11.1.2 三角形的高、中线与角平分线&11.1.3 三角形的稳定性-【中考123】2024-2025学年八年级上册数学全程导练（人教版）黑龙江专版

第十一章 三角形Y 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 [答案PI] 知识要点分类练学 7.如图，BD是△ABC的角平分线，已知∠ABC= 60°，则∠DBC= 知识点1三角形的高 1.如图，在△ABC中，BC边上的高为 A.线段AE B.线段BE C.线段BF D.线段CF 7题图 能力提升综合练典： 8.如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC,∠B= 72°，∠AED=40°，则∠ADC的度数为() 1题图 2题图 A.720 B.85o 2.如图，AD是△ABC的边BC上的高，则AD与BC 的位置关系是 C.92 D.95° ,∠ADB=∠ y 知织点2三角形的中线 3.(大庆红岗区期末)如图，在△ABC中，AB=20 AC=18,AD为BC边上的中线，则△ABD与 ED乙 8题图 9题图 10题图 △ACD的周长之差为 ( 9.如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的 A.1 B.2 C.3 D.4 中线.若S么E=4cm2,则S△Ac= cm2. 10.如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC.若 ∠1=30°，∠2=20°，则∠EAD= 11.如图，在△ABC中，AB=10,AC=15,BD,CE都 3题图 4题图 4.如图，AD是△ABC的中线，则点D是线段 是△ABC的高，且BD=8,求CE的长， 的点D=D=2 ,S△=】 2 5.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线. 1题图 若DE=3cm,则EC= 5题图 知识点3三角形的角平分线 6.如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，则下列 说法，正确的是 A.AD是△ABE的中线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AF是△ACE的高线 D.AE是△DAF的中线 B D E F 6题图 见此闲标目补音/欲信牡码领取你的考场冲刺政蹈！ Y八年级数学（上册）0 素养探究创新练中， (3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB 边上的点.若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n, 12.(青岛中考)【图形定义】有一条高线相等的两个 S△HC=a,则SACDE= 三角形称为等高三角形 例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D 分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D',则 DC B D'C B D D △ABC和△A'B'C'是等高三角形. 12题图① 12题图2 12题图3) 【性质探究】如图①，用S。c,SA4re分别表示 △ABC和△BC的面积.则Sax=子BC: AD.Saoe-c.AD. .AD =A'D', .SAS△Argc=BC:B'C 【性质应用】 (1)如图②，D是△4BC的边BC上的一点.若 BD=3,DC=4,则SAD:S△Ae= (2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB 边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3, SAc=1,则SAc= 微专题1与中线有关的面积问题 【例】如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AD的中2.如图，在△ABC中，已知D,E,F分别是BC,AD, 点，△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是 CE的中点，且Sac=8,那么阴影部分的面积 为 B 方法指导：三角形的中线将三角形分成两个三角 2趣图 形，它们的面积等于原三角形面积的一半 3.如图，在△ABC中，D是边BC上的一点（不与 【变式训练】 点B,C重合)，E,F是线段AD的三等分点，记 1.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AC,BD,AE △BDF的面积为S,△ACE的面积为S,若 的中点，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积 S,+S2=3,则△ABC的面积为 是 3题图 1题图 A.3 B.4 C.8 D.12 见此阁标乳科音/强信牡码领取你的考场冲刺政路！ 第十一章三角形Y 11.1.3 三角形的稳定性 [答案P2] 知识要点分类练业： 木条。七边形木架和八边形木架呢？n边形木架 呢？(n>3) @知织点1三角形的稳定性 1.下列图形中具有稳定性的是 A.直角三角形 B.长方形 六边形木架 七边形木架 八边形木架 C.正方形 D.平行四边形 7题图 2.下列各图形中，具有稳定性的是 A 能力提升综合练典 ®知识点2三角形的稳定性的实际应用 8.(1)工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶 3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形 的钢架，输电线的支架等，这里运用的三角形 门框ABCD,使其不变形，这样做的根据是( 的性质是 A.两点之间，线段最短 (2)下列图形具有稳定性的有 个：圆形 B.三角形具有稳定性 五边形、等腰三角形、梯形， C.长方形是轴对称图形 D.长方形的四个角都是直角 (3)要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形， 工人准备再钉上两根木条，如图的两种钉法 中正确的是 方法一 方法二 3题图 5题图 6题图 8题图 4.下列是利用了三角形的稳定性的有 ①自行车的三角形车架：②长方形门框的斜拉条： 素养探究创新练 ③照相机的三脚架：④塔吊上部的三角形结构， 9.如图，AB,BC,CD是三根长度分别为1cm,2cm. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5cm的木棒，它们之间连接处可以活动，现在A,D 5.如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加 之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思 使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是 考.这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？ 最短长度为多少厘米？ A.两点之间线段最短 B.三角形具有稳定性 C.经过两点有且只有一条直线 D.垂线段最短 6.(佳木斯前进区期中)如图，李叔叔家的凳子坏 9题图 了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较 牢固了，他所应用的数学原理是 @知识点3理解三角形的稳定性 7.(教材P9T10变式)如图，要使六边形木架（用6 根木条钉成)不变形，至少要再钉上 根 见此闲标宝补音/微信牡码领取你的考场冲刺改蹈！参考答案及解析 参考答案及解析 弟十一章三角形 【素养探究创新练】 11.1与三角形有关的线段 19.解：(1)填表如下： 11.1.1三角形的边 连接个数 1 6 【知识要点分类练】 出现三角 3 6 10 15 21 28 1.D 形个数 2.8△ABO,△ABC,△ABD △BOC,△ABC (2)8个点。 ∠OBC OB (3)a+1(a+2) [解析]1+2+3+…+(n+ 3.D4.(1)3(2)415.A6.C7.B 8.5(答案不唯一)[解析]由三角形的三边关系，得 1)=[1+2+3+…+(m+0+1+2+3+…+ 4-3<a<4+3,即1<a<7,即符合题意的整数a 的值可以是5（答案不唯一）： (n+1)]=2(n+)(n+2), 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 9.(1)30或33[解析]①当9为腰时，9+9>12，故 【知识要点分英练】 此三角形的周长=9+9+12=30：②当12为腰时， 1.A2.AD⊥BC ADC90 9+12>12,故此三角形的周长=9+12+12=33. 3.B[解析]：AD是△ABC中BC边上的中线，∴.BD (2)4cm[解析]①当4cm为腰时，底边长为22- 4-4=14(cm),4+4<14,不符合三角形三边关系： =DC=BC,△ABD与△4CD的周长之差为 ②当4cm为底边时，腰长为(22-4)÷2=9(cm), (AB+BD +AD)-(AC DC AD)=AB AC 符合三角形三边关系。 20-18=2.故选B. 10.解：(1)2<a<12. 4.BCBC SCD Sne 5.9 cm (2)当a=11时，组成的三角形的周长最大，最大 6.B[解析]A.无法得到D是BE的中，点，故AD不 值是23. 一定是△ABE的中线，故A错误；B.:∠1=∠2= ∠3=∠4，∴.∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAE= 【能力提升综合练】 ∠CAE,AE是△ABC的角平分线，故B正确：C.无 11.B12.A13.A14.16 法得到AF⊥BC,AF不一定是△ACE的高线，故C 15.10或111516.5 错误：D.无法得到E为DF的中，点，AE不一定是 17.解：(1)1a-b1+1b-cl=0,a-b=0,b-c= △DAF的中线，故D错误.故选B. 0,∴，a=b=c,∴，△ABC为等边三角形 7.30 (2),a,b,c是△ABC的三边长，.a-b-c<0. 【能力提升综合练】 b-c-a<0,e-a-b<0,原式=-a+b+c 8.C[解析]由平行线的性质，得∠ADE=∠B=72°， b+c+a-c+a+b=a+b+c. ∠AED=∠ACB=4O°，∠EDC=∠DCB.又，'∠DCB= 18.(1)证明：延长BP交AC于点D.根据三角形两边 ∠DCE=20°，.∠ADC=∠ADE+∠EDC=92 之和大于第三边.得AB+AD>BD.CD+DP>PC. 9.16 ..AB +AD CD +DP>BD PC...AB AC DP 10.10°[解析]AE平分∠BAC,∴.∠1=∠EAD+ BP PD+PC...AB +AC>PB PC. ∠2，.∠EAD=∠1-∠2=30°-20°=10° (2)解：根据三角形两边之和大于第三边， 1.解：因为△ABC的面积为了AB·CE,也可表示为 PA PB>AB,PB PC>BC,PC+PA>AC. .2(PA+PB PC)>AB +AC BC, 2AC·BD,所以AB·CE=7AC·BD,把AB= .C+C). 10,AC=15,BD=8代入上式，得10×CE=15×8, 所以CE=12. ·1 八年级数学（上册）在 【素养撫究新练】 AD平分∠BAC,∠BAD=∠DAC=40°，∠BAC= 12解：1)34(2)36 (3)a 80°.∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠C=180°- 力 30°-80°=70°. 微专题1与中线有关的面积问题 7.160 【例】4 8.解：(1)如答图，根据题意，得 【变式训练】 ∠1=60°，∠3=30°，∠4=30° 1.C2.23.9 AE∥DB..∠3=∠2=30°， 11.13三角形的稳定性 ∴.∠ABC=180°-60°-30°=90° 【知识要点分柒练】 (2)如答图，∠3=30°，∠4=30°，∠ABC=90°， 1.A2.A3.B4.D5.B ∴.∠C=180°-90°-30°-30°=30°. 6.三角形的稳定性 7.解：3七边形木架至少要再钉上4根木条，八边形 木架至少要再钉上5根木条，n边形木架至少要再 钉上(n-3)根木条。 【能力提升综合练】 8.(1)稳定性(2)1(3)方法一 8题答图 【能力提升综合练】 9.解：：B,C两处可以转动， 当A,B,C,D形成一条线段时，AD最长， 9.D 这时AD=AB+BC+CD=1+2+5=8(cm), 10.D[解析]如答图，过点C作CH∥MN.:CH∥ 当A,B,C拉直，此时B,A落在CD上，AD最短。 MN,∴.∠6=∠5，∠7=∠1+∠2.：∠ACB= 这时AD=CD-AB-BC=5-1-2=2(cm), ∠6+∠7，∴∠ACB=∠5+∠1+∠2.∠D= 50°，.∠1+∠5+∠3 E ,这根橡皮筋的最大长度可以拉到8©m,最短长度 =180°-50°=130°.由 为2cm. -H 11.2与三角形有关的角 题意可得GD为∠AGB 11.2.1三角形的内角 的平分线，BD为MG B N 第1课时三角形的内角和 ∠CBN的平分线， 10题答图 【知识要点分英练】 ∠1=∠2，∠3=∠4，.∠ACB=m°=∠1+ 1.B2.C3.C ∠2+∠5=2∠1+∠5，∠4=180°-（∠5+∠3） 4.0°<a<60°[解析]∠A+∠B+∠C=180°， =180°-(180°-∠1-∠D)=∠1+∠D=∠1+ ∠B=30°，∠A=180°-30°-g=150°-g.∠A 50°，.∠3=∠4=∠1+50°，∴.∠1+∠5+∠3= 是纯角，.90°<150°-a<180°，.-30°<a<60° ∠1+∠5+∠1+50°=2∠1+∠5+50°=m°+ a>0°，∴.0°<4<60. 50°，.m°+50°=130°，∴m=80.故选D. 5.解：∠B=38°，∠C=70° 11.20° .∠BAC=180°-38°-70°=72 12.解：(1)120 AD平分∠BAC (2)140 ÷∠BMD=3∠BMC=36 （3)∠B0C的度数为90+7a理由： AE⊥BC, BO,C0分别平分∠ABC和∠ACB. .∠BEA=90 六∠CB0+∠BC0=(180°-LA0. ∠B=38°， ,∠BAE=180°-90°-38°=52°， ∴，∠BOC=180°-（∠CB0+∠BCO) .∠DAE=∠BAE-∠BAD=52°-36°=16 =10-2180-40 6.C[解析]，∠BAD+∠B+∠BDA=180°， ,.∠BAD+30°+180°-70°=180°，.∠BAD=40. =180-7(180-a）=90+70 ·2