七年级下学期数学期末考试模拟试卷03【好题汇编】-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（浙教版）

七年级下学期期末考试模拟试卷3 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，下列各组角中，互为内错角的是（　　） A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2和∠5 2．（3分）数据0.0000000805用科学记数法表为（　　） A．0.805×10﹣7 B．8.05×108 C．80.5×10﹣9 D．8.05×10﹣8 3．（3分）下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（　　） A．x2﹣2＝（x+1）（x﹣1）﹣1 B．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x） C．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） D．ma+mb+mc＝m（a+b）+mc 4．（3分）在下列调查中，适宜采用普查的是（　　） A．了解我校八（1）班学生校服的尺码情况 B．检测一批电灯泡的使用寿命 C．调查江苏卫视《最强大脑》栏目的收视率 D．了解全国中学生的视力情况 5．（3分）下列计算的结果为x6的是（　　） A．x12﹣x2 B．x12÷x2 C．x•x5 D．（x3）3 6．（3分）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（　　） A．30° B．15° C．45° D．20° 7．（3分）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍 8．（3分）若（x﹣2）（x2﹣mx+1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D． 9．（3分）某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度，设1号车的平均速度为x km/h，可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段AB； ②用圆规在另一边上截取CD，使CD＝AB； ③用圆规比较AC和BD的长度，若AC＝BD，到AB∥CD. ①沿EG折叠纸片，使AE和A′E重合，CG和C′G重合，A′E交CD于点F； ②用圆规比较EF，GF的长度，若EF＝GF，则AB∥CD. 对于两个方案，说法正确的是（　　） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）计算：﹣12a3b2÷4ab2＝　 　． 12．（3分）某班级40名学生在一次考试中，分数段在90～100分的频率为0.15，则该班级在这个分数段内的学生有 　 　人． 13．（3分）若关于x的多项式x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m﹣1的值为 　 　． 14．（3分）若关于x的方程+＝﹣2有增根，则增根x＝　 　． 15．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝0，则a的值是 　 　． 16．（3分）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆AD，BC可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，GFB段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面CE和靠背FG平行，测得∠BCE＝150°，∠ABO＝70°，则靠背GF与水平地面AB的夹角α＝　 　°．如图3，打开时椅面CE与地面AB平行，延长GF交AB于点I，FI平分∠AFB，若∠FCE+∠FAB＝β+105°，则β＝　 　°． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（1）因式分解：9（x﹣3y）2﹣4； （2）解方程组． 18．（6分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣3． 19．（8分）解方程：． 20．（8分）如图，CD为△ABC的角平分线，点E、F、G分别在△ABC的边BC、AB、AC上，连接EF、DG，EF∥CD，∠1＝∠2， （1）求证：DG∥BC； （2）若∠B＝80°，∠EFD＝100°，求∠AGD的度数． 21．（10分）《少年急救官生命教育安全课》寒假第一课于2月1日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位，h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组观看视频课时长频数分布表 组别 时间t/h 频数 A 0＜t≤0.5 5 B 0.5＜t≤1 12 C 1＜t≤1.5 m D 1.5＜t≤2 15 E t＞2 8 各组观看视频课的时长扇形统计图 请根据以上信息回答下列问题： （1）A组数据的众数是 　 　，中位数是 　 　； （2）本次调查的样本容量是 　 　，C组所在扇形的圆心角的大小是 　 　； （3）若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数． 22．（10分）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）若图1中的AB＝x，图3中CD＝y，则S1的值为 　 　．（用含x，y的代数式表示） 23．（12分）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 　 　辆来运送． （2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （3）若学校决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 24．（12分）如图1，直线AB与直线l1，l2分别交于C，D两点，点M在直线l2上，射线DE平分∠ADM交直线l1于点Q，∠ACQ＝2∠CDQ． （1）证明：l1∥l2； （2）如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l2于点F，∠ACQ＝70°． ①若∠QFD＝20°，则直接写出∠FQD的度数是 　 　； ②点N在射线DE上，满足∠QCN＝∠QFD，连接CN，请补全图形，探究∠CND与∠FQD满足的等量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下学期期末考试模拟试卷3 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，下列各组角中，互为内错角的是（　　） A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2和∠5 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、∠1和∠2是对顶角，不是内错角，故本选项不符合题意； B、∠2和∠3是内错角，故本选项符合题意； C、∠1和∠3是同位角，不是内错角，故本选项不符合题意； D、∠2和∠5是同旁内角，不是内错角，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（3分）数据0.0000000805用科学记数法表为（　　） A．0.805×10﹣7 B．8.05×108 C．80.5×10﹣9 D．8.05×10﹣8 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.0000000805＝8.05×10﹣8． 故选：D． 3．（3分）下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（　　） A．x2﹣2＝（x+1）（x﹣1）﹣1 B．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x） C．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） D．ma+mb+mc＝m（a+b）+mc 【分析】根据因式分解的意义，因式分解就是把多项式写出几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、右边不是整式积的形式，故本选项错误； B、不是把多项式写成整式积的形式，故本选项错误； C、a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）是因式分解，故本选项正确； D、右边不是整式积的形式，故本选项错误． 故选：C． 4．（3分）在下列调查中，适宜采用普查的是（　　） A．了解我校八（1）班学生校服的尺码情况 B．检测一批电灯泡的使用寿命 C．调查江苏卫视《最强大脑》栏目的收视率 D．了解全国中学生的视力情况 【分析】根据全面调查、抽样调查的意义，结合具体的问题情境和可行性综合进行判断即可． 【解答】解：A．了解我校八（1）班学生校服的尺码情况，宜采取全面调查，因此选项A符合题意； B．检测一批电灯泡的使用寿命，宜采取抽样调查，因此选项B不符合题意； C．调查江苏卫视《最强大脑》栏目的收视率，宜采取抽样调查，因此选项C不符合题意； D．了解全国中学生的视力情况，宜采取抽样调查，因此选项D不符合题意； 故选：A． 5．（3分）下列计算的结果为x6的是（　　） A．x12﹣x2 B．x12÷x2 C．x•x5 D．（x3）3 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可． 【解答】解：A．x12与x2不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B．x12÷x2＝x10，故选项不符合题意； C．x•x5＝x6，选项符合题意； D．（x3）3＝x9，故选项不符合题意； 故选：C． 6．（3分）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（　　） A．30° B．15° C．45° D．20° 【分析】当EF第一次与AB平行时，过点D作直线DM∥AB，则AB∥DM∥EF，由平行线的性质可得∠B＝∠BDM＝30°，∠E＝∠EDM＝45°，进而得到∠BDE＝75°，再利用平角的定义即可求解． 【解答】解：如图，过点D作直线DM∥AB， 由题意得，∠B＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝90°， ∵AB∥EF，DM∥AB， ∴AB∥DM∥EF， ∴∠B＝∠BDM＝30°，∠E＝∠EDM＝45°， ∴∠BDE＝∠BDM+∠EDM＝75°， ∴∠CDF＝180°﹣∠BDE﹣∠EDF＝180°﹣75°﹣90°＝15°． 故选：B． 7．（3分）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍 【分析】依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【解答】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y， 得＝＝， 可见新分式与原分式相等． 故选：B． 8．（3分）若（x﹣2）（x2﹣mx+1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D． 【分析】根据多项式乘多项式计算法则展开后合并同类项，再根据展开式中不含x的二次项求出m的值即可． 【解答】解：原式＝x3﹣mx2+x﹣2x2+2mx﹣2 ＝x3﹣（m+2）x2+（2m+1）x﹣2， ∵展开式中不含x的二次项， ∴m+2＝0， 解得m＝﹣2． ∴2m+1＝﹣4+1＝﹣3， ∴一次项系数为﹣3． 故选：A． 9．（3分）某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度，设1号车的平均速度为x km/h，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先设1号车的平均速度为x km/h，则2号车的平均速度是1.2x km/h，进而利用1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达得出等式即可． 【解答】解：设1号车的平均速度为x km/h，则2号车的平均速度是1.2x km/h，根据题意可得： ， 故选：A． 10．（3分）要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段AB； ②用圆规在另一边上截取CD，使CD＝AB； ③用圆规比较AC和BD的长度，若AC＝BD，到AB∥CD. ①沿EG折叠纸片，使AE和A′E重合，CG和C′G重合，A′E交CD于点F； ②用圆规比较EF，GF的长度，若EF＝GF，则AB∥CD. 对于两个方案，说法正确的是（　　） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 【分析】根据已知，分别证明AB∥CD即可得到答案． 【解答】解：如图： 若AC＝BD， ∵CD＝AB， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AB∥CD，故甲的方案可行； 如图： 若GF＝EF，则∠EGF＝∠FEG， 由折叠知：∠AEG＝∠FEG， ∴∠EGF＝∠AEG， ∴AB∥CD，故乙的方案可行； ∴甲、乙方案都可行； 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）计算：﹣12a3b2÷4ab2＝　﹣3a2　． 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则直接求解即可得到答案． 【解答】解：﹣12a3b2÷4ab2＝＝﹣3a2， 故答案为：﹣3a2． 12．（3分）某班级40名学生在一次考试中，分数段在90～100分的频率为0.15，则该班级在这个分数段内的学生有 　6　人． 【分析】根据频数＝频率×总次数，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 40×0.15＝6， ∴该班级在这个分数段内的学生有6人， 故答案为：6． 13．（3分）若关于x的多项式x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m﹣1的值为 　或　． 【分析】根据完全平方式a2±2ab+b2的结构特征解决此题． 【解答】解：∵x2±2•x×3+32是完全平方式， ∴当关于x的多项式x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m﹣1＝±6． ∴m＝7或﹣5． ∴m﹣1的值为或． 故答案为：或． 14．（3分）若关于x的方程+＝﹣2有增根，则增根x＝　2　． 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0即可． 【解答】解：∵最简公分母是x﹣2，原方程有增根， ∴最简公分母x﹣2＝0， ∴增根是x＝2． 故答案为：2． 15．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝0，则a的值是 　2　． 【分析】①﹣②，得出（2x+3y）﹣（x+4y）＝5a﹣（2a+6），求出x﹣y＝3a﹣6，再根据方程组的解满足x﹣y＝0得出方程3a﹣6＝0，再求出a即可． 【解答】解：， ①﹣②，得 （2x+3y）﹣（x+4y）＝5a﹣（2a+6）， x﹣y＝3a﹣6， ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝0， ∴3a﹣6＝0， 解得：a＝2． 故答案为：2． 16．（3分）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆AD，BC可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，GFB段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面CE和靠背FG平行，测得∠BCE＝150°，∠ABO＝70°，则靠背GF与水平地面AB的夹角α＝　80　°．如图3，打开时椅面CE与地面AB平行，延长GF交AB于点I，FI平分∠AFB，若∠FCE+∠FAB＝β+105°，则β＝　105　°． 【分析】（1）由平行线的性质得到∠GFC＝∠BCE＝150°，由三角形外角的性质，即可求解； （2）由三角形外角的性质得到∠FAB＝β﹣30°，由平行线的性质，三角形内角和定理，平角定义推出∠FCE＝30°+β，由∠FCE+∠FAB＝β+105°，即可求出β的度数． 【解答】解：如图2， ∵CE∥FG， ∴∠GFC＝∠BCE＝150°， ∵∠GFC＝α+∠ABO， ∴∠α＝∠GFC﹣∠ABO＝150°﹣70°＝80°； 如图3， ∵∠BFG＝150°， ∴∠BFI＝180°﹣∠BFG＝30°， ∵FI平分∠AFB， ∴∠AFI＝∠BFI＝30°， ∵β＝∠FAI+∠AFI， ∴∠FAB＝β﹣30°， ∵∠IFB+β+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣β﹣30°＝150°﹣β， ∵CE∥AB， ∴∠ECB＝∠B， ∵∠FCE+∠ECB＝180°， ∴∠FCE＝180°﹣∠ECB＝180°﹣（150°﹣β）＝30°+β， ∵∠FCE+∠FAB＝β+105°， ∴30°+β+β﹣30°＝β+105°， ∴β＝105°， 故答案为：80，105． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（1）因式分解：9（x﹣3y）2﹣4； （2）解方程组． 【分析】（1）根据平方差公式即可求出答案． （2）根据加减消元法即可求出答案． 【解答】解：（1）原式＝[3（x﹣3y）]2﹣22， ＝[3（x﹣3y）+2][3（x﹣3y）﹣2]， ＝（3x﹣9y+2）（3x﹣9y﹣2）； （2）， ②﹣①×2得：5y＝﹣5， 解得：y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①得：x+2＝4， 解得：x＝2， ∴原方程组的解为：． 18．（6分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣3． 【分析】首先计算括号里面的减法，再计算括号外的除法，化简后，再代入x的值即可． 【解答】解：原式＝（﹣）， ＝（﹣）， ＝•， ＝•， ＝﹣x（x+1）， 当x＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）×（﹣3+1）＝﹣6． 19．（8分）解方程：． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：方程两边同时乘（x+1）（x﹣1）， 得整式方程（x﹣1）2﹣2＝x2﹣1， 解得：x＝0， 检验：当x＝0时，（x+1）（x﹣1）≠0． 所以原分式方程的解为x＝0． 20．（8分）如图，CD为△ABC的角平分线，点E、F、G分别在△ABC的边BC、AB、AC上，连接EF、DG，EF∥CD，∠1＝∠2， （1）求证：DG∥BC； （2）若∠B＝80°，∠EFD＝100°，求∠AGD的度数． 【分析】（1）先根据EF∥CD得∠1＝∠BCD＝∠2再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据三角形外角定理得∠1＝∠EFD﹣∠B＝20°，再根据EF∥CD得∠BCD＝∠1＝20°，则∠BCA＝2∠BCD＝40°，然后再根据（1）的结论可得出∠AGD的度数． 【解答】（1）证明：∵EF∥CD， ∴∠1＝∠BCD， 又∵∠1＝∠2 ∴∠BCD＝∠2， ∴BC∥DG， （2）解：∠EFD的是△BEF的一个外角， ∴∠EFD＝∠B+∠1， ∵∠EFD＝100°，∠B＝80°， ∴∠1＝∠EFD﹣∠B＝20°， ∵EF∥CD， ∴∠BCD＝∠1＝20°， ∵CD平为△ABC的角分线， ∴∠BCA＝2∠BCD＝40°， ∵DG∥BC ∴∠AGD＝∠BCA＝40°． 21．（10分）《少年急救官生命教育安全课》寒假第一课于2月1日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位，h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组观看视频课时长频数分布表 组别 时间t/h 频数 A 0＜t≤0.5 5 B 0.5＜t≤1 12 C 1＜t≤1.5 m D 1.5＜t≤2 15 E t＞2 8 各组观看视频课的时长扇形统计图 请根据以上信息回答下列问题： （1）A组数据的众数是 　0.2　，中位数是 　0.3　； （2）本次调查的样本容量是 　60　，C组所在扇形的圆心角的大小是 　120°　； （3）若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）由D组频数及其所占比例可得样本容量，用360°乘以C组频数占总数量的比例即可； （3）用总人数乘以样本中观看视频课时长超过1.5h的人数所占比例即可． 【解答】解：（1）A组数据的众数为0.2，中位数为0.3， 故答案为：0.2、0.3； （2）D组所对的圆心角为90°，占比25%， 本次调查的样本容量是15÷25%＝60． ∵m＝60﹣5﹣12﹣15﹣8＝20， ∴C组所在扇形的圆心角的大小是． 故答案为：60，120°； （3）， 答：该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数大约有690人． 22．（10分）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）若图1中的AB＝x，图3中CD＝y，则S1的值为 　xy　．（用含x，y的代数式表示） 【分析】（1）根据正方形面积之间的关系，即可用含a，b的代数式表示S1，S2； （2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，直接将条件代入即可； （3）根据AB＝a﹣b＝x，CD＝a+b＝y，S1＝a2﹣b2，利用平方差公式解答． 【解答】解：（1）由图1可得S1＝a2﹣b2， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）∵S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∴S1+S2＝（a+b）2﹣3ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝102﹣3×20＝40； （3）∵AB＝a﹣b＝x，CD＝a+b＝y，S1＝a2﹣b2， ∴S1＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝xy． 故答案为：xy． 23．（12分）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 　4　辆来运送． （2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （3）若学校决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【分析】（1）利用使用丙型车的数量＝（物资的总质量﹣每辆甲型车的运载量×使用甲型车的数量﹣每辆乙型车的运载量×使用乙型车的数量）÷每辆丙型车的运载量，即可求出结论； （2）设需要x辆甲型车，y辆乙型车，根据“全部物资都用甲、乙两种车型来运送，且需运费8200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用m辆甲型车，n辆乙型车，则用（16﹣m﹣n）辆丙型车，根据学生使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（16﹣m﹣n）均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：（120﹣5×8﹣8×5）÷10 ＝（120﹣40﹣40）÷10 ＝40÷10 ＝4（辆）， ∴还需要4辆丙型车来运送． 故答案为：4； （2）设需要x辆甲型车，y辆乙型车， 根据题意得：， 解得：． 答：需要8辆甲型车，10辆乙型车； （3）设使用m辆甲型车，n辆乙型车，则用（16﹣m﹣n）辆丙型车， 根据题意得：5m+8n+10（16﹣m﹣n）＝120， ∴m＝8﹣n， 又∵m，n，（16﹣m﹣n）均为正整数， ∴或， ∴共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为400×6+500×5+600×5＝7900（元）； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为400×4+500×10+600×2＝7800（元）． ∵7900＞7800， ∴使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省． 答：共有2种运输方案，使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省． 24．（12分）如图1，直线AB与直线l1，l2分别交于C，D两点，点M在直线l2上，射线DE平分∠ADM交直线l1于点Q，∠ACQ＝2∠CDQ． （1）证明：l1∥l2； （2）如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l2于点F，∠ACQ＝70°． ①若∠QFD＝20°，则直接写出∠FQD的度数是 　15°　； ②点N在射线DE上，满足∠QCN＝∠QFD，连接CN，请补全图形，探究∠CND与∠FQD满足的等量关系，并证明． 【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理以及平行线的判定进行解答即可； （2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可； ②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论． 【解答】（1）证明：如图1， ∵DE平分∠ADM， ∴∠ADE＝∠EDM＝∠ADM， 又∵∠ACQ＝∠ADE+∠CQD，∠ACQ＝2∠CDQ． ∴∠EDM＝∠CQD， ∴l1∥l2； （2）解：①∵l1∥l2， ∴∠ADM＝∠ACQ＝70°， ∵DE平分∠ADM， ∴∠ADE＝∠EDM＝∠ADM＝35°， 又∵∠EDM＝∠QFD+∠FQD， ∴∠FQD＝35°﹣20°＝15°， 故答案为：15°； ②证明：∠CND＝∠FQD或∠CND+∠FQD＝70°，理由如下： 如图3， ∵l1∥l2， ∴∠NCQ＝∠CTD， 又∵∠QCN＝∠QFD， ∴∠CTD＝∠QFD， ∴NT∥FQ， ∴∠CND＝∠FQD； 如图4，由①可得∠CDQ＝∠CQD＝∠ACQ＝35°， ∵∠CND＝∠CQN+∠QCN，∠QCN＝∠QFD， ∴∠CND＝∠CQN+∠QFD， ∴∠CND＝35°+∠QFD， 即：∠CND﹣∠QFD＝35°， ∵∠QFD＝∠FQC＝∠CQD﹣∠FQD＝∠QDM﹣∠FQD＝35°﹣∠FQD， ∴∠CND﹣∠QFD＝∠CND﹣（35°﹣∠FQD）＝35°， ∴∠CND+∠FQD＝70°． 综上所述，∠CND与∠FQD满足的等量关系为∠CND＝∠FQD或∠CND+∠FQD＝70°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$