BDE=20. 15.解：(1)如答图，△A,B,C1即为所求. 【能力提升绵合练】 11.B12.B13.C14.B15.D16.1 17.45或36或(9)或39 18.解：(1)AD⊥BC,BD=DE,EF垂直平分AC, ∴.AB=AE=EC, ·∠C=∠CAE. ∠BAE=32°， 0 LAED=2(180°-32)=74， 15题答图 (2)415433 &∠C=3∠ABD=37 (3)-m+2n (2)由(I)知AE=EC=AB. ·19. 八年级数学（上册）在 .BD DE, 10.解：如答图.①作线段AB=a: ..AB BD EC DE DC. ②作线段AB的垂直平分线MN,与AB交于点D: AC=6 cm,DC=5 cm, ③在MN上取一点C,使CD=b: ∴.△MBC的周长为AB+BC+AC=AB+BD+ ④连接AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形 DC+AC=2DC+AC=2×5+6=16(cm). 【素养探究创新练】 19.解：(1)∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-36°=64° 在△ABC中，∠BAC=100°， ∴，∠ABC=∠ACB=40° .∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+64°=104 10题答图 AE AD, 【素养探究创新练】 ,∠ADE=∠AED. 11.解：(1)图中是等腰三角形的有△AEF,△OEB ∠DAC=36°， △OFC,△OBC,△ABC:EF,BE,FC的关系是EF= ∴.∠ADE=∠AED=72°， BE +FC. ∴.∠CDE=∠ADC-∠ADE=104°-72°=32 理由：AB=AC, (2)∠BAD=2∠CDE.理由如下： ,.∠ACB=∠ABC,△ABC是等腰三角形. 在△ABC中，∠BAC=I00°， :BO,C0分别平分∠ABC和∠ACB. ∴∠ABC=∠ACB=40 ·∠AB0=∠0BC=2∠ABC, 在△ADE中，∠DAC=n, ∠ADE=∠E=180°-n ∠OCB=∠ACO= 2∠ACB 2 EF∥BC. :∠ACB=∠CDE+∠E, ∴.∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB ∴.∠CDE=∠ACB-∠E .∠AB0=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC= =40-180°-n 2 ∠FCO, =1-1000 ∴.△EOB,△OBC,△FOC都是等腰三角形 2 EF∥BC. :∠BAC=100°，∠DAC=n, ,∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB, .∠BAD=n-100°， ∴.∠AEF=∠AFE, .∠BAD=2∠CDE. ∴.△AEF是等腰三角形， (3)∠BAD=2∠CDE ∴.EO=EB,FO=FC, 第2课时等腰三角形的判定 .EF E0+OF=BE +CF. 【知识要点分英练】 (2)当AB≠AC时，△EOB,△FOC仍为等腰三角 1.C2.B3.C4.4 形，(1)中的结论仍然成立 [BC=CB. 5.(1)证明：在RL△ABC和RL△DCB中 B0,C0分别平分∠ABC,∠ACB, AC DB, .∠AB0=∠OBC,∠AC0=∠OCB. .R1△ABC≌RL△DCB(HL). EF∥BC, (2)解：△OBC是等腰三角形. .∠EOB=∠OBC=∠EBO, 证明：Rt△ABC≌Rt△DCB, ∠FOC=∠OCB=∠FCO. ,∠ACB=∠DBC 即EO=EB,FO=FC. .0B=OC, ∴.EF=EO+OF=BE+CF △OBC是等腰三角形 (3)△EOB和△FOC仍是等腰三角形， 6.D7.20 EF BE-CF. 【能力提升绵合练】 理由如下：同(1)可证得△EOB是等腰三角形. 8.C9.10-43 EO∥BC, ·20· 参考答案及解析 .∴.∠FOC=∠OCG ∴.∠C=60° C0平分∠ACG, ∴.∠AEC=90°-∠C=30°. .∴.∠AC0=∠OCG=∠F0C, 【能力提升综合练】 ,∴，FO=FC,故△FOC是等腰三角形 .EF E0 FO BE CF. 1.D12213.12m 微专题4角平分线+平行线→等腰三角形 14.(1)证明：如答图所示，过点M作MQ∥CN. 【例】2 :△ABC为等边三角形，MQ∥CV, 【变式训练】 .∠AMQ=∠B=60°， (1)证明：BD平分∠ABC..∠ABD=∠CBD. ∠AQM=∠ACB=60°， 且∠A=60°， DE∥BC,∴.∠EDB=∠CBD ∴.∠EBD=∠EDB,.BE=DE. ∴.△AMQ为等边三角形，则MQ=AM=CV. (2)解：30° 又：MQ∥CN, 13.3.2等边三角形 .∠QMP=∠CNP 在△MQP和△NCP中， 第1课时等边三角形的性质和判定 ,∠MPQ=∠NPC, 【知识要点分类练】 ∠QMP=∠CNP. 1.C2.C3.102°4.130°5.30 OM=CN, 6.解：：△ABC是等边三角形，BD是中线， △MQP≌△NCP(AAS). ∴.∠ACB=60°，BD⊥AC, 14题容图 则MP=NP. ∴.∠BDC=90°. (2)解：：△AMQ为等边三角形，且MH⊥AC CE =CD. ·AH=HQ, ÷LCDE=∠E=7∠ACB=30. 又由(I)得△MQP≌△NCP,则PQ=PC. ∴.∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°. .AC=AB=a, 7.C ÷PH=0+P0=(a0+cQ)=4c=a 8.证明：，AB=AC, 【素养探究创新练】 ∴∠B=∠G. 15.(1)证明：，△ABC是等边三角形， DE⊥AB,DF⊥BC, ∴.∠DEA=∠DFC=90. ∠ABC=∠ACB=60 :D为AC的中点， :E是边AB的中点， ∴.CE平分∠ACB,AE=BE,∴.∠BCE=30. ∴DA=DC 又，DE=DF, ED=EC.∴.∠D=∠BCE=30 :∠ABC=∠D+∠BED ∴.Rt△ADE≌Rt△CDF, ,∠BED=30°，∴.∠D=∠BED,∴.BD=BE. ·∠A=∠C, 又：AE=BE,BD=AE .∠A=∠B=∠C (2)解：成立.证明如下： ,△ABC是等边三角形 9.18 如答图，过点E作EF∥BC,交AC于点F, 10.(1)证明：如答图，连接DE. ∴∠AEF=∠ABC ∠AFE=∠ACB. :A,B分别为CD,CE的中点， ,△ABC是等边三角形， AE⊥CD于点A,BD⊥CE于点B, ∴，∠ABC=∠ACB=∠A=60, .CE=DE,CD DE, AB=AC=BC, ∴.CD=DE=CE. ∴.∠AEF=∠ABC=60°， 15题答图 (2)解：CD=DE=CE, I0题答图 ∠AFE=∠ACB=60°， ∴.△CDE为等边三角形. 即∠AEF=∠AFE=∠A=6O°， ·21