12.3 角的平分线的性质-【中考123】2024-2025学年八年级上册数学全程导练（人教版）黑龙江专版

第十二章全等三角形 123》角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质 [答案PI1] 知识要点分类练典： 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB, DE⊥AB于点E,点F在AC上，BE=FC.求证： $知识点1角的平分线的作法 BD=DF. 1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所 示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是 ( A.SSS B.ASA C 5题图 N C.AAS D.角的平分线上的点到角的两Om 边的距离相等 1题图 2.(泰峰中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点D是斜边AB上一点，且AC=AD. (1)作∠BAC的平分线，交BC于点E:(要求尺规6如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,DF 作图，不写作法，保留作图痕迹) ⊥AC于点F,S6e=96cm2,AB=20cm,AC= (2)在(I)的条件下，连接DE.求证：DE⊥AB. 12cm,求DE的长. D 2题图 6题图 知识点3文字命题的证明 7.命题“两个全等三角形对应角平分线相等”，根据 知识点2角的平分线的性质 几何命题的证明步骤，证明该命题， 已知：如图，△ABC≌△A'B'C, 3.(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线， 求证： DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF 的长度是 证明： ( A.2 B.3 C.4 D.6 7题图 3题图 4题图 4.(双鸭山宝山区期来)如图，已知OC平分∠AOB, P是OC上一点，PH⊥OB于点H,Q是射线OA上 的一个动点.若PH=5,则PQ的长度的最小值为 见北阁标围补音/薇信牡码领取你的考场冲刺政略！ 33 八年级数学（上册）0 能力提升综合练学， 13.(伊春丰林县期中)如图，在△ABC中，∠C= 90°，DE⊥AB于点E,AD平分∠CAB,点F在AC 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆 上，BD=DF.求证：BE=FC 心，适当长为半径画弧，分别交边AC,AB于点M, N,再分别以点M,N为圆心，大于2MN的长为半 径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点 13题图 D.若CD=4,AB=15,则△ABD的面积为() A.15 B.30 C.45 D.60 14.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CE⊥ 8题图 9题图 AB于点E. 9.(大庆大同区期中)如图，AD平分∠BAC,DE⊥AC (1)若∠ADC+∠B=180°，求证：AD+AB=2AE: 于点E,S△4c=8,DE=2,AC=4,则AB的长是 (2)若AD+AB=2AE,求证：CD=CB. A.2 B.4 C.6 D.8 10.如图，已知点0O为△ABC的两条角平分线的交 点，过点0作OD⊥BC,垂足为D,且OD=4.若 14题图 △ABC的面积是34，则△ABC的周长为() D 10题图 A.8.5B.15 C.17 D.34 11.已知△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30， 素养探究创新练中 40,其三条角平分线交于点0，则Sam:S△Gm 15.【感知】如图①，AD平分∠BAC,∠B+∠C= SACAO= 180°，∠B=90°，易知DB=DC. 12.如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在 【探究】如图②，如果把“∠B=90”改为“∠B< BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求 90”,那么DB=DC还成立吗？请说明理由. 证：PM=PN. 12题图 15题图① 15题图2 34 见此闲标乱孙音/隧信牡码领取你的考场冲刺攻路！ 第十二章 全等三角形Y 第2课时 角的平分线的判定 [答案PI3] 知识要点分类练中： 知识点3角的平分线的实际应用 7.如图，公路OA和公路OB交于0处，河道AB与 知识点1角的平分线的判定 公路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水 1.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C,QD⊥OB于 厂M,要求M到公路OA,OB的距离相等，则该水 点D.若QC=QD,则∠AOQ的度数为( 厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M的 A.309 B.35 C.40° D.45 位置. 0 D B 7题图 1题图 2题图 2.如图，PM⊥OA于点M,PM=1,当点P到OB的距 离是时，∠POA=∠POB. 3.如图.CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D.E,AC= BC,AD=BE.求证：OC平分∠MON 能力提升综合练中， 8.如图，∠ACD是△ABC的外 角，∠BAC=80°，∠ABC和 ∠ACD的平分线相交于点E, 连接AE,则∠CAE的度数是 8题图 3题图 9.(教数村P52T7变式)如图，在四边形ABDC中， ∠D=∠B=90°，0为BD的中点，且A0平分 ∠BAC.求证： (1)C0平分∠ACD: (2)0A⊥0C: (3)AB CD=AC. @知识点2三角形的角平分线 4.在三角形中，到三条边距离相等的点是( A.三条内角平分线的交点 9题图 B.三边垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 5.已知△ABC,两个完全一样的三角板按如图摆放. 它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的 对应边所对的顶点重合于点M,点M一定在 一条角平分线.点O,E,F分别在BD,BC,AC上， ( 且四边形OECF是正方形.求证：点O在∠BAC A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 的平分线上 C.BC边的中线上 D.AB边的中线上 B 10题图 5题图 6题图 6.如图，在△ABC中，∠A=70°，点0到AB,BC,AC的 距离相等，连接BO,CO,则∠BOC= 见此闲标目孙音/藏信村码领取你的考场冲刺政蹈！ 35 八年级数学（上册） 素养探究创新练单： 11.(1)如图①，作△ABC的两个内角∠A,∠B的平 分线，设交点为0，点0在∠C的平分线上吗？ 试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ (2)如图②，作△ABC的两个内角∠A,∠B的外 角平分线，设交点为0，点0在∠C的平分 线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的 发现？ (3)你能用你的发现解决下面的实际问题吗？ 如图③，直线I1,2,4表示三条互相交叉的 公路，现要建一个加油站，要使它到三条公 路的距离相等，画出符合要求的点的位置， 共有几个？ 11题图① 11题图②2 11题图3③ 微专题3与角平分线有关的面积计算 【结论1】如图①，在△ABC中，AD是它的角平分【变式训练】 线，则SAARD SAACD=AB:AC 1.如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D,BD: DC=2:1.若AC=3cm,则AB= 图① 图② 1题图 【结论2】如图②，当点E在△ABC角平分线AD 2.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是△ABC的中 上的任意位置（不与点A重合）时，都有S△E 线，AE,BD相交于点E,EF⊥AB于点F.若AB= SAAGE =AB:AC. 14,AC=12,Sac=20,则EF的长为 【例】如图，O是到△ABC的三条边距离相等的 点，连接OA,OB,OC.若AB=6cm,BC=7cm, AC=5cm,△OAB,△OBC,△OAC的面积分别 为S,S2,S,则SS2S,= 2题图 36 见此闲标鼠孙音/隧信牡码领取你的考场冲刺政路！参考答案及解析 AB=DE. .∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， 在Rt△ABG和Rt△DEH中， AG DH, .∠ACD=∠CBE. ∴.R△ABG≌Rt△DEH(HL), ∠ADC=∠CEB. ∴.∠B=LE. 在△ADC和△CEB中 ∠ACD=∠CBE, ∠B=∠E LAC=CB. 在△ABC和△DEF中 ∠ACB=∠DFE, .△ADC≌△CEB(AAS), AB DE, .AD =CE,DC=BE. ∴.△ABC≌△DEF(AAS). ∴.DE=CE-CD=AD-BE. 当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方法类似， (2)DE=BE-AD. ∴.李乐的说法正确 5.解：EF=BE+DF 专题3全等三角形的常见膜型 【拓展】EF=BE+DF 1.(1)证明：：点0是线段AB的中点， 证明如下：如答图，延长FD到点G,使DG=BE.连 ∴A0=0B 接AG. OD∥BC. ∴，∠AOD=∠OBC. 又：O0D=BC, ,△AOD≌△OBC. (2)解：.△AOD≌△0BC. .∴.∠.AD0=∠0CB=35°. 5题答图 OD∥BC, ∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， .,∠D0C=∠0CB=35. ∴.∠B=∠ADG 2.证明：∠3=∠4. BE =DG. ∠BEA=∠BEC 在△ABE和△ADG中， ∠B=∠ADG, 又：BE=BE,∠1=∠2， AB AD, .△BAE≌△BCE, ∴.△ABE≌△ADG(SAS), ,∴AE=CE. ..AE=AG, 又：∠3=∠4，ED=ED, ∠BAE=∠DAGA .△AED≌△CED, :AD =CD. ∠EF=3∠BMD. 3.(1)证明：①.·∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF= .∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE, ∠BAD-∠EAF=∠EAF, 即∠ACE=∠BCD. ∴.∠EAF=∠GAF 又AC=BC,CE=CD. AE=AG, .△ACE≌△BCD. 在△AEF和△AGF中 ∠EAF=∠GAF. ②.·△ACE≌△BCD LAF =AF, ∠CAE=∠CBD. .△AEF≌△AGF(SAS), :∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°， ..EF GF. .∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°， 又GF=DC+DF=BE+DF, .∠AFB=90°， .EF BE DF. .AE⊥BD 【实际应用】168 (2)解：60 12.3角的平分线的性质 (3)解：180°-x 第1课时 角的平分线的性质 4.解：(1)DE=AD-BE. 【知识要点分类练】 证明：：AD⊥MN,BE⊥MN, 1.A ·11 八年级数学（上册）在 2.(1)解：如答图，AE即为所求， ,△ABD≌△A'B'D'(ASA). .BD B'D'. 【能力提升综合练】 8.B9.B10.C11.2:3:4 B 12.证明：：BD是∠ABC的平分线， 2题答图 ∴.∠ABD=∠CBD. (2)证明：AE平分∠BAC, AB =CB. .∠CAE=∠DAE, 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD, AC =AD. BD BD. 在△ACE和△ADE中，{∠CAE=∠DAE, .·△ABD≌△CBD(SAS), LAE =AE, .∠ADB=∠CDB. ,△ACE≌△ADE(SAS), :点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, ∠ADE=∠C=90°， ∴.PM=PY DE⊥AB. 13.证明：：AD平分∠CAB,∠C=90°，DE⊥AB, 3.D4.5 .DE=DC,∠C=∠DEB=90°， 5.证明：AD平分∠CAB,DE1AB,∠C=90°， BD=FD, ∴.DC=DE .在Rt△DEB和Rt△DCF中， DE=DC, DC DE, .Rt△DEB≌RL△DCF(HL). 在△DCF和△DEB中， ∠C=∠BED, ∴，BE=FC CF=EB, 14.证明：(1)如答图①，过点C作CF⊥AD交AD的延 ∴.△DCF≌△DEB(SAS), 长线于点F :BD DF. AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E, 6.解：AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, .CE=CF. ∴，DE=DF -ABXDE+ACxDF. 又：AC=AC, +Salc=S△n+S△m 2 .Rt△ACF≌Rt△ACE, (BAC)x DE. .AE=AF. :∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠CDF=180°， 即子×(20+12)×E=96, ∠CDF=∠B. r∠CDF=∠B, 解得DE=6cm. 在△CFD和△CEB中， ∠F=∠CEB, 7.解：BD平分∠ABC交AC于点D,B'D平分∠A'B'C交 CF =CE, A'C'于点D'BD=B'D ∴.△CFD≌△CEB(AAS), 证明：△ABC≌△A'B'C', :DF BE, ..AB =A'B', .AD+AB=AF-DF +AE BE=AF +AE =2AE. ∠A=∠A', G ∠ABC=∠A'B'C, BD,B'D'分别是△ABC和△A'B'C的角平分线， 3LA=寸LABC, B ∠gD=ABC. 14题答图① 14题答图② (2)如答图②，延长AD至点G,使DC=BE ∴∠ABD=∠A'B'D .AD +AB =2AE, ∠A=∠'， ∴.AG-DG+AE+BE=2AE,即AG=AE. 在△ABD和△A'B'D'中 AB=A'B'. AC平分∠BAD ∠ABD=∠A'B'D', ∴，∠EAC=∠GAC ·12 参考答案及解析 又：AC=AC 9.证明：(1)如答图，过点0作OE⊥AC于点E ∴.△EAC≌△GAC, :AO平分∠BAC,OE⊥AC. .∠G=∠CEA=∠CEB=90°，CG=CE ∠B=90°， CG CE. ∴.OB=OE. 在△CGD和△CEB中， ∠G=∠CEB=90°， :0为BD的中点， DG BE, :0B =OD. .△CGD≌△CEB(SAS), ÷0E=OD. .CD=CB. 又.∠D=90°，0E⊥AC. 9题答图 【素养摇究创新练】 .C0平分∠ACD 15.解：成立.理由如下：如答图，过点D作DE⊥AB于 [AO=A0, (2)在Rt△ABO和Rt△AE0中， 点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,则∠F= 0B=0E. ∠DEB=90°. .Rt△ABO≌RI△AEO(HL), AD平分∠BAC, ∠AOB=∠AOE. ∴.DE=DF 同理，得∠COD=∠COE. ∠B+∠ACD=180°， :∠AOC=∠AOE+∠COE ∠ACD+∠FCD=180° -(∠B0E+∠B0D .∠B=∠FCD. 15题答图 在△DEB和△DFC中， =7×180=90 ∠DEB=∠F, ∴.0A⊥0C ∠B=∠FCD, (3)由(2)知Rt△AB0≌H△AE0, DE DF. ,AB=AE.同理，得CD=CE .△DEB≌△DFC(AAS), AE+CE =AC, ∴.DB=DC ∴.AB+CD=AC. 第2课时 角的平分线的判定 10.证明：过点O作OM⊥AB于点M,如答图. 【知识要点分非练】 ,四边形OECF是正方形， 1.B2.1 ∴，OE=OF,DE⊥BC, 3.证明：CD⊥OM,CE⊥ON, OF⊥AC. .∠ADC=∠CEB=90°. :BD是△ABC的一条角平 [AC=BC. 在Rt△ADC和RI△BEC中， 分线 AD=BE, OM⊥AB.OE⊥BC 10题答图 ∴，Rt△ADC≌Rt△BEC(HL), ∴0E=OM. .CD=CE. ÷,OF=OM. CD⊥OM,CE⊥ON, 又：OM⊥AB,OF⊥AC, .OC平分∠M0N ∴，AO是∠BAC的平分线，即点O在∠BAC的平分 4.A5.A6.125 线上 7.解：如答图，作∠AOB的平分线交AB于点M,点M 【素养探究创新练】 即为水厂的位置 11.解：(1)如答图①，点0在∠C的角平分线上.由此 可以得到三角形的三条内角平分线相交于一点， 点O到三角形三条边的距离相等。 7题答图 【能力提升锦合练】 11题答图① 8.50° ·13 八年级数学（上册）在 (2)如答图②，点0在∠C的角平分线上.由此可 ∴.∠5+∠D=180 以得到点O到三角形三条边的距离相等， 又…∠5+∠6=180°， .∠6=∠D ∠D=∠6， 在△CDE和△CFE中， ∠4=∠3， CE =CE, H ∴.△CDE≌△CFE(AAS). 11题答图② 11题答图3 .CF=CD, (3)如答图③，符合条件的点有4个：点G,H,1,J. .BC BF +CF =AB +CD. 微专题3与角平分线有关的面积计算 3.证明：如答图，延长AD交BC于点F 【例】6：7：5 ,AD⊥BE 【变式训练】1.6cm2.2 .∠ADB=∠FDB=90 专题4构造全等三角形的常用方法 BE是角平分线， D 1.证明：如答图，在AC上截取AE=AB,连接DE. ∴∠ABD=∠FBD. :AD是∠BAC的平分线， 在△ABD和△FBD中， ∠EAD=∠BAD. r∠ABD=∠FBD, 3题答图 在△AED和△ABD中. BD=BD. AE=AB, ∠ADB=∠FDB, ∠EAD=∠BAD. ∴.△ABD≌△FBD(ASA), LAD =AD. ∴∠2=∠AFB. 1题答图 ,∴.△AED≌△ABD(SAS). 又：∠AFB=∠1+∠C, ,ED=BD,∠AED=∠B. ∠2=∠1+∠C. *∠B=2∠C, 4.解：CD=2BE.理由如下： ,∠AED=2∠C 如答图，延长BE交CA的延长线于点F 又，∠AED为△CED的外角， CD平分∠ACB, F .∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠FCE=∠BCE .∠C=∠EDC, BE⊥CD, ∴EC=ED.,EC=BD ,∴.∠CEB=∠CEF=90° .AC=AE+EC =AB BD. 在△CEF和△CEB中， 4题答图 2.证明：如答图，在BC上取点F, LFCE=∠BCE, 使BF=BA,连接EF CE=CE, ,BE,CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∠CEF=∠CEB=90°， .△CEF≌△CEB(ASA), ∴FE=BE. 56 '∠DAC=∠CEF=90°， F C ∴.∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°， 2愿答图 .∠ACD=∠ABF ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. 在△ACD和△ABF中， AB FB. LACD=∠ABF, 在△ABE和△FBE中，{∠1=∠2 AC =AB. BEBE, L∠CAD=∠BAF=90°， ∴，△ABE≌△FBE(SAS), ∴.△ACD≌△ABF(ASA), .∠A=∠5. ∴CD=BF, AB∥CD. ∴.CD=2BE. ∴∠A+∠D=180° ·14·